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Corrigé du n°1 p 28 : Dans chacun des cas suivants, écrivons le trinôme f(x) On reconnaıt la forme canonique a(x − α)2 + β, avec a = 1, α = −3 et β = −9 (b)

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Donc f admet un minimum sur R; ce minimum vaut −4 et il est atteint en 2 3) Pour tout x ∈ R, f (x) = 9(x−2)2 −4 = [3( 

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Partie A : Forme canonique, équations, inéquations, factorisation Exercice 1 Exercice 11 1) Factoriser les polynômes 6 et 2 3 2 2) Résoudre l'équation 0

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Donner la forme canonique des fonctions polynômes f du second degré définies par : exercice 6 Somme et produit des racines 1 Résoudre mentalement les 

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Correction : forme canonique

www.bossetesmaths.com ?Exercice a)f(x)=-4x2-28x+15

1)f(x)=-4x2-28x+15=-4?x2+7x-15

4?=-4??x+7

2? 2 -49 4-15

4?=-4??x+7

2? 2 -64

4?= -4?x+7

2? 2 64.

2)Pour tout

x?R,?x+7 2? 2

0?-4?x+7

2? 2

0?-4?x+7

2? 2

64?0+64?f(x)?64.

Or f -7

2?=-4×

-7 2+7 2? 2

64=0+64=64.

Donc fadmet un maximum surR; ce maximum vaut 64 et il est atteint en-7 2.

3)Pour tout

x?R,f(x)=-4?x+7 2? 2

64=64-4?x+7

2? 2 82-
2? x+7 2?? 2 8 +2?x+7 2???

8-2?x+7

2?? f(x)=(8+2x+7)(8-2x-7)=(2x+15)(1-2x). b) f(x)=9x2-36x+32

1)f(x)=9x2-36x+32=9?x2-4x+32

9?=9? (x-2)2-4+32 9?=9? (x-2)2-36 9+32 9?=9? (x-2)2-4

9?=9(x-2)2-4.

2)Pour tout

x?R, (x-2)2?0?9(x-2)2?0?9(x-2)2-4?0-4?f(x)?-4. Or f(2)=9×(2-2)2-4=0-4=-4. Donc fadmet un minimum surR; ce minimum vaut-4 et il est atteint en 2.

3)Pour tout

c) f(x)=-x2+3x

1)f(x)=-x2+3x=-(x2-3x)=-

x-3 2? 2 -9 4?= - x-3 2? 2 +9 4.

2)Pour tout

x?R,?x-3 2? 2 0?- x-3 2? 2 0?- x-3 2? 2 +9 4?0+9

4?f(x)?9

4. Or f ?3 2?=- ?3 2-3 2? 2 +9 4=0+9 4=9 4. Donc fadmet un maximum surR; ce maximum vaut94et il est atteint en32.

3)Pour tout

x?R,f(x)=-x2+3x= -x(x-3). d) f(x)=x2-8x+26

1)f(x)=x2-8x+26=(x-4)2-16+26=(x-4)2+10.

2)Pour tout

x?R, (x-4)2?0?(x-4)2+10?0+10?f(x)?10. Or f(4)=(4-4)2+10=0+10=10. Donc fadmet un minimum surR; ce minimum vaut 10 et il est atteint en 4.

3)Pour tout

x?R,f(x)=(x-4)2+10 doncfn"est pas factorisable dansR. e) f(x)=-9x2+90x-176

1)f(x)=-9x2+90x-176=-9?x2-10x+176

9?=-9?

(x-5)2-25+176

9?=-9?

(x-5)2-225 9+176

9?=-9?

(x-5)2-49 9? f(x)= -9(x-5)2+49. Correction : forme canonique - www.bossetesmaths.com - © Corinne Huet

2)Pour toutx?R, (x-5)2?0?-9(x-5)2?0?-9(x-5)2+49?0+49?f(x)?49.

Or f(5)=-9×(5-5)2+49=0+49=49. Donc fadmet un maximum surR; ce maximum vaut 49 et il est atteint en 5.

3)Pour tout

f(x)=(7+3x-15)(7-3x+15)=(3x-8)(22-3x). Correction : forme canonique - www.bossetesmaths.com - © Corinne Huetquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9