CORRIGÉ DU BACCALAURÉAT S LIBAN 28 MAI 2013 - APMEP PDF Corrige_S_Liban

Un vecteur directeur de la droiteDest le vecteur-→d(1, 2, 3), un vecteur directeur de la droiteD?est le vecteur-→d?(1, 1,-1).-→d·-→d?=1+2-3=0. Ces deux vecteurs sont orthogonaux,les droitesDetD?sont donc orthogonales. Aussipar élimination: la a. est fausse car les vecteurs directeursne sont pas colinéaires, b. est fausse car il n"y a pas de point d"intersection et c. est fausse car C n"est pas sur D.

Question 2:

Réponse c

Un vecteur normal au planPest le vecteur-→n(1,1,-1). Ce vecteur est un vecteur directeur de la droiteD?. Ce qui entraîne que ce plan est orthogonalà la droiteD?.

Question 3:

Réponse c

AB=?

4+16+36=?56=2?14, AC=?16+36+4=?56, BC=?36+4+16=?56.

Ces trois distances sont égales, il en résulte que le triangleABC est équilatéral.

Question 4:

Réponse b

Pour déterminer lequel de ces vecteurs est un vecteur normalau planP?, il suffit de véri- fier si ces vecteurs sont orthogonauxà deux vecteurs deP?qui sont non colinéaires.

Prenons-→d?(1, 1,-1) et-→u=--→AD?, où A(1,-1, 2)et D?est un pointdeD?, par exemplecelui

de coordonnées (1, 3, 4), soit--→AD?(0, 4, 2).

On vérifie que-→d?et--→AD?ne sont pas colinéaires, et on constate que, dans le second cas :

Ce qui signifie que le vecteur

-→n(3,-1, 2) est un vecteur normal au planP?.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE2(5 points)

PartieA

1. E0,7C 0,95 C0,05 E 0,3C 0,99 C0,01

2.On chercheP?

C∩

E? =PE(C)×P?E? =0,95×0,70=0,665

3.D"après la formule des probabilités totales :P(C)=P?

C∩

E? +P(C∩E)=0,665+0,99×0,30=0,962.

4.PC(E)=P(E∩C)

P(C)=0,99×0,300,962≈0,309 à 10-3près

PartieB

1.Xsuit la loi normaleN?0,17 ; 0,0062?.

la table. a.D"après le cours, commeYsuit une loi normaleN?m2;σ22?, alorsZ=Y-m2 σ2suit la loi normale centrée réduiteN(0,1). b.

0,16?Y?0,18??0,16-0,17

σ2?Y-0,17σ2?0,18-0,17σ2

soit-0,01

σ2?Z?0,01σ2

Donc lorsqueYappartient à l"intervalle[0,16 ; 0,18], alorsZappartient à l"in- tervalle -0,01

σ2;0,01σ2?

c.On sait que cette probabilité doit être égale à 0,990, le tableau donné permet d"obtenir

β=2,5758

d"où 0,01

σ2=2,5758?σ2=0,00385

En conclusion, à 10

-3près,σ≈0,004.

Liban228 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE3(6 points)

PartieA

1.Puisque limx-→+∞e-x=0, il vient, limx-→+∞f1(x)=1

Puisque lim

x-→-∞e-x=+∞, il vient, limx-→+∞f1(x)=0 Graphiquement cela signifie que les droites d"équationy=0 ety=1 sont deux

2.f1(x)=ex×1

ex(1+e-x)=exex+1=ex1+ex

3.f?1=--e-x

(1+e-x)2=e-x(1+e-x)2. Cette expressionétant toujoursstrictementpositivesurR, il en résulteque la fonc- tionf1est strictement croissante surR. 4. I=? 1 0 f1(x)dx=? 1 0e x

1+exdx=?ln(1+ex)?10=ln(1+e)-ln2=ln?1+e2?

Is"interprètegraphiquementcomme la mesure en unitéd"aires du domainelimité parC1, l"axe desxet les droites d"équationsx=0 etx=1. C"est l"aire du rectangle de côté 1 et de longueur ln?1+e 2? qui vaut à peu près 0,62 unité d"aire (ce qui se vérifie visuellement sur l"annexe).

PartieB

P ?x;f1(x)?etM?x;f-1(x)?.Kest le milieu de [MP].

1.f1(x)+f-1(x)=ex

ex+1+1ex+1=ex+1ex+1=1

2.yK=yM+yP

2=f1(x)+f-1(x)2=12

Le point K est donc un point de la droite d"équationy=1 2.

3.Il résultedelaquestionprécédenteque lesdeux courbessontsymétriquespar rap-

port à la droite d"équationy=1 2. A=2? 1 0 f1(x)-1

2dx=2?

1 0 f1(x)dx-? 1 0 dx=2ln?1+e2? -1≈0,24.

PartieC

Liban328 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1. Vrai: Quel que soitk?R, e-kx>0?1+e-kx>1?0<11+e-kx<1.

2. Faux: On a vu que la fonctionf-1est strictement décroissante surR.

3. Vrai: Car sik?10 alors-1

2k?-5 puis e-1

2k?e-5par croissance de la fonction

exponentielleet enfin 1+e-1

2k?1+e-5.

Finalement :

0,99<0,9933?1

1+e-5?11+e-12k=fk?12?

Liban428 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE4 : Enseignementobligatoire uniquement (5 points)

PartieA

1.L"algorithmeno1 calcule tousles termesdev0àvnmaisn"affiche quele derniervn.

L"algorithmen

de 0 àvn.

L"algorithme n

o3 calcule tous les termes de 0 àvnet les affiche tous. que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3.

3. a.MontronsparrécurrencelapropriétéPn:pourtoutentiernatureln, 0 Initialisation:n=0, ona bien0On suppose donc que 0 Les opposés étant rangés dans l"ordre inverse : -3<-vn<0.
L"addition respecte l"ordre, donc

6-3<6-vn<6 ou 3<-vn<6.
Les inverses de ces nombres positifs sont rangés dans l"ordre inverse : 1
6<16-vn<13.
Enfin la multiplicationpar un réel positif respecte l"ordre:
9×1

6<9×16-vn<9×13, soit32<96-vn<3 et enfin
0<3
2 Conclusion: par le principede récurrence,P0est vraie et si pourn?N,Pnvraie alorsPn+1est aussi vraie, donc on a démontré que pour tout natureln,Pn:
0 b.vn+1-vn=9
6-vn-vn=9-vn(6-vn)6-vn=9-6vn+v2n6-vn(
vn-3)26-vn. Or, d"après la question précédente, 0vn-3>0, donc()2>0 et

vn<3<6, donc 6-vn>0, doncvn+1-vn=(vn-3)2
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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EXERCICE1(4 points)

Question 1:

Réponse d

Question 2:

Réponse c

Question 3:

Réponse c

4+16+36=?56=2?14, AC=?16+36+4=?56, BC=?36+4+16=?56.

Question 4:

Réponse b

Ce qui signifie que le vecteur

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE2(5 points)

PartieA

2.On chercheP?

C∩

3.D"après la formule des probabilités totales :P(C)=P?

C∩

4.PC(E)=P(E∩C)

PartieB

1.Xsuit la loi normaleN?0,17 ; 0,0062?.

0,16?Y?0,18??0,16-0,17

σ2?Y-0,17σ2?0,18-0,17σ2

σ2?Z?0,01σ2

σ2;0,01σ2?

β=2,5758

σ2=2,5758?σ2=0,00385

En conclusion, à 10

Liban228 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE3(6 points)

PartieA

1.Puisque limx-→+∞e-x=0, il vient, limx-→+∞f1(x)=1

Puisque lim

2.f1(x)=ex×1

3.f?1=--e-x

1+exdx=?ln(1+ex)?10=ln(1+e)-ln2=ln?1+e2?

PartieB

1.f1(x)+f-1(x)=ex

2.yK=yM+yP

2=f1(x)+f-1(x)2=12

3.Il résultedelaquestionprécédenteque lesdeux courbessontsymétriquespar rap-

2dx=2?

PartieC

Liban328 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1. Vrai: Quel que soitk?R, e-kx>0?1+e-kx>1?0<11+e-kx<1.

2. Faux: On a vu que la fonctionf-1est strictement décroissante surR.

3. Vrai: Car sik?10 alors-1

2k?-5 puis e-1

2k?e-5par croissance de la fonction

2k?1+e-5.

Finalement :

0,99<0,9933?1

1+e-5?11+e-12k=fk?12?

Liban428 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieA

1.L"algorithmeno1 calcule tousles termesdev0àvnmaisn"affiche quele derniervn.

L"algorithmen

L"algorithme n

L"addition respecte l"ordre, donc

6-3<6-vn<6 ou 3<-vn<6.

6<16-vn<13.

9×1

6<9×16-vn<9×13, soit32<96-vn<3 et enfin

0 b.vn+1-vn=9 6-vn-vn=9-vn(6-vn)6-vn=9-6vn+v2n6-vn( vn-3)26-vn. Or, d"après la question précédente, 0vn-3>0, donc()2>0 et

6-vn-vn=9-vn(6-vn)6-vn=9-6vn+v2n6-vn(

vn<3<6, donc 6-vn>0, doncvn+1-vn=(vn-3)2

0 b.vn+1-vn=9
6-vn-vn=9-vn(6-vn)6-vn=9-6vn+v2n6-vn(
vn-3)26-vn. Or, d"après la question précédente, 0vn-3>0, donc()2>0 et

vn<3<6, donc 6-vn>0, doncvn+1-vn=(vn-3)2