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Correction - Physique-chimie - DS 6Problème I - Microphones Extrait de CCP TSI physique 2011, parties 1 et 2 du problème I I.1 - Première partie : Etude d"un condensateur1.?On considère un pointMde coordonnées(x;y;z).
Les plans(M;y;z)et(M;x;z)sont des plans de symétrie de la distribution de charges. Or le champ électrique est contenu dans les plans de symétrie.On en conclut que
~Eest selon~uz:~E(M) =E(x;y;z)~uz:?La distribution de charge est invariante par translation selon l"axeOx, et par translation selon
l"axeOy. Les composantes de~Ene dépendent donc ni dexni dey. On a donc~E(M) =E(z)~uz:?On considère un pointM(x;y;z), et son symétrique par rapport au plan(O;x;y)(le plan des
charges),M0(x;y;z). Le plan(O;x;y)est plan de symétrie de la distribution de charges. Or le champ électrique est symétrique par rapport aux plans de symétrie. On a donc~E(M0)symétrique de~E(M). Dans le cas présent, ceci se traduit parE(z) =E(z), donc la fonctionE(z)est impaire.2.?L"équation de Maxwell-Gauss est div~E="
0. On l"applique par exemple pourz >0. Il n"y a pas de charges dans cette zone, donc= 0.De plus comme
~E(M) =E(z)~uz, on a div~E=dEdz.On obtient donc
dEdz= 0, doncEne dépend pas dez, donc le champ électrique est uniforme au dessus du plan. On montre de même qu"il est uniforme au dessous du plan.(Attention, cela ne veut pas dire que sa valeur au dessus du plan est la même que celle au dessous
du plan.) ?On place un pointM(x;y;z)au dessus du plan (z >0). Choix de la surface de Gauss : un parallélépipède de hauteur2zet de baseaa(il faut obliga- toirement faire un schéma ici).Calcul du flux de
~E: SGauss~
E!dS x S latérales~E!dS+x
S haut enz~E!dS+x
S bas enz~ E!dS = 0 + x S haut enzE(z)~uzdS~uz+x S bas enzE(z)~uzdS(~uz) = 0 + x S haut enzE(z)~uzdS~uz+x S bas enzE(z)~uzdS(~uz)carE(z)impaire = 0 +E(z)a2+E(z)a2 = 2a2E(z): DS 6 - correction1 / 10Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018Calcul deQint: on a iciQint=a2.
Théorème de Gauss : =Qint"
0, d"où2a2E(z) =a2
0, d"oùE(z) =20.
On a donc, pourz >0,~E=20~uz:Enfin, pourz <0on a par imparité deE(z),~E=20~uz:3.On a montré queE(z)est impaire. On a doncE(0) = 0:(La valeur deEen 0 n"a en fait pas vraiment de sens dans le cadre du modèle d"une distribution
surfacique de charges. Il faudrait plutôt considérer une distribution volumique. On montre alors, avec les
mêmes considérations de symétries, queE(0) = 0.)4.On utilise la relation~E=!gradV. Comme~E(M) =E(z)~uz, le gradient a une composante selon
zseulement et on a donc@V@x = 0et@V@y = 0. On a doncV=V(z).La relation devient doncE(z) =dVdz.
Pourz >0on a doncdVdz=20, d"oùV(z) =20z+AavecAune constante. On veutV(0) = 0etVcontinue en 0, doncA= 0.
Pourz <0on a doncdVdz= +20, d"oùV(z) =20z+BavecBune constante. On veutV(0) = 0etVcontinue en 0, doncB= 0.
Donc :V(z >0) =20z;etV(z <0) = +20z:5.pente de
pente de006.On utilise le théorème de superposition : le champ électrique total est la somme du champ créé
par le plan chargé à+, donc~E1=2"0~uzselon que l"on est au-dessus/au-dessous de ce plan, et de celui chargé à, donc~E2=2"0~uzselon que l"on est au-dessus/au-dessous de ce plan.Il y a trois zones :
•Siz > e=2, on a~E=~E1+~E2=~0. •Sie=2< z < e=2, on a~E=~E1+~E2=" 0~uz. •Siz7.?Pourz2[e=2;e=2]on a"
0~uz=!gradV, doncdVdz="
0.En intégrant on obtientV(z) ="
0z+AavecAune constante.
On veutV(z= 0) = 0, d"oùA= 0.
On a doncV(z) ="
0z:?On aU=V(z=e=2)V(z=e=2) ="
0e, soitU=e"
0:?On ak~Ek="
0=Ue :8.k~Ek=Ue =10V10106m= 106V=m:Si le champ électrique est trop important et dépasse unevaleur critique, alors le milieu entre les plaques devient conducteur. Il y a une ou des étincelles.
Le condensateur ne se comporte alors plus correctement, et peut même être endommagé. Dans l"air cette valeur limite est de l"ordre de3:6106V=mpour de l"air sec, moins pour de l"air humide. On est donc ici à la limite. En pratique, on peut remplacer l"air entre les armatures par un liquide diélectrique qui possède une valeur limite plus élevée.9.On a la relation=QS
:DoncU=e" 0=Qe" 0S. La capacitéCdu condensateur peut être définie via la relationU=QCOn a doncC=QU
, soit doncC="0Se :Avec les données de l"énoncé on obtientC'0:1nF:10.On awe="0k~Ek22 pour la densité volumique d"énergie électrique.On remplace égalementk~Ekpar"
0=Q" 0S.On a doncwe="02
Q 2"20S2, soitwe=Q22"0S2:11.L"équation de Maxwell-Ampère est!rot~B=0~j+0"0@~E@t
Dans l"espace entre les armatures, on a
~j=~0.Mais siQdépend du temps, alors~E=Q"
0S~uzégalement, donc@~E@t
n"est pas nul, donc il existe un champ magnétique non nul.12.SoitSrla surface d"un disque de rayonrperpendiculaire à l"axeOz, dont le centre est à l"altitude
z. On oriente sa normale selon+~uz. On a alors x S r! rot~B!dS= C r~B!dl;oùCrest le périmètre de ce disque, orienté selon la règle de la main droite, donc selon+~u.
DS 6 - correction3 / 10Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018On a d"une part :
x S r! rot~B!dS=x S r0"0@~E@t
!dS x S r0"0ddtQ"0S~uzdS~uz
=0S dQdtx S rdS =0r2S dQdt:D"autre part, on a :
C r~B!dl= C rB(r;z)~udl~u =B(r;z) C rdl =B(r;z)2r:On a donc
2rB(r;z) =0r2S
dQdt;d"oùB(r;z) =0r2SdQdt:13.La densité volumique d"énergie magnétique estwm=k~Bk220.On a donc iciwm=0r28S2
dQdt 2 :14.La conditionwmweest équivalente à0r28S2 dQdt 2Q22"0S2.
Or on a
dQdt'!Qen termes d"amplitude. La condition s"écrit doncr2!24 1" 00. On utilise ensuite"00= 1=c2, et le fait quer2vaut au maximumS=. La condition est donc finalementS!24c2, soit encore!2p
cpS :15.En terme de fréquences ceci devientfcpS pOn peut oublier le
ppuisqu"il s"agit d"ordres de grandeur. On doit donc avoirf31010Hz= 30GHz:En pratique pour un microphone les fréquences maximales sont de quelques dizaines de milliers
de Hertz car les sons audibles par l"homme vont jusqu"à environs 20kHz. Les effets magnétiques sont donc bien négligeables.16.On a la relationi=Cdudten convention récepteur (faire un schéma habituel en électronique, avec
le courant et la tension dans des sens opposés).La puissance électrique estP=ui. Donc on a
P=Cdudti=ddt
12 Cu217.?L"énergie électrique totale vérifieP=dWe,totdt.
Donc d"après l"expression précédente deP, on en déduit queWe,tot=12 Cu2:DS 6 - correction4 / 10Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018 ?On peut ensuite utiliseru=QC etC="0Se :We,tot=Q2e2"0S. Enfin, on utilise le fait queWe,tot=weeScareSest le volume du condensateur (seul endroit où le champ électrique créé par le condensateur est non nul). On en déduitwe=Q22"0S2;comme déjà trouvé précédemment.18.?On utilise l"expressionWe,tot=Q2e2"0S(cf question précédente).
Sievarie de de, àQconstante, alorsWe,totvarie de dWe,tot=Q2de2"0S:?Le travail fourni par l"opérateur extérieur pour faire passer l"épaisseur deeà(e+de)s"exprime
commeFde. On a ainsiFde=dWe,tot, et on en déduitF=Q22"0S:?Ceci donne donc également la force exercée par une armature sur l"autre, car la force de
l"opérateur lutte justement contre cette force là. On a doncFa=Q22"0S:Cette force est attractive (les armatures sont attirées l"une vers l"autre, car chargées avec des signes opposés).19.D"après la première partie,~Ei=20~uz=Q20S~uz.
La force exercée par l"armature inférieure sur une surface élémentaire dSde l"armature supérieure
est alors donnée par!dFa=~EidS. La force totale exercée par l"armature inférieure sur l"armature supérieure est donc~Fa=~EiS=Q220S~uz:C"est bien de même norme et de même sens que ce qui a été trouvé précédemment.
I.2 - Deuxième partie : Microphone électrostatiqueL"idée générale est d"utiliser un condensateur alimenté par un générateur de tensionV0constant. Une
variation de pressionp(t)va entraîner un déplacementy(t)de l"armature gauche : il va falloir trouver
une équation liant ces deux grandeurs, ce sera l"équation (1), équation mécanique. On verra que la
chargeq(t)intervient dans cette équation à cause de la force électrostatique entre les deux armatures.
Ensuite, une variation dey(t)entraîne une variation deC(via l"expression qui donneCdéjà démontrée
dans le cadre du modèle de la partie I.1), puis une variation deCentraîne un courant : schématiquement
Q=V0Cdonci=_Q=V0_C, mais il faudra établir une équation électrique plus précise qui prend en
compte la résistanceRdu circuit, ce sera l"équation (2). Le couplage des équations (1) et (2) et un
passage en complexes permettra ensuite d"avoir le lien entrep(t)eti(t).20.?D"après la partie précédente (ou le résultat rappelé en début de cette partie), on a~Fe=Q(t)220S~uyavec un signe + car la force entre les électrodes est attractive.
?On aQ(t)2= (Q0+q(t))2=Q20+ 2Q0q(t) +q(t)2, et on néglige le dernier terme devant les deux autres.On obtient alors
~Fe=Q2020S~uy+Q0q(t)0S~uy:?La composante variable est donc~fe(t) =Q0q(t)
0S~uy:On ne considère plus la composante non variable dans la suite, car elle est compensée par un
dispositif qui maintient l"armature de gauche en place lorsque le condensateur est au repos (y= 0 etq= 0). DS 6 - correction5 / 10Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-201821.Il s"agit d"une force de pression :~fp(t) =PTS~uyPaS~uy, avecPT=Pa+p(t).
D"où
~fp(t) =p(t)S~uy:22.On applique le principe fondamental de la dynamique à l"armature de gauche, dans le référentiel
terrestre supposé galiléen, projeté sur l"axeOy: my=kya_y+p(t)S+Q0q(t)