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CORPS LOCAUX, NOTES DU COURS DE M2

par

Pierre Colmez

Table des matières

1. Corps locaux................................................................. 1

1.1. Définition et exemples................................................... 1

1.2. Généralités sur lesp-anneaux............................................ 3

1.3. Représentants de Teichmüller............................................ 4

1.4. L"anneau des vecteurs de Witt d"un anneau parfait de caractéristiquep.. 4

2. Extensions de corps locaux.................................................. 8

2.1. Ramification et inertie................................................... 8

2.2. Extensions totalement ramifiées......................................... 9

2.3. Monogénéité de l"anneau des entiers..................................... 9

2.4. Extensions non ramifiées et dévissage des extensions finies............... 10

2.5. Extensions modérément ramifiées........................................ 11

2.6. Extensions galoisiennes.................................................. 11

2.7. Structure des extensions finies........................................... 12

3. Théorie de la ramification supérieure........................................ 13

3.1. Groupes de ramification (en numérotation inférieure).................... 13

3.2. Numérotation supérieure des groupes de ramification.................... 14

3.3. La différente............................................................. 16

3.4. Conducteur d"une extension............................................. 19

1. Corps locaux

1.1. Définition et exemples

Uncorps localest un corps complet pour une valuation discrète. En particulier, siKest un uniformisantedeKest alors n"importe quel élémentπdeKvérifiantv(π) =a. Lemme 1.1. -L"idéal maximalmKde l"anneau des entiersOKdeKest principal et un élé- ment deKen est un générateur si et seulement si c"est une uniformisante.

Démonstration. - Évident.

2PIERRE COLMEZ

Exemple 1.2. - (i)Qpmuni de la valuationvpest un corps local dontpest une uniformisante. (ii) SiKest un corps, alorsK((T))muni de la valuationvTest un corps local dontTest une uniformisante. (iii) Le corpsQp{{T}}des séries de LaurentP n?ZanTn, où(an)n?Zest une suite bornée d"éléments deQptendant vers0quandntend vers-∞, devient un corps local si on le munit de la valuationvpdéfinie parvp(P n?ZanTn) = infn?Zvp(an). Son corps résiduel estFp((T))qui n"est pas parfait (mais est un corps local); le corpsQp{{T}}est un exemple de corps local de dimension2. Le théorème suivant, dont la démonstration utilise le lemme de Zorn, montre que l"exemple (ii) est typique. Théorème 1.3. -SiKest un corps local, et sikKa même caractéristique queK, alors il existe un système de représentants dekKdansOKqui est un corps isomorphe àkK, et le choix d"une uniformisanteπdeKinduit un isomorphismeK≂=kK((T))envoyantπsurT. Définition 1.4. - SiAest un anneau etIest un idéal deA, on dit queAestséparé et complet pour la topologieI-adiquesi l"application naturelle deAdanslim←-(A/InA)est un isomorphisme. La topologieI-adique surAest alors celle qui fait de l"isomorphisme précédent un isomorphisme

d"anneaux topologiques,lim←-(A/InA)étant muni de la topologie produit, chacun desA/InAétant

muni de la topologie discrète. Lemme 1.5. - (i)SiKest un corps complet pour une valuationv, et siπ?Kvérifiev(π)>0, alorsOKest séparé et complet pour la topologieπ-adique. (ii)SiAest un anneau, siπ?A, siSest un etSest un système de représentants deA/πA

dansA, et siAest séparé et complet pour la topologieπ-adique, alors tout élément deApeut

s"écrire de manière unique sous la formeP+∞ n=0snπnavecsn?S.

Démonstration. - (i) On noteι:OK→lim←-(OK/πnOK)l"application qui, àx?OK, associe la

suite des images dexmoduloπn. On a alors •ι(x) = 0?v(x)>nv(π)quel que soitn?N?v(x) = +∞ ?x= 0, ce qui montre queι est injective. •Si(xn)n?N?lim←-(OK/πnOK)et siˆxn?OKest un relêvement quelconque dexn, alors v(ˆxn+k-ˆxn)>nv(π)quels que soientn,k?N. Ceci montre que la suiteˆxnest de Cauchy, et sa limitexveŕifiev(x-ˆxn)>nv(π)quel que soitn?N. On en déduit queι(x) = (xn)n?N, ce qui prouve la surjectivité deι. •"v(x-y)>nv(π)»?"x=ydansOK/πkOK, quel que soiti6n», ce qui montre que la topologie induite parvsurOKcorrespond à la topologie produit surlim←-(OK/πnOK), chaque O K/πnOKétant muni de la topologie discrète. (ii) Soits:A→Sl"application qui àxassocie l"unique éléments(x)deSvérifiantx-s(x)? πA. Six?A, on définit par récurrence une suite(xn)n?Nd"éléments deAen posantx0=xet, sin>1,xn=1 (xn-1-s(xn-1)). On a alorsx=Pn i=0s(xi)πi+πn+1xn+1quel que soitn?N, et doncx=P+∞ n=0s(xn)πnce qui prouve l"existence d"une écriture sous la forme mentionnée plus haut. D"autre part, siP+∞ n=0snπn=P+∞ n=0s?nπn, alors réduisant moduloπ, on obtients0=s?0

CORPS LOCAUX, NOTES DU COURS DE M23

et une récurrence immédiate nous montre quesn=s?nquel que soitn?Nd"où l"unicité de l"écriture. Corollaire 1.6. -SiKest un corps local, siSest un système de représentants dekKdans O

K, siπest une uniformisante deK, alors tout élément deOKpeut s"écrire de manière unique

sous la formeP+∞ n=0snπnavecsn?S. Exemple 1.7. - SiK=Qp, on aOK=ZpetkK=Fp, on peut prendrepcomme uniformi- sante et{0,1,...,p-1}ou{[x], x?Fp}comme système de représentants deFpdansZp.

1.2. Généralités sur lesp-anneaux

Définition 1.8. - Un anneauRde caractéristiquepestparfaitsi l"élévation à la puissancep

est un isomorphisme. (SiRest un corps on retombe sur la définition usuelle.) SiRest un anneau parfait de caractéristiquep,un idéalndeRest parfaits"il est stable par extraction de racines p-ième, ce qui équivaut à ce queR/nsoit parfait. Définition 1.9. - SoientAun anneau etRun anneau de caractéristiquep. On dit queA estunp-anneau d"anneau résiduelRs"il existeπ?Atel queAsoit séparé et complet pour la topologieπ-adique etR=A/πA. CommeRest de caractéristiquep, on a en particulierp?πA. Unp-anneau est ditstrictsiπ=petpn"est pas nilpotent dansA, etparfaits"il est strict etR est parfait. Exemple 1.10. - (i)Zpest unp-anneau parfait, carFpest un corps parfait. (ii) SiJest un ensemble quelconque, soitWJ=Zp[Xp-∞ j, j?J] =?m?NZp[Xp-m j, j?J].

On note

cWJle séparé complété deWJpour la topologiep-adique (i.ecWJ= lim←-WJ/pnWJ), ce qui fait de cWJunp-anneau strict d"anneau résiduel W

J=Fp[Xp-∞

j, j?J]qui est parfait (on s"est clairement débrouillé pour). Remarque 1.11. - SoitRun anneau parfait de caractéristiquep. Le morphisme naturel de W

RdansRqui àXx?

W Rassociexest surjectif, ce qui permet de voir tout anneau parfait comme un quotient d"un anneau du type W

Jpar un idéal parfait. Ceci permet de ramener

beaucoup de questions concernant les anneaux parfaits de caractéristiquepau cas des anneaux du type W J. Proposition 1.12. -SiAest unp-anneau d"anneau résiduelRet six?A, les deux conditions suivantes sont équivalentes : (i)xest inversible dansA; (ii) l"image xdexmoduloπest inversible dansR. Démonstration. - Siyest un inverse dexdansA, alors yest un inverse de xdansR. Récipro- quement, si yest un inverse de xdansR, et siyest n"importe quel relèvement de ydansA, alors z= 1-xy?πAetxadmet comme inversey(P+∞ n=0zn). Corollaire 1.13. -SiAest unp-anneau strict dont l"anneau résiduel est un corps, alorsB= A[1 p ]est un corps.

4PIERRE COLMEZ

Démonstration. - Six?B- {0}, il existe un unique entiern?Ztel quepnx?A-pAet la proposition précédente montre quepnxest inversible dansA, ce qui permet de conclure.

1.3. Représentants de Teichmüller. -SiAest un anneau, on noteR(A)l"ensemble des

suitesx= (x(n))n?Nd"éléments deAtelles que l"on ait(x(n+1))p=x(n)quel que soitn?N.

Dans tout ce qui suit,Aest unp-anneau.

Lemme 1.14. -Six,ysont deux éléments deAvérifiantx-y?πA, alorsxpn-ypn?πn+1A quel que soitn?N. Démonstration. - La formule du binôme montre que sia?Aetu?πnA, alors (a+u)p-ap?πn+1A; on en déduit par récurrence surn, le fait que sia?Aetu?πA, alors (a+u)pn-apn?πn+1A, ce qui, appliqué àa=xetu=y-x, permet de conclure. Corollaire 1.15. -Six= (x(n))n?N?R(R)et˜x(n)est un relèvement dex(n), alors la suite de terme général(˜x(n+m))pmconverge dansAvers une limiteψ(n)

A(x)qui ne dépend que dexet

A(x) = (ψ(n)

A(x))n?N?R(A). De plus, on aψA(xy) =ψA(x)ψA(y). Démonstration. - Par construction,(˜x(n+m+1))p-˜x(n+m)?πA, et donc(˜x(n+m+1))pm+1-

(˜x(n+m))pm?πm+1A, ce qui montre que la suite de terme général(˜x(n+m))pmconverge dans

A. Le fait que la limite ne dépende pas du choix des˜x(n)suit du fait que si on a deux choix,

on en fabrique un troisième en panachant et que les trois limites sont égales. On démontre que

(ψ(n+1)

A(x))p=ψ(n)

A(x)par passage à la limite, ce qui prouve queψA(x) = (ψ(n)

A(x))n?N?R(A).

Finalement, la multiplicativité deψAsuit de ce que l"on peut prendre˜x(n)˜y(n)comme relèvement

de(xy)(n)dansA. Remarque 1.16. - SiRest parfait, l"application qui àx= (x(n))n?Nassociex(0)est une bijection deR(R)surRet l"application qui àx?Rassocie[x] =ψ(0)

A(x), (oùxest considéré

comme un élément deR(R)) est multiplicative (i.e.[xy] = [x][y]six,y?R) et l"image de[x] dansR=A/πAestx. Définition 1.17. - L"élément[x]deAestle représentant de TeichmüllerdexdansA. Exercice 1. - (i) Montrer que, siAest de caractéristiquep, alors[x+y] = [x] + [y]quels que soientx,y?R. (ii) Montrer que, siFest un corps local de caractéristiquep, et sikFest parfait, alorsF≂= k

F((T)).

1.4. L"anneau des vecteurs de Witt d"un anneau parfait de caractéristiquep. -On

a vu que l"on pouvait écrire tout élément deZpde manière unique sous la formeP+∞ i=0piωi,

où lesωisont des représentants de Teichmüller d"éléments deFp(i.e. des racines de l"équation

X p-X= 0). On peut se demander s"il est possible de décrire les lois d"addition et multiplication

en utilisant cette écriture. C"est le cas et cela va nous mener à introduire les vecteurs de Witt.

Théorème 1.18. -SiRest un anneau parfait de caractéristiquep, il existe unp-anneau strict W(R)(anneau des vecteurs de Witt à coefficients dansR), unique à isomorphisme unique près, dont l"anneau résiduel estR.

CORPS LOCAUX, NOTES DU COURS DE M25

De plus,W(R)vérifie la propriété universelle suivante. SiAest unp-anneau d"anneau résiduel

R ?, si θ:R→R?un morphisme d"anneaux, et si˜θ:R→Aest une application multiplicative relevant θ, il existe un unique morphisme d"anneauθ:W(R)→Atel que six?R, alors

θ([x]) =˜θ(x).

Proposition 1.19. -SiAest unp-anneau parfait d"anneau résiduelR, alors tout élément de As"écrit de manière unique sous la formeP+∞ i=0pi[xi], où lesxisont des éléments deR. Démonstration. - C"est vrai pour tout système de représentants deRdansA(lemme 1.2). Lemme 1.20. -SoitJun ensemble d"indices. SiAest unp-anneau d"anneau résiduelR, si W

J→Run morphisme d"anneaux, et si˜θ:

W

J→Aest une application multiplicative

relevant θ, il existe un unique morphisme d"anneauθ:cWJ→Atel que six? W

J, alors

θ([x]) =˜θ(x).

Démonstration. - L"unicité est claire : on doit avoirθ(P+∞ i=0pi[xi]) =P+∞ i=0pi˜θ(xi). Montrons l"existence. Soitf:WJ→Ale morphisme d"anneaux défini parf(Xp-m j) =˜θ(Xp-m j)sij?J etm?N. On prolongefpar continuité en un morphismeˆf:cWJ→Aet pour conclure, il suffit de prouver que six? W

J, alorsˆf([x]) =˜θ(x). Le morphisme

f: W

J→Rinduit parˆfcoïncide

par construction avec

θsurXp-m

jsij?Jetm?Net comme ces éléments engendrent W J, on en déduit l"égalité de fet

θ. Ceci implique en particulier que six?

W

Jetn?N, alors

ˆf([xp-n])-˜θ(xp-n)?πAet donc, d"après le lemme 1.14, queˆf([x])-˜θ(x)?πn+1Aquel que

soitn?N, et permet de conclure. SoitN?Nla réunion disjointe de deux copies deN. Pour alléger un peu les notations, notons X ietYiau lieu deX1,ietX2,iles variables deWN?NUn élémentP(X,Y)de W

N?Npeut

s"écrire de manière unique sous la forme

P(X,Y) =X

r,sa r,s³ +∞Y i=0X rii´³ +∞Y j=0Ysj j´ la somme portant sur les couples(r,s)de familles d"éléments deZ[1 p ]n"ayant qu"un nombre fini de termes non nuls et lesar,sétant des éléments deFppresque tous nuls. Soient(Si(X,Y))i?Net(Pi(X,Y))i?Nles suites d"éléments de W

N?Ndéfinie par

+∞X i=0p i[Xi] ++∞X i=0p i[Yi] =+∞X i=0p i[Si(X,Y)] et³ +∞X i=0p i[Xi]´³ +∞X i=0p i[Yi]´ =+∞X i=0p i[Pi(X,Y)]. Les polynômesSietPisont des polynômes universels permettant de décrire les lois d"addition et multiplication dans unp-anneau parfait si on écrit les éléments sous la formeP+∞ i=0pi[xi], où

lesxisont des éléments de l"anneau résiduel. De manière précise, on a la proposition suivante.

Proposition 1.21. -SiAest unp-anneau parfait d"anneau résiduelR, et six= (xi)i?Nest une suite d"éléments deR, on noteΣ(x)l"élémentP+∞ i=0pi[xi]deA. Six= (xi)i?Nety= (yi)i?Nsont deux suites d"éléments deR, alors

Σ(x) + Σ(y) =+∞X

i=1p i[Si(x,y)] et Σ(x)Σ(y) =+∞X i=1p i[Pi(x,y)].

6PIERRE COLMEZ

Démonstration. - Soit

W

N?N→Rle morphisme défini par

θ(Xi) =xiet

θ(Yi) =yisi

i?N. Soit˜θ: W N?N→Al"application multiplicative définie par˜θ(x) = [

θ(x)]. D"après le

lemme 1.20, il existe une unique morphismeθ:cWJ→Atel que l"on aitθ([z]) = [

θ(z)]quel

que soitz? W N?N. Soient alorsX= (Xi)ietY= (Yi)i?Iles deux suites naturelles d"éléments deWN?N. On a par constructionΣ(x) =θ(Σ(X))etΣ(y) =θ(Σ(Y)), ce qui nous donne les formules Σ(x) + Σ(y) =θ(Σ(X)) +θ(Σ(Y)) =θ(Σ(X) + Σ(Y)) =θ(+∞X i=0p i[Si(X,Y)]) =+∞X i=0p i[

θ(Si(X,Y))] =+∞X

i=0p i[Si(x,y)],

ce qui donne le résultat pour la somme; le produit se traitant exactement de la même manière,

cela permet de conclure. Remarque 1.22. - (i) La proposition 1.19 décrit un anneau parfait d"anneau résiduelRde manière ensembliste, en fonction deR, et la prop. 1.21 montre qu"il existe au plus une structure

dep-anneau strict sur cet ensemble, qui fasse deRl"anneau résiduel. On en déduit l"unicité de

W(R).

(ii) Du fait de la distributivité de la multiplication par rapport à l"addition et de la continuité

de l"addition, pour être capable de multiplier, additionner ou soustraire deux éléments de la

formeΣ(x)etΣ(y), il suffit d"avoir une formule pour[X]-[Y]. (iii) CommeΣ(0) = 0, on aΣ(x) + Σ(y) = 0, six= 0ety= 0; cela implique que lesSi, i?N, n"ont pas de terme constant. De même,Σ(x)Σ(y) = 0six= 0ouy= 0, cela implique que lesPin"ont pas de termes de degré0en lesXjou en lesYj. Exercice 2. - Montrer que, sii?N, alorsSi(resp.Pi) est un polynôme homogène de degré1 (resp. de degré2) enX0,...,Xi,Y0,...,Yi. Lemme 1.23. -SoitAunp-anneau strict d"anneau résiduelRparfait etnun idéal parfait de

Rdistinct deR, l"ensembleW(n) ={P+∞

i=0pi[xi]|xi?nquel que soiti?N}est un idéal fermé deAetA/W(n)est unp-anneau parfait d"anneau résiduelR/n. Démonstration. - On déduit de la prop 1.21 queW(n)est un sous-groupe additif deA, et qu"il est stable par multiplication par un élément deAcarvX(Pi) =vY(Pi)>0(rem. 1.22). Par ailleurs, W(n)est fermé par construction, et l"anneau résiduel deA/W(n)estA/W(n) +pA=R/n, ce qui termine la démonstration.

Revenons à la démonstration du théorème 1.18. L"unicité a déjà été démontrée au (i) de la

rem. 1.22. SiRest parfait de caractéristiquep, on peut l"écrire (de manière non unique) comme

un quotient d"un W Jpar un idéal parfaitn. Le lemme précédent montre queW(R) =cWJ/W(n) est unp-anneau parfait d"anneau résiduelR.

Il reste à prouver queW(R)satisfait la propriété universelle demandée, mais cela se déduit

du lemme 1.20 en composant tout avec la projection de W

JsurRet en remarquant que le

morphisme de cWJdansAque l"on obtient se factorise à traversW(R).

Exemple 1.24. - (i)W(Fp) =Zp.

CORPS LOCAUX, NOTES DU COURS DE M27

(ii) Plus généralement, siKest un corps local de caractéristique0dont le corps résiduelkK

est parfait de caractéristiquep, et dontpest une uniformisante, alorsK≂=W(kK)[1 p Démonstration. - l"anneau des entiers deKest unp-anneau parfait d"anneau résiduelkK, donc isomorphe àW(kK). Exercice 3. - On définit par récurrence surn, une suite(Un)u?Nd"éléments deZ[1 p ][X,Y], en posant U n(X,Y) =1 p n³

Xpn+Ypn-³

n-1X i=0p iUi(X,Y)pn-i´´ (i) CalculerU0etU1et vérifier queU0,U1?Z[X,Y]. (ii) On se place dans l"anneauSX,Y=\Z[Xp-∞,Yp-∞]et on écritX+Ysous la forme

X+Y=+∞X

i=0p (a) Montrer queXpn+Ypn=P+∞ i=0pi[Vi(X,Y)pn]. (b) On suppose que, quel que soiti6n-1,Ui?Z[X,Y]et que l"image U ideUidans F p[X,Y]vérifie U i=Vpi i. Montrer que n-1X i=0p iUi(X,Y)pn-i≡n-1X i=0p i[Vi(X,Y)pn] modpn+1.

En déduire queUn?Z[X,Y]et que

U n=Vpn n. (iii) Montrer queVnest un polynôme enXp-netYp-n, puis queSnetPn, donnant l"addition et la multiplication des vecteurs de Witt, sont des polynômes en lesXpj-n j,Ypj-n j, avecj6n. Proposition 1.25. -SiRetR?sont deux anneaux parfaits de caractéristiquep, l"application naturelle deHom(W(R),W(R?))dansHom(R,R?)est une bijection. En particulier, le morphisme de Frobeniusx→xpsurRse relève en un automorphisme?(de

Frobenius) deW(R).

Démonstration. - Si

θest un morphisme deRdansR?, on pose˜θ(x) = [

θ(x)]et˜θest une

application multiplicative deRdansW(R?)relevant θ; on en déduit, utilisant la seconde partie du théorème, la surjectivité de l"application naturelle deHom(W(R),W(R?))dansHom(R,R?). Si θest un morphisme deW(R)dansW(R?), on aθ([x]) = limn→+∞=θ([xp-n])pn= [ (x)]

d"après le corollaire 1.15 (et la remarque 1.16), puisqueθ([xp-n])est un relèvement dansW(R?)de

θ(xp-n) = (

θ(x))p-n, et l"injectivité suit de ce queW(R)étant unp-anneau strict, la connaissance deθ([x])pour toutx?Rest équivalente à la connaissance deθd"après la proposition 1.19. Exercice 4. - Soitkun corps algébriquement clos de caractéristiquep. (i) Montrer que?-1 :W(k)→W(k)est surjectif. Quel est son noyau? x =u.

8PIERRE COLMEZ

2. Extensions de corps locaux

Dans tout ce § (sauf mention explicite du contraire),Fest un corps complet pour une valuation discrète, et le corps résiduelkFest de caractéristiquep.

2.1. Ramification et inertie. -SiFest un corps complet pour une valuation discrète et

Kest une extension finie deF, le corps résiduelkKest une extension finie dekFde degré f=f(K/F)appelé indice d"inertie de l"extensionK/F.

D"autre part, on av(K?)?1

[K:F]v(F?)etv(F?)est donc d"indice finie=e(K/F)dansv(K?). Cet indice est appelé indice de ramification de l"extensionK/F. Lemme 2.1. -Soiente=e(K/F)etf=f(K/F). Soientu1,...,ufdes éléments deOKdont les réductions modulomKforment une base dekKsurkFetπKune uniformisante deOK. Alors, lesπj

Kuipour06j6e-1et16i6fforment une base deOKsurOF.

Démonstration. - SoitSFun système de représentants dekFdansOFet soitSK=SFu1+···+ S Fuf, ce qui fait deSKun système de représentants dekKdansOK. SoitπFune uniformisante deF. CommeOK/πFOK=OK/πeKOK, on déduit du corollaire 1.6, le fait queSK+πKSK+

···+πe-1

KSKest un système de représentants deOK/πFOKet donc que tout élément deOK peut s"écrire de manière unique sous la forme +∞X n=0π nF³ e-1X j=0πj K³ fX i=1s i,j,nui´´ =e-1X j=0f X i=1πj

Kui³

+∞X n=0π nFsi,j,n´

avecsi,j,n?SF, ce qui implique, utilisant le fait que tout élément deOFpeut s"écrire de manière

unique sous la formeP+∞ n=0πnFsnavecsn?SF, que tout élément deOKpeut s"écrire de manière unique sous la formePe-1 j=0P f i=1πj

Kuiyi,javecyi,j?OF. Ceci permet de conclure.

Corollaire 2.2. -e(K/F)f(K/F) = [K:F].

Démonstration. - Une base deOKsurOFest aussi une base deKsurF. Définition 2.3. - L"extensionK/Festnon ramifiéesie(K/F) = 1, et sikK/kFest séparable. Elle esttotalement ramifiéesie(K/F) = [K:F]. Elle estmodérément ramifiéesie(K/F)est

premier à la caractéristique du corps résiduel et sikK/kFest séparable, etsauvagement ramifiée

dans le cas contraire. Lemme 2.4. -SiL/KetK/Fsont deux extensions finies, alorse(L/F) =e(L/K)e(K/F) etf(L/F) =f(L/K)f(K/F)

Démonstration. - exercice.

Exercice 5. - (i) Montrer que siKetLsont deux extensions non ramifiées deF, alorsK·L est une extension non ramifiée deF. (ii) Construire un exemple oùKetLsont deux extensions totalement ramifiées deF, etK·L n"est pas une extension totalement ramifiée deF.

CORPS LOCAUX, NOTES DU COURS DE M29

2.2. Extensions totalement ramifiées

SiKest un corps local, unpolynôme d"Eisensteinde degrédest un polynôme unitaireP(X) = X d+ad-1Xd-1+···+a0?K[X]tel quea0soit une uniformisante deK, eta1,...,ad-1?mK.

Comme on l"a déjà remarqué, la théorie des polygones de Newton permet de montrer qu"un tel

polynôme est irréductible. Lemme 2.5. -SoitKun corps complet pour une valuation discrète etPun polynôme d"Ei- senstein de degréd. SoitL=K[X]/Petxl"image deXdansL. Alors (i)Siv(K?) =uZavecu >0, alorsv(x) =u d etL/Kest totalement ramifiée. (ii)xest une uniformisante deL. (iii)siy=Pd-1 i=0aixi, alorsv(y) = infiv(ai) +iu d (iv)1,x,...,xd-1forment une base deOL(resp.L) surOK(resp.K).quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39