Rappel de l'épisode précédent sur l'inverse d'une application linéaire/matrice Pivot de Gauss Module complémentaire de maths, année 2012 Clément Rau
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Rappel de l'épisode précédent sur l'inverse d'une application linéaire/matrice Pivot de Gauss Module complémentaire de maths, année 2012 Clément Rau
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Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Clément Rau
Laboratoire de Mathématiques de Toulouse
Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan
Module complémentaire de maths, année 2012
Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminant1Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une
application linéaire/matriceNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminant
2Pivot de Gauss sur les matrices
But de l"algorithme
Présentation de la méthode
Diposition des calculs : un exemple
L"algorithme général
Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminant1Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une
application linéaire/matriceNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminant
2Pivot de Gauss sur les matrices
But de l"algorithme
Présentation de la méthode
Diposition des calculs : un exemple
L"algorithme général
Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantRappel : Notion d"application bijectiveDefinition
Soit f:U!V une application linéaire. On dit que f est bijective si pour tout y de V, il existe un unique x dans U tel que f(x) =y:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantRappel : Notion d"application bijectiveDefinition
Soit f:U!V une application linéaire. On dit que f est bijective si pour tout y de V, il existe un unique x dans U tel que f(x) =y:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantNotion d"inverse d"un application linéaire bijective
Dans le cas oùfest bijective, on peut lui fabriquer une application inverse notéef1 f 1:V!Uqui à chaqueydeVassocie l"uniquexdeUtel quey=f(x).Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantNotion d"inverse d"un application linéaire bijective
Dans le cas oùfest bijective, on peut lui fabriquer une application inverse notéef1 f 1:V!Uqui à chaqueydeVassocie l"uniquexdeUtel quey=f(x).Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,
ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,
ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,
ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,
ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque une matrice est une représentation d"une application linéaire (dans de certaines bases), la notion d"inverse d"une application linéaire se translate aux matrices... Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matriceOn considère une application linéaire bijectivef:Rn!RmSoitBdetBades bases respectives deRnetRm.SoitAla matrice defdans les basesBdetBaSoitBla matrice def1dans les basesBaetBdClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matriceOn considère une application linéaire bijectivef:Rn!RmSoitBdetBades bases respectives deRnetRm.SoitAla matrice defdans les basesBdetBaSoitBla matrice def1dans les basesBaetBdClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matriceOn considère une application linéaire bijectivef:Rn!RmSoitBdetBades bases respectives deRnetRm.SoitAla matrice defdans les basesBdetBaSoitBla matrice def1dans les basesBaetBdClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f1of=IdRnfof1=IdRm
on déduit :BA=IdnAB=Idm;
oùIdp=0 B @10 011 CA(de taillep)Definition
La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f1of=IdRnfof1=IdRm
on déduit :BA=IdnAB=Idm;oùIdp=0 B @10 011 CA(de taillep)Definition
La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f1of=IdRnfof1=IdRm
on déduit :BA=IdnAB=Idm;oùIdp=0 B @10 011 CA(de taillep)Definition
La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f1of=IdRnfof1=IdRm
on déduit :BA=IdnAB=Idm;oùIdp=0 B @10 011 CA(de taillep)Definition
La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantDéterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans lecadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.A chaque matriceA, on associe un nombre appelé
determinant deAet notédet(A). det:Mn!R A7!det(A):Ce nombre a la propriété "magique" suivante : A est inversible,det(A)6=0:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans lecadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.A chaque matriceA, on associe un nombre appelé
determinant deAet notédet(A). det:Mn!R A7!det(A):Ce nombre a la propriété "magique" suivante : A est inversible,det(A)6=0:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans lecadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.A chaque matriceA, on associe un nombre appelé
determinant deAet notédet(A). det:Mn!R A7!det(A):Ce nombre a la propriété "magique" suivante : A est inversible,det(A)6=0:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantCalcul de déterminants de matrices d"ordre 2 et 3
det(a b c d ) =adbcdet(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c1c2c31
A ) =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3 (a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1)Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantCalcul de déterminants de matrices d"ordre 2 et 3
det(a b c d ) =adbcdet(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c1c2c31
A ) =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3 (a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1)Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantPour s"en souvenir, on peut écrire : 0 B BBB@a 1a2a3 b 1b2b3 c 1c2c3 a 1a2a3 b1b2b31
CCCCAet
remarquer que le déterminant est la différence entre la somme des diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut. det(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c1c2c31
A ) =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3 (a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1)Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantPour s"en souvenir, on peut écrire : 0 B BBB@a 1a2a3 b 1b2b3 c 1c2c3 a 1a2a3 b1b2b31
CCCCAet
remarquer que le déterminant est la différence entre la somme des diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut.det(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c1c2c31
A ) =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3 (a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1)Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques exemples det(4 3 1 2 ) =11;donc la matrice est inversible.det(41 1 1=4 ) =0;donc la matrice n"admet pas d"inverse.det(0 @24 4 2 0 14 1 11
A) =2;donc la matrice est inversible.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques exemples det(4 3 1 2 ) =11;donc la matrice est inversible.det(41 1 1=4 ) =0;donc la matrice n"admet pas d"inverse.det(0 @24 4 2 0 14 1 11
A) =2;donc la matrice est inversible.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques exemples det(4 3 1 2 ) =11;donc la matrice est inversible.det(41 1 1=4 ) =0;donc la matrice n"admet pas d"inverse.det(0 @24 4 2 0 14 1 11
A) =2;donc la matrice est inversible.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantCalcul de déterminant de matrices d"ordre supérieur
A l"aide des cofacteurs (voir poly pour la déf), on peut calculer le déterminant d"une matrice d"ordre 4, à l"aidedes déterminants de matrices d"ordre 3.Plus généralement, les cofacteurs permettent de caculer le
déterminant d"une matrice d"ordrenà l"aide des déterminants de matrices d"ordren1.4Voir poly pour plus de détailsClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantCalcul de déterminant de matrices d"ordre supérieur
A l"aide des cofacteurs (voir poly pour la déf), on peut calculer le déterminant d"une matrice d"ordre 4, à l"aidedes déterminants de matrices d"ordre 3.Plus généralement, les cofacteurs permettent de caculer le
déterminant d"une matrice d"ordrenà l"aide desdéterminants de matrices d"ordren1.4Voir poly pour plus de détailsClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques propriétés des déterminantsdet(Id) =1det(AB) =det(A)det(B)det(A1) =1det(A):Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques propriétés des déterminantsdet(Id) =1det(AB) =det(A)det(B)det(A1) =1det(A):Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques propriétés des déterminantsdet(Id) =1det(AB) =det(A)det(B)det(A1) =1det(A):Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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