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(1) Deux vecteurs Eu et Ev sont dits colinéaires si l'un des deux est un multiple scalaire de l'autre, autrement dit s'il existe un tel que Eu D Ev ou un tel que (2) Les vecteurs Eu et Ev sont colinéaires s'il existe des scalaires ˛ et ˇ non tous les Non tous les deux nuls » signifie qu'on n'a pas ˛ D ˇ D 0, autrement dit que l'un  

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1) En ajoutant à Ev un multiple de Eu, on obtient un vecteur Ev0 orthogonal à Eu 2) En ajoutant à E trois vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux Montrer qu'ils dans une espace muni d'un repère orthonormé et de coordonnées x;y;z, où on Plus précisément, il est égal à kEukkEvk si Eu et Ev sont colinéaires et 1

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3 2 1 Convergence des suites et séries de fonctions Définition 1 1 6 On dit qu' une partie non vide A de (E,N) est bornée s'il existe M ∈ R+ tel (ii) Il existe une constante C > 0 telle que pour tout x0 ∈ E et r > 0 on ait Il n'y a gu`ere le choix : les normes sur R ou C sont toutes de la forme N(x) e u et u−1 sont continus

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Notes de cours d'analyse

Preparation au CAPES

Raphael Danchin

Annee 2006{2007

2

Table des matieres

1 Espaces vectoriels normes 5

1.1 Normes et distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Normes produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Exemples de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Topologie sur les espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Voisinages, ouverts, fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Autres notions elementaires de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Topologie induite sur une partie d'un espace vectoriel norme . . . . . . . 12

1.2.4 Suites dans les espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5 Parties compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Continuite17

2.1 Continuite des applications d'un e.v.n dans un e.v.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Continuite et compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Theoremes generaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Le cas de la dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Continuite et connexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2 Parties connexes deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3 Connexite par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Applications multilineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Espaces de Banach 29

3.1 Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Suites de Cauchy et completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 Critere de Cauchy pour les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.3 Series dans un e.v.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.4 Le theoreme du point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Suites et series de fonctions a valeurs dans un e.v.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 Convergence des suites et series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2 Le theoreme d'interversion des limites et ses consequences . . . . . . . . . 35

3.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Espaces prehilbertiens 37

4.1 Le cas reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Le cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

4TABLE DES MATIERES

5 Series de Fourier 45

5.1 Polyn^omes trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.1 Coecients d'une fonction 2-periodique et continue par morceaux . . . . 46

5.2.2 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.3 Convergence des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.4 Preuve de l'egalite de Parseval pour les fonctions deE. . . . . . . . . . . 50

6 Series entieres 53

6.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Determination du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3 Integration et derivation terme a terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.4 Quelques developpements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Index59

Chapitre 1

Espaces vectoriels normes

Dans tout ce chapitre, le symboleKdesigneRouC, etEest un espace vectoriel surK.

1.1 Normes et distances

1.1.1 DenitionsDenition 1.1.1On dit qu'une applicationN:E!Rest une norme si elle verie

(i)8x2E; N(x)0etN(x) = 0si et seulement six= 0, (ii)8x2E;82K; N(x) =jjN(x), (iii)8x2E;8y2E; N(x+y)N(x) +N(y).Remarque :La condition (iii) est appeleeinegalite triangulaire. Denition 1.1.2Le couple(E;N)ouEest unK-espace vectoriel etN, une norme surE, est appeleespace vectoriel norme, ou e.v.n en abrege. Denition 1.1.3Soit(E;N)un e.v.n. On appelle distance associee aNl'application d:EE!R+ (x;y)7!N(xy): Remarque :La distance associee a une norme verie pour tout (x;y;z)2E3: (i) Positivite:d(x;y)0 avec egalite si et seulement six=y, (ii) Propriete de symetrie:d(x;y) =d(y;x). (iii) Inegalite triangulaire:d(x;y)d(x;z) +d(z;y).

Il s'agit donc bien d'une distance au sens usuel (cf le cours de licence).Proposition 1.1.4 (Deuxieme inegalite triangulaire)Toute norme verie

8(x;y)2E2; N(xy) jN(x)N(y)j;

ou en terme de distance associee,

8(x;y;z)2E3; d(x;y) jd(x;z)d(y;z)j:Preuve :On a, d'apres la premiere inegalite triangulaire :

N(x) =N(y+ (xy))N(y) +N(xy) doncN(x)N(y)N(xy);

N(y) =N(x+ (yx))N(x) +N(yx) doncN(y)N(x)N(yx) =N(xy); d'ou le premier resultat. La preuve de la deuxieme inegalite triangulaire pour la fonction distance est analogue. 5

6CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMES

Denition 1.1.5Soitx02Eetr2R+. On appelleboule ouvertede centrex0et de rayon rl'ensemble B

N(x0;r)def=fx2EjN(xx0)< rg:

On appelleboule fermeede centrex0et de rayonrl'ensembleB

N(x0;r)def=fx2EjN(xx0)rg:

Remarque :En l'absence d'ambigute, on note simplementB(x0;r) la boule ouverte etB(x0;r) la boule fermee. Denition 1.1.6On dit qu'une partie non videAde(E;N)estbornees'il existeM2R+ tel que

8x2A; N(x)M:

Denition 1.1.7SoitAune partie non vide de(E;N). On appellediametredeAl'element (A)de[0;+1]suivant : (A)def= sup (x;y)2A2N(yx): Denition 1.1.8SoitAune partie non vide deE. On denit alors la distanced(x0;A)dex0 aApar la formule d(x0;A)def= infx2AN(xx0): SiBest une autre partie non vide deE, on denit la distance deAaB, noteed(A;B)par la formule : d(A;B)def= infy2Bd(y;A) = infx2Ad(x;B) = infx2A;y2Bd(x;y): Denition 1.1.9On dit que deux normesN1etN2surEsont equivalentes s'il existe une constanteC >0telle que

8x2E; C1N1(x)N2(x)CN1(x):

Proposition 1.1.10SiN1etN2sont deux normes equivalentes deEalors (i) Les parties bornees de(E;N1)sont les parties bornees de(E;N2). (ii) Il existe une constanteC >0telle que pour toutx02Eetr >0on ait B

N1(x0;C1r)BN2(x0;r)BN1(x0;Cr):

Exercice :Prouver la proposition ci-dessus.

1.1.2 Normes produits

Soit (E1;N1) et (E2;N2) deux espaces vectoriels normes. Alors il existe une innite de facons de munirE1E2d'unenorme produitconstruite a partir deN1etN2. En notant (u1;u2) les elements deE1E2, les exemples les plus courants sont : La norme uniforme :k(u1;u2)k1def= max(N1(u1);N2(u2)), La norme quadratique :k(u1;u2)k2def=p(N1(u1))2+ (N2(u2))2,

La normeL1:k(u1;u2)k1def=N1(u1) +N2(u2).

Exercice :Verier qu'il s'agit bien de normes surE1E2et qu'elles sont equivalentes. On peut generaliser la notion de norme produit a un nombre nid'espaces vectoriels normes (E1;N1), (E2;N2),, (Ep;Np). Nous laissons le soin au lecteur de verier que les fonctions denies ci-dessous sont des normes (equivalentes) surE1 Ep:

1.1. NORMES ET DISTANCES7

Norme uniforme :k(u1;;up)k1def= max(N1(u1);;Np(up)), Norme quadratique :k(u1;;up)k2def=p(N1(u1))2++ (Np(up))2,

NormeL1:k(u1;;up)k1def=N1(u1) ++Np(up).

1.1.3 Exemples de normes

Normes surRouC

Il n'y a guere le choix : les normes surRouCsont toutes de la formeN(x) =jxjavec >0 etjxjdesignant la valeur absolue dexdans le cas reel, et le module dexdans le cas complexe.

En pratique, on prend toujours= 1.

Normes surRnou surCn

Les plus courantes sont :

La normeL1:N1(x) =Pn

i=1jxij,

La norme euclidienne :N2(x) =pP

n i=1jxij2

La norme sup :N1(x) = maxi2f1;;ngjxij.

Plus generalement, pour toutp2[1;+1[, on peut denirNp(x)def=Pn i=1jxijp 1p Proposition 1.1.11Pour toutp2[1;+1], les fonctionsNpsont des normes surRn. Toutes ces normes sont equivalentes. Plus precisement, on a

8x2Kn; N1(x)Np(x)n1p

N1(x):

Preuve :Il est immediat queNpverie les proprietes (i) et (ii) de la denition 1.1.1. Dans le casp= 1 oup=1, l'inegalite triangulaire est evidente. Lorsquep= 2, elle resulte de l'inegalite de Cauchy-Schwarz. Plus generalement, sip1 est ni, elle resulte de l'inegalite de Minkowski : 0 mX i=1 n X j=1x ijp1 A1p nX j=1 mX i=1jxijjp! 1p Pour montrer l'equivalence des normes, on utilise le fait que pourp2[1;+1[, on a N p(x) nX i=1maxi2f1;;ngjxijp! 1p = maxi2f1;;ngjxij nX i=11! 1p =n1p

N1(x):

L'inegaliteN1(x)Np(x) est triviale.Remarque :Pourxxe, l'inegalite de Minkowski permet de montrer quep7!Np(x) est une

fonction decroissante. On en deduit que, sipq, la boule unite pour la normeNqest plus grosse que la boule unite pour la normeNp.

Normes surMn(R)ouMn(C)

Si l'on considere les matrices comme des tableaux de nombres, les normes les plus couram- ment utilisees sont

N1(A) =Pn

i;j=1jaijj,

N2(A) =Pn

i;j=1jaijj2 12 =trAtA 12

N1(A) = max1i;jnjaijj.

Si l'on identieMn(K) a l'ensemble des applications lineaires deKndansKn, il existe d'autres choix \naturels" de normes. On en verra des exemples a la section 2.4.

8CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMES

Normes sur l'ensemble des suites deKN

L'ensemble`1(N) des suites bornees d'elements deKpeut ^etre muni de la norme N

1(u)def= sup

n2Njunj: L'ensemble`2(N) des suites de carres sommables peut ^etre muni de la norme N

2(u)def= X

n2Njunj2! 12 L'ensemble`1(N) des suites sommables peut ^etre muni de la norme N

1(u)def=X

n2Njunj:

Exercice :

1. Etablir que`1(N)`2(N)`1(N) et que pour toutu2`1(N), on aN1(u)N2(u) N 1(u).

2. Montrer que ces trois normes ne sont pas equivalentes.

Normes sur l'ensemble des fonctions continues de[a;b]dansK

Les plus courantes sont :

La norme uniforme :N1(f) = supx2[a;b]jf(x)j,

La norme quadratique :N2(f) =Rb

ajf(x)j2dx 12

La normeL1:N1(f) =Rb

ajf(x)jdx. Exercice :Montrer que les trois fonctions denies ci-dessus sont des normes surC([a;b];K) et verient

8f2C([a;b];K); N1(f)pbaN2(f)(ba)N1(f):

En considerant la suite de fonctionsfn(x) = (xa)n, montrer qu'elles ne sont pas equivalentes.

1.2 Topologie sur les espaces vectoriels normes

Dans toute cette section,Edesigne un e.v.n. surK.

1.2.1 Voisinages, ouverts, fermes

Denition 1.2.1SoitAune partie deE. On dit quea2Eest un point interieur aAs'il exister >0tel queB(a;r)A. Denition 1.2.2On dit qu'une partieVdeEest un voisinage du pointadeEsiaest interieur aV. Exemple :Pour toutr >0, les boulesB(a;r) etB(a;r) sont des voisinages dea. Remarque :Un e.v.nEverie toujours la propriete suivante : Siaetbsont deux points distinctsdeEalors il existe un voisinageVadeaet un voisinage V bdebtels queVa\Vb=;. On dit que les e.v.n sontsepares. Le lemme suivant (dont la preuve est immediate) est fort utile :

1.2. TOPOLOGIE SUR LES ESPACES VECTORIELS NORM

ES9 Lemme 1.2.3Considerons une famille(ri)i2f1;;ngdenreels strictement positifs. Alors on a n i=1B(a;ri) =B a;min1inri

On en deduit en particulier le resultat suivant :

Proposition 1.2.4L'intersection d'un nombre nide voisinages deaest un voisinage dea. Preuve :ConsideronsV1,; Vn,nvoisinages dea. Par denition, chaque voisinageVi contient une boule non videB(a;ri). En appliquant le lemme 1.2.3, on en deduit que B a;min1inri =n\ i=1B(a;ri)n\ i=1V i:

La boule de gauche est non vide ce qui montre que

Tn

i=1Viest bien un voisinage dea.Attention :L'intersection d'un nombre inni (m^eme denombrable) de voisinages dean'est pas

forcement un voisinage dea. Par exemple les boulesB(a;2n) sont toutes des voisinages dea, mais leur intersection (qui est reduite afag) n'est pas un voisinage dea.

Denition 1.2.5On dit que

Eest un ouvert deE(ou une partie ouverte deE) si

est vide ou si tous les points de sont interieurs a

Remarque :Autrement dit

non vide est ouvert si et seulement si est voisinage de tous ses points. Denition 1.2.6On dit queFEest un ferme deE(ou une partie fermee deE) siEnF est un ouvert deE. Proposition 1.2.7Toute boule ouverte deEest un ouvert et toute boule fermee deEest un ferme. Preuve :SoitB(a;r) une boule ouverte deEavecr >0. Alors pour tout pointbdeB(a;r), la deuxieme inegalite triangulaire assure que

B(b;rN(ba))B(a;r):

Comme par denition,r > N(ba), l'inclusion ci-dessus montre queB(a;r) est voisinage deb. Sir= 0 le resultat est trivial car la boule est vide. De facon analogue, sib2EnB(a;r) alorsN(ba)> ret la deuxieme inegalite triangulaire assure que

B(b;N(ba)r)EnB(a;r):

DoncEnB(a;r) est ouvert.Proposition 1.2.8On a les proprietes suivantes : (i) L'union de toute famille d'ouverts est un ouvert. (ii) L'intersection d'un nombre nid'ouverts est un ouvert. (iii) L'intersection de toute famille de fermes est fermee. (iv) L'union d'un nombre nide fermes est un ferme.

10CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMES

Preuve :Pour prouver (i), on considere une famille quelconque ( i)i2Id'ouverts. Sia2 [i2I i alors il existei02Itel quea2 i0. Donc il exister >0 tel queB(a;r) i0. Donca fortiori,B(a;r) [i2I i, etaest interieur a[i2I i. Pour prouver (ii), considerons une famille denouverts ( i)1inet un pointa2Tn i=1 i.

Commaaest interieur a chaque

i, pour touti2 f1;;ng, il existeri>0 tel quequotesdbs_dbs19.pdfusesText_25