EXERCICE4(5points)(c and idatsn 'ayantpassuivil'e nseignementdespécialit é)
Onco nsidèrelasuitenumérique(v
n )définiepourtout entiernatur elnpar v 0 =1 v n+1 9 6-v n
PartieA
1)Onso uhaiteécrireunalgorithm eaffichant,pourunentie rnaturelndonné,tousle stermesdel asuite,dura ng
0aurang n.Parmilestroisalgorithmessuivants,unseulconvient.Préciserlequelenj ustifiantlarép on se.
AlgorithmeN
o 1
Variables:
vestunréel ietnsontdesent iersnatur els
Débutdel'algo rithme :
Liren vprendlaval eur1
Pourivariantde1ànfaire
vprendlavale ur 9 6-v
Finpour
A ffi cherv
Finalgo rithme
AlgorithmeN
o 2
Variables:
vestunréel ietnsontdesent iersnatur els
Débutdel'algo rithme :
Liren
Pourivariantde1ànfaire
vprendlavale ur1 A ffi cherv vprendlavale ur 9 6-v
Finpou r
Finalgo rithme
AlgorithmeN
o 3
Variables:
vestunréel ietnsontdesent iersnatur els
Débutdel'algo rithme :
Liren vprendlaval eur1
Pourivariantde1ànfaire
A ffi cherv vprendlaval eur 9 6-v
Finpour
Finalgo rithme
2)Pourn=10,onobtientl'affichagesuivant:
Quellesconjecturesp eut-onémettreconcernantlasuite(v n
3)a) Démontrerparrécurrenceque ,pourtou tentiernatureln,0 n <3. b)Démontrerque,pourtoutenti ernatureln,v n+1 -v n (3-v n 2 6-v n
Las uite(v
n )est-ellemonotone? c)Démontrerquelasuite(v n )estconver gente.
PartieB.Recherch edelal imitedelasuite(v
n
Onco nsidèrelasuite(w
n )définiepourto utnentiernaturelpa r w n 1 v n -3
1)Démontrerque(w
n )estune suitearit hmétiquederaison - 1 3
2)Endé duirel'expressionde(w
n ),puiscellede(v n )enfo nctionden.
3)Déterminerlalimitedelasuite (v
n http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.
Liban2013.Ens eignementspéci fique
EXERCICE4
PartieA
1)•L'algorithmen
o 1n'a ffi •L'algorithmen o
L'algorithmen
o
2faitdonca
ffi cher1,1,1...cequiestfaux. •Ondo itmaintenant noterquemalheureusement,l'alg orithmen o 3n'a ffi chequelestermesv 0 ,v 1 ,...,v n-1 etn' a ffi che pasv n .L'algorithmen o
n n∈N soitstrict ementcroissanteetconvergeversunr éelprochede3.
3)a )Montronsparrécurrenceque ,pourto utentiernatureln,0 n <3. •v 0 =1et0<1<3.Donc0Onam ont réparrécurrenceque pourtouten tiernatureln,0Pourtouten tiernatureln,v n+1 -v n (v n -3) 2 6-v n
Soitnunen tiernaturel.D'aprèsl aquestionv
n <3etenp art iculier,6-v n >0etau ssi(v n -3) 2 >0.
Onen dédui tquepourtoutentier natureln,onav
n+1 -v n >0etdo nc lasu ite(v n )eststr ictementcroissante. http://ww w.maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés. c)Lasu ite(v n )estcrois santed'aprèslaquestion3)b)etm ajoréepar3d'aprèslaquestion3 )a).
Onen déduit quelasuite(v
quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16
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CORRIGÉ DU BACCALAURÉAT S LIBAN 28 MAI 2013 - APMEP