Définition 14 – On appelle noyau de la forme quadratique q, et on note Ker q, l'ensemble {y ∈ E ; ϕ(x, y)=0} Proposition 15 – Ker q est un sous-espace vectoriel de E Corollaire 16 – Une forme bilinéaire ϕ est non dégénérée si et seulement si Ker q = {0}, o`u q est la forme quadratique associée `a ϕ
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UFR MATH
EMATIQUESFormes quadratiques
On se place sur unR-espace vectorielEdedimension nien.1.Formes bilineaires symetriques et formes quadratiques
1.1.Formes bilineaires symetriques
Denition 1 {Une forme bilineaire surEest une application':EE!Rlineaire par rapport a chacune de ses variables. Elle est dite symetrique si elle verie de plus :8(x;y)2EE; '(x;y) ='(y;x). Remarque -Si'est une forme bilineaire surE, alors, pour toutx2E,'(0;x) ='(x;0) = 0. Exemple -Soientfetgdeux formes lineaires surE. L'application'deEEdansR denie par'(x;y) =f(x)g(y) est une forme bilineaire denie surE. Proposition 2 {L'ensemble des formes bilineaires (respectivement bilineaires symetriques) sur unR-espace vectorielEest unR-espace vectoriel.1.2.Formes quadratiques Denition 3 {Une forme quadratiqueqsurEest une applicationq:E!Rveriant les deux conditions suivantes :1)8x2E;82R; q(x) =2q(x)
2) L'application (x;y)7!12
[q(x+y)q(x)q(y)] est bilineaire symetrique. Proposition 4 {L'ensemble des formes quadratiques sur unR-espace vectorielEest unR-espace vectoriel.
Theoreme 5 {Il existe un isomorphisme canonique entre l'espace vectoriel des formesquadratiques et l'espace vectoriel des formes bilineaires symetriques.Demonstration :notonsQ(E)l'ensemble des formes quadratiques denies surEetB(E)
l'ensemble des formes bilineaires symetriques.Soitq2Q(E). Posons(q) ='avec'(x;y) =12
[q(x+y)q(x)q(y)].(q)2B(E), ainsi denie, est bien une forme bilineaire symetrique. Soit'2B(E). Denissons0(')par0(')(x) ='(x;x)pour toutx2E. Un calcul montre que0(')2Q(E). Montrons queest inversible et que son inverse est0. Soit'2B(E). On a0(') = (q)avecq(x) ='(x;x). Or(q) ='0avec0(x;y) =12
[q(x+y)q(x)q(y)] 12 ['(x+y;x+y)'(x;x)'(y;y)] ='(x;y) par bilinearite de'. On a donc0=IdB(E). On montre de m^eme que0=IdQ(E). L'applicationest donc bijective et1=0. Elle est lineaire par construction, d'ou le resultat. Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Denition 6 {Soitqune forme quadratique. L'unique forme bilineaire symetrique'telle que'(x;x) =q(x) pour toutx2Es'appelle la forme bilineaire symetrique associee aq. 1.3. Ecriture matricielleSoit (e1;:::;en) une base deE. Soientxetydeux vecteurs deEde coordonnees respectives (xi)1inet (yj)1jndans la base (e1;:::;en). Soit'une forme bilineaire symetrique denie surE. On a alors par bilinearite de': '(x;y) ='0 nX i=1x iei;nX j=1y jej1 A X1i;jnx
iyj'(ei;ej) Reciproquement, soit (aij)1i;jnune famille de reels telle queaij=ajipour 1i;jn; alors l'application (x;y)7!X1i;jna
ijxiyjest bilineaire symetrique. Denition 7 {Soit'une forme bilineaire symetrique denie surEet soit (e1;:::;en) une base deE. La matriceMdeMn(R) denie parMij='(ei;ej) s'appelle la matrice de' dans la base (e1;:::;en). SiXetYdesignent respectivement les matrices-colonnes des coordonnees dexet deydans la base (e1;:::;en), alors on a'(x;y) =tXMY=tY MXProposition 8 {Soit'une forme bilineaire symetrique denie surE. SiMest la matrice
de'dans la base (e1;:::;en), alors la matriceM0de'dans la base (e01;:::;e0n) estM0=tPAP, ouPest la matrice de passage de la base(e1;:::;en) a la base (e01;:::;e0n).Demonstration :soientxetydes vecteurs deE. NotonsXetY(respectivementX0
etY0) les matrices-colonnes de leurs coordonnees respectives dans la base(e1;:::;en) (respectivement(e01;:::;e0n)). On aX=PX0etY=PY0. On en deduit que '(x;y) =tXMY=t(PX0)M(PY0) =tX0tPMPY0. D'ouM0=tPMP.Denition 9 {Soitqune forme quadratique. La matrice de la forme bilineaire symetrique associee aqdans une baseBs'appelle la matrice deqdans la baseB. Denition 10 {Deux matricesMetM0deMn(K) sont dites congruentess'il existe une matriceP2GLn(K) telle queM0=tPMP. Deux matrices sont donc congruentes si elles representent la m^eme forme bilineaire dans deux bases dierentes deE. Proposition 11 {La congruence est une relation d'equivalence.Demonstration :c'est une relation re exive car, pour toutM2Mn(R),M=tInMIn. Elle est symetrique car, siM0=tPMP, alorsM=tP1MP1. Enn c'est une relation transitive car siM00=tP0M0P0etM0=tPMP, alorsM00=tP0(tPMP)P0=t(PP0)M(PP0)etPP0est bien une matrice inversible.1.4.Recherche de la forme bilineaire associee a une forme quadratique
Soit (e1;:::;en) une base deE. Une forme bilineaire symetrique'est une application deEEdansRdenie par'(x;y) =tXMY=P
i;jmijxiyjouMest la matrice symetrique reelle denie parmij='(ei;ej). { 2 {FORMES QUADRATIQUES
Une forme quadratique s'ecrit donc sous la forme : q(x) =X1i;jnm
ijxixj=nX i=1m iix2i+ 2X1i ijxixj: Reciproquement, si on se donne une forme quadratiqueq, on a alors q(x) =nX i=1m iix2i+ 2X 1i ijxixj: Pour retrouver la forme bilineaire associee'aq, on utilise la regle du dedoublement des termes : on remplace les termesx2iparxiyi on remplace le termexixjpar12 (xiyj+xjyi) On verie que, pour'ainsi construite, on a bien'(x;y) =12 [q(x+y)q(x)q(y)].2.Rang d'une forme bilineaire Soient'une forme bilineaire denie sur un espace vectorielEde dimension nie etxety deux vecteurs deE. On denit deux formes lineaires'xet'ydeEpar
8y2E; 'x(y) ='(x;y)
8x2E; 'y(x) ='(x;y)
NotonsEle dual deE(c'est-a-dire l'ensemble des formes lineaires denies surE). Les deux applications deEdansEdenies parx7!'xety7!'ysont lineaires deE dansE. Soient (e1;:::;en) une base deE,Mla matrice de'dans cette base et (e1;:::;en) la base duale. On a, pour tout 1i;jn,mij='(ei;ej) donc la matricetM(respectivement M) represente l'endomorphismex7!'x(respectivementx7!'y) de la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en). En eet, lajeme colonne de la matrice representant l'endomorphismex7!'xdans les bases denies precedemment est la matrice-colonne des coordonnees de'ejdans la base (e1;:::;en). Posons'ej=nX i=1 iei. Comme'ej(ek) =nX i=1 iei(ek) =k='(ej;ek), la matrice representant l'endomorphismex7!'xde la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en) est donc bientM. De m^eme, poury7!'y. Denition 12 {On appelle rangd'une forme bilineaire'denie sur un espace vectorielE de dimension nie le rang commun de ces deux applications. On dit que'est non degenereesi son rang est egal a la dimension deE. Elle est dite degenereesinon. Proposition 13 {Une forme bilineaire est non degeneree si et seulement si la matrice qui la represente dans une base donnee deEest inversible. Elle est degeneree si et seulement s'il existex6= 0 tel que, pour tout y2E,'(x;y) = 0. Denition 14 {On appelle noyaude la forme quadratiqueq, et on note Kerq, l'ensemble fy2E;'(x;y) = 0g. Proposition 15 {Kerqest un sous-espace vectoriel deE. { 3 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Corollaire 16 {Une forme bilineaire'est non degeneree si et seulement si Kerq=f0g, ouqest la forme quadratique associee a'. Denition 17 {On dit qu'une forme quadratiqueqest deniesi on a, pour toutx2E, (x6= 0 =)q(x)6= 0). Proposition 18 {Siqest une forme quadratique denie, alors sa forme bilineaire associee est non degeneree.Demonstration :montrons la contraposee. Soit'une forme bilineaire degeneree, alors il
existex6= 0tel que, pour touty2E,'(x;y) = 0. En particulierq(x) ='(x;x) = 0. Doncqest non denie.Remarque -La reciproque est fausse. Il existe des formes bilineaires non degenerees ayant
une forme quadratique non denie. Par exemple, siE=R2,'(x;y) =x1y1x2y2est non degeneree etq(x) =x21x22est non denie carq(1;1) = 0.3.Formes quadratiques positives Denition 19 {Une forme quadratiqueqdeEest dite positive si, pour toutx2E, q(x)0. Theoreme 20 {(Cauchy-Schwarz)
Soitqune forme quadratique positive et'sa forme bilineaire symetrique associee. On a alors, pour tout (x;y)2EE['(x;y)]2q(x)q(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est realisee que sixetysont
proportionnels.Demonstration :pour toutt2R,q(x+ty)0. En developpant, on obtientt2q(y) + 2t'(x;y) +q(x)0. Siq(y) = 0, alors necessairement'(x;y) = 0et l'inegalite est veriee. Siq(y)6= 0, alors necessairement le discrimant du trin^ome est negatif ou nul, ce qui donne l'inegalite. Supposons de plusqdenie avec'(x;y)2=q(x)q(y).
Siq(y) = 0, alorsy= 0etxetysont proportionnels.
Siq(y)6= 0, alors le discriminant du trin^ome s'annule et donc le trin^ome s'annule aussi. Il existe donct2Rtel queq(x+ty) = 0. Orqest denie doncx+ty= 0.Remarque -L'inegalite de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilineaire
symetrique associee a une forme quadratique positive est continue. Theoreme 21 {(Minkowski)
Soitqune forme quadratique positive surE. Alors, pour tout (x;y)2E2,pq(x+y)pq(x) +pq(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est veriee que s'il existe0 tel
quey=xou six= 0.Demonstration :q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +q(y)q(x) + 2pq(x)q(y) +q(y)d'apres l'inegaltie de Cauchy-Schwarz doncq(x+y)pq(x) +pq(y)2. Supposonsqdenie et l'egalite veriee. L'inegalite de Cauchy-Schwarz est alors egalement veriee. Donc on a soitx= 0soit il existe2Rtel quey=x. Or'(x;x) =pq(x)pq(x)0doncq(x)0, i.e.0. La reciproque est evidente.{ 4 { FORMES QUADRATIQUES
4.Decomposition en carres d'une forme quadratique : methode de
GaussSoientEun espace vectoriel de dimensionnet (e1;:::;en) une base deE. Six2E, on note (x1;:::;xn) ses coordonnees dans la base (e1;:::;en). Soitqune forme quadratique non nulle denie surE. Pour toutx2E, on a q(x) =nX i=1m iix2i+ 2X 1i ijxixj: Proposition 22 {Il existenformes lineaires (`1;:::;`n) denies surElineairement independantesetnreels1;:::;ntels que, pour toutx2E, q(x) =nX i=1 i`i(x)2:Demonstration :par recurrence surn. Sin= 1, le resultat est evident. Supposons que toute forme quadratique den1variables s'ecrit comme la somme de carres de formes lineaires independantes. 1er cas : il existei2 f1;:::;ngtel quemii6= 0.
Supposons (quitte a renumeroter les variables) quei= 1; on ecrit q(x) =m11x21+ 2x1nX j=2m 1jx1xj+R(x2;:::;xn)
ouRest une forme quadratique den1variables. Posonsf(x2;:::;xn) =nX j=2m 1jx1xj;
fest une forme lineaire surE. On ecrit alors q(x) =m11quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
1i ijxixj: Pour retrouver la forme bilineaire associee'aq, on utilise la regle du dedoublement des termes : on remplace les termesx2iparxiyi on remplace le termexixjpar12 (xiyj+xjyi) On verie que, pour'ainsi construite, on a bien'(x;y) =12 [q(x+y)q(x)q(y)].2.Rang d'une forme bilineaire Soient'une forme bilineaire denie sur un espace vectorielEde dimension nie etxety deux vecteurs deE. On denit deux formes lineaires'xet'ydeEpar
8y2E; 'x(y) ='(x;y)
8x2E; 'y(x) ='(x;y)
NotonsEle dual deE(c'est-a-dire l'ensemble des formes lineaires denies surE). Les deux applications deEdansEdenies parx7!'xety7!'ysont lineaires deE dansE. Soient (e1;:::;en) une base deE,Mla matrice de'dans cette base et (e1;:::;en) la base duale. On a, pour tout 1i;jn,mij='(ei;ej) donc la matricetM(respectivement M) represente l'endomorphismex7!'x(respectivementx7!'y) de la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en). En eet, lajeme colonne de la matrice representant l'endomorphismex7!'xdans les bases denies precedemment est la matrice-colonne des coordonnees de'ejdans la base (e1;:::;en). Posons'ej=nX i=1 iei. Comme'ej(ek) =nX i=1 iei(ek) =k='(ej;ek), la matrice representant l'endomorphismex7!'xde la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en) est donc bientM. De m^eme, poury7!'y. Denition 12 {On appelle rangd'une forme bilineaire'denie sur un espace vectorielE de dimension nie le rang commun de ces deux applications. On dit que'est non degenereesi son rang est egal a la dimension deE. Elle est dite degenereesinon. Proposition 13 {Une forme bilineaire est non degeneree si et seulement si la matrice qui la represente dans une base donnee deEest inversible. Elle est degeneree si et seulement s'il existex6= 0 tel que, pour tout y2E,'(x;y) = 0. Denition 14 {On appelle noyaude la forme quadratiqueq, et on note Kerq, l'ensemble fy2E;'(x;y) = 0g. Proposition 15 {Kerqest un sous-espace vectoriel deE. { 3 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Corollaire 16 {Une forme bilineaire'est non degeneree si et seulement si Kerq=f0g, ouqest la forme quadratique associee a'. Denition 17 {On dit qu'une forme quadratiqueqest deniesi on a, pour toutx2E, (x6= 0 =)q(x)6= 0). Proposition 18 {Siqest une forme quadratique denie, alors sa forme bilineaire associee est non degeneree.Demonstration :montrons la contraposee. Soit'une forme bilineaire degeneree, alors il
existex6= 0tel que, pour touty2E,'(x;y) = 0. En particulierq(x) ='(x;x) = 0. Doncqest non denie.Remarque -La reciproque est fausse. Il existe des formes bilineaires non degenerees ayant
une forme quadratique non denie. Par exemple, siE=R2,'(x;y) =x1y1x2y2est non degeneree etq(x) =x21x22est non denie carq(1;1) = 0.3.Formes quadratiques positives Denition 19 {Une forme quadratiqueqdeEest dite positive si, pour toutx2E, q(x)0. Theoreme 20 {(Cauchy-Schwarz)
Soitqune forme quadratique positive et'sa forme bilineaire symetrique associee. On a alors, pour tout (x;y)2EE['(x;y)]2q(x)q(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est realisee que sixetysont
proportionnels.Demonstration :pour toutt2R,q(x+ty)0. En developpant, on obtientt2q(y) + 2t'(x;y) +q(x)0. Siq(y) = 0, alors necessairement'(x;y) = 0et l'inegalite est veriee. Siq(y)6= 0, alors necessairement le discrimant du trin^ome est negatif ou nul, ce qui donne l'inegalite. Supposons de plusqdenie avec'(x;y)2=q(x)q(y).
Siq(y) = 0, alorsy= 0etxetysont proportionnels.
Siq(y)6= 0, alors le discriminant du trin^ome s'annule et donc le trin^ome s'annule aussi. Il existe donct2Rtel queq(x+ty) = 0. Orqest denie doncx+ty= 0.Remarque -L'inegalite de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilineaire
symetrique associee a une forme quadratique positive est continue. Theoreme 21 {(Minkowski)
Soitqune forme quadratique positive surE. Alors, pour tout (x;y)2E2,pq(x+y)pq(x) +pq(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est veriee que s'il existe0 tel
quey=xou six= 0.Demonstration :q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +q(y)q(x) + 2pq(x)q(y) +q(y)d'apres l'inegaltie de Cauchy-Schwarz doncq(x+y)pq(x) +pq(y)2. Supposonsqdenie et l'egalite veriee. L'inegalite de Cauchy-Schwarz est alors egalement veriee. Donc on a soitx= 0soit il existe2Rtel quey=x. Or'(x;x) =pq(x)pq(x)0doncq(x)0, i.e.0. La reciproque est evidente.{ 4 { FORMES QUADRATIQUES
4.Decomposition en carres d'une forme quadratique : methode de
GaussSoientEun espace vectoriel de dimensionnet (e1;:::;en) une base deE. Six2E, on note (x1;:::;xn) ses coordonnees dans la base (e1;:::;en). Soitqune forme quadratique non nulle denie surE. Pour toutx2E, on a q(x) =nX i=1m iix2i+ 2X 1i ijxixj: Proposition 22 {Il existenformes lineaires (`1;:::;`n) denies surElineairement independantesetnreels1;:::;ntels que, pour toutx2E, q(x) =nX i=1 i`i(x)2:Demonstration :par recurrence surn. Sin= 1, le resultat est evident. Supposons que toute forme quadratique den1variables s'ecrit comme la somme de carres de formes lineaires independantes. 1er cas : il existei2 f1;:::;ngtel quemii6= 0.
Supposons (quitte a renumeroter les variables) quei= 1; on ecrit q(x) =m11x21+ 2x1nX j=2m 1jx1xj+R(x2;:::;xn)
ouRest une forme quadratique den1variables. Posonsf(x2;:::;xn) =nX j=2m 1jx1xj;
fest une forme lineaire surE. On ecrit alors q(x) =m11quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
On denit deux formes lineaires'xet'ydeEpar
8y2E; 'x(y) ='(x;y)
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NotonsEle dual deE(c'est-a-dire l'ensemble des formes lineaires denies surE). Les deux applications deEdansEdenies parx7!'xety7!'ysont lineaires deE dansE. Soient (e1;:::;en) une base deE,Mla matrice de'dans cette base et (e1;:::;en) la base duale. On a, pour tout 1i;jn,mij='(ei;ej) donc la matricetM(respectivement M) represente l'endomorphismex7!'x(respectivementx7!'y) de la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en). En eet, lajeme colonne de la matrice representant l'endomorphismex7!'xdans les bases denies precedemment est la matrice-colonne des coordonnees de'ejdans la base (e1;:::;en). Posons'ej=nX i=1 iei. Comme'ej(ek) =nX i=1 iei(ek) =k='(ej;ek), la matrice representant l'endomorphismex7!'xde la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en) est donc bientM. De m^eme, poury7!'y. Denition 12 {On appelle rangd'une forme bilineaire'denie sur un espace vectorielE de dimension nie le rang commun de ces deux applications. On dit que'est non degenereesi son rang est egal a la dimension deE. Elle est dite degenereesinon. Proposition 13 {Une forme bilineaire est non degeneree si et seulement si la matrice qui la represente dans une base donnee deEest inversible. Elle est degeneree si et seulement s'il existex6= 0 tel que, pour tout y2E,'(x;y) = 0. Denition 14 {On appelle noyaude la forme quadratiqueq, et on note Kerq, l'ensemble fy2E;'(x;y) = 0g. Proposition 15 {Kerqest un sous-espace vectoriel deE. { 3 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Corollaire 16 {Une forme bilineaire'est non degeneree si et seulement si Kerq=f0g, ouqest la forme quadratique associee a'. Denition 17 {On dit qu'une forme quadratiqueqest deniesi on a, pour toutx2E, (x6= 0 =)q(x)6= 0). Proposition 18 {Siqest une forme quadratique denie, alors sa forme bilineaire associeeest non degeneree.Demonstration :montrons la contraposee. Soit'une forme bilineaire degeneree, alors il
existex6= 0tel que, pour touty2E,'(x;y) = 0. En particulierq(x) ='(x;x) = 0.Doncqest non denie.Remarque -La reciproque est fausse. Il existe des formes bilineaires non degenerees ayant
une forme quadratique non denie. Par exemple, siE=R2,'(x;y) =x1y1x2y2est non degeneree etq(x) =x21x22est non denie carq(1;1) = 0.3.Formes quadratiques positives Denition 19 {Une forme quadratiqueqdeEest dite positive si, pour toutx2E, q(x)0.Theoreme 20 {(Cauchy-Schwarz)
Soitqune forme quadratique positive et'sa forme bilineaire symetriqueassociee. On a alors, pour tout (x;y)2EE['(x;y)]2q(x)q(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est realisee que sixetysont
proportionnels.Demonstration :pour toutt2R,q(x+ty)0. En developpant, on obtientt2q(y) + 2t'(x;y) +q(x)0. Siq(y) = 0, alors necessairement'(x;y) = 0et l'inegalite est veriee. Siq(y)6= 0, alors necessairement le discrimant du trin^ome est negatif ou nul, ce qui donne l'inegalite.Supposons de plusqdenie avec'(x;y)2=q(x)q(y).
Siq(y) = 0, alorsy= 0etxetysont proportionnels.
Siq(y)6= 0, alors le discriminant du trin^ome s'annule et donc le trin^ome s'annule aussi. Ilexiste donct2Rtel queq(x+ty) = 0. Orqest denie doncx+ty= 0.Remarque -L'inegalite de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilineaire
symetrique associee a une forme quadratique positive est continue.Theoreme 21 {(Minkowski)
Soitqune forme quadratique positive surE. Alors, pour tout (x;y)2E2,pq(x+y)pq(x) +pq(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est veriee que s'il existe0 tel
quey=xou six= 0.Demonstration :q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +q(y)q(x) + 2pq(x)q(y) +q(y)d'apres l'inegaltie de Cauchy-Schwarz doncq(x+y)pq(x) +pq(y)2. Supposonsqdenie et l'egalite veriee. L'inegalite de Cauchy-Schwarz est alors egalement veriee. Donc on a soitx= 0soit il existe2Rtel quey=x. Or'(x;x) =pq(x)pq(x)0doncq(x)0, i.e.0. La reciproque est evidente.{ 4 {