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Domaines et grandes questions IREM de Poitiers - 1
Les grands domaines des mathématiques
La classification de Bossut, 1784
" Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou plutôt de comparer les grandeurs ; par exemple les distances, les surfaces, les vitesses, etc. Elles se divisent en mathématiques pures et en mathématiques mixtes.Les mathématiques pures
abstraite : alyse, science des grandeurs en généralLes mathématiques mixtes
2°) L
La nature des mathématiques
est son objet, nous allons parcourir 5grands domaines qui la constituent : arithmétique, géométrie, algèbre, analyse, statistiques et
probabilités, en essayant de voir comment on peut définir chaque domaine, quelles sont sesorigines, à quelles questions il tente de répondre, et quels types de réponses il apporte à ces
questions. enracinées dans la vie sociale (commerce, propriété, navigation, calendrier, transversales à plusieurs domaines. des méthodes et des outils transférables aux différents domaines, ines aux objets et méthodes très généraux : Arithmétique, Algèbre et Analyse (Nombre, équations, fonctions). Domaines et grandes questions IREM de Poitiers - 2Arithmétique
Définitions
Encyclopédie Méthodique, Bossut, 1734
" es propriétés des arithmétique est labase de toutes les Sciences mathématiques, car les rapports de toutes les espèces de quantités
se réduisent finalement en nombres. Quelques auteurArithmétique la Science de la quantité discrète. »Bézout, 1739
donc la science des nombres : elle en considère la nature et les propriétés ; et son but est de
donner des moyens faciles, tant pour représenter les nombres, que pour les composer et
Ses origines
Besoins sociaux : échanges, partages, commerce, évaluation des biens, impôts, héritages, saBesoins toujours actuels
Les grandes questions
Comment dénombrer
Comment calculer
Comment comparer : problèmes de conversions, de cComment partager
Les réponses à ces questions ont amené à élaborer des notions et des techniques et à les
améliorer : bases de numération, techniques de calcul, format des nombres, système
métrique Les questions sont toujours actuelles ès présente dans notre vie sociale. Domaines et grandes questions IREM de Poitiers - 3Géométrie
Définitions
- Mesurer - Construire " ait de la géométrie, comme on tendait vers des buts concrets, on a effectué des constructions » Lebesgue. La mesure des grandeurs, 1935Origine
" : elle fait comprendre comment, pour des fins pratiques, les hommes ont pu être conduits à construire la géométrie et elle justifie leur effort. » Lebesgue, La mesure des grandeurs, 1935 Arpentage : bornage, partage des terrains, travaux publics (routes, canaux, déblais, remblLes grandes questions
Comment mesurer une grandeur ? (longueur, aire, volume, angle)Comment mesurer des grandeurs inaccessibles ?
Comment construire
avec des instruments donnés) Comment se repérer ? (à la surface de la Terre, sur mer, par rapport au Ciel) ? (perspective, peinture, écran)Les réponses à ces questions ont amené à élaborer tout un corpus de notions, techniques et
instruments : angle, parallèles, tangente, symétries, cercles, triangles, polygones, polyèdres,
corps ronds, constructions, lieux, triangles isométriques, figures astrolabe Questions toujours actuelles, et qui se renouvellentClairaut : Elemens de Géométrie, 1741
PREMIÈRE PARTIE (pages 1 à 72)
mesure des Terrains.DEUXIÈME PARTIE (pages 73 à 102)
De la méthode géométrique de comparer des figures rectilignes.TROISIÈME PARTIE (pages 103 à 144)
De la mesure des figures circulaires et de leurs propriétés.QUATRIÈME PARTIE (pages 145 à 215)
De la manière de mesurer les solides et leurs surfaces. Domaines et grandes questions IREM de Poitiers - 4Algèbre
Définition
" Science du calcul des grandeurs considérées généralement. On a choisi pour représenter les
e et plus La manière de se servir de ce calcul pour la solution des problèmes (partie la plusétendue et la principale). »
Encyclopédie Méthodique
Origines
Algèbre numérique : résolution de problèmes par mise en équation, puis résolution des équations. Algèbre littérale : outil pour résoudre tous les problèmes.Nullum non problema solvere :
résoudre tout problème. » Viète. 1591Les grandes questions
- Comment résoudre un ? - Comment exprimer des relations entre grandeurs ? (formules générales, équations de - Comment calculer sur les grandeurs ?Les réponses
angage universel de la science.Elle a remplacé en ce sens la Géométrie.
Clairaut. , 1768, 4° éd.
Je me suis proposé de suivre dans cet ouvrage la même méthode que dans mesElemens de Géométrie.
les Inventeurs eussent p problèmes que le besoin ou la curiosité ont fait entreprendre de résoudre. » Parmi les différents Problèmes dont les premiers Mathématiciens qui ont noms -ci, comme un des plus propres à faire Analyse ; »Définition
" ANALYSE est proprement la méthode de résoudre les problèmes mathématiques, en les réduisant à des équations. analysee calcul desgrandeurs en général : aussi ces deux mots, analyse, algèbre, sont souvent regardés comme
analyse est divisée, par rapport à son objet, en analyse des quantités finies, et analyse des
quantités infinies. Analyse des quantités finies, est ce que nous appelons autrement Arithmétique Spécieuse ouAlgèbre.
Analyse des quantités infinies ou des infinis, appelée aussi la nouvelle Analyse »Encyclopédie Méthodique
Origine
Méthodes infinitésimales pour le calcul des longueurs de courbes, aires, volumes, centres de gravité. Recherche de lois inconnues (problèmes de mécanique et de physique)Les grandes questions
Comment comparer des grandeurs variables ?
Comment trouver une courbe astreinte à des conditions (trajectoire, : calcul différentiel) ? Comment mesurer des grandeurs liées à des courbes ? (longueur, aire, volume, : calcul intégral).Les réponses
Les réponses à ces questions ont amené à élaborer tout un corpus de notions, méthodes,
techniques : équations, graphiques, fonctions, dérivées, intégrales Domaines et grandes questions IREM de Poitiers - 6Statistiques et probabilités
Définitions
La Géométrie du hasard » Pascal, 1654
-t-il de commun entre la statistique, ensemble de routines administrativesnécessaires pour décrire un état et sa population, et le calcul des probabilités, subtile façon
disparates, effectuées vers 1750 ? » A. Desrosières. La politique des grands nombres. Histoire de la raison statistique, 1993, réédition 2000