Cela fait belle lurette que j'avais appris (en classe de cinqui`eme) la méthode d' extraction, `a une unité pr`es par défaut, de la racine carrée d'un entier
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[PDF] Extraction dune racine dans un carré - Département de
des racines carrées Un tel problème, il va presque de soi, est géométrique dans sa nature même : extraire une racine carrée revient tout bonnement, comme
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Comment extraire la racine carrée de 156 ? La disposition de l'extraction d'une racine carrée ressemble à celle de la division : Le nombre 156 doit être séparé
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On regroupe les chiffres du nombre A par paquets de 2 à partir de la virgule, ici on obtient 83756,361 On inscrit ainsi le nombre dont on cherche la racine carrée
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Cela fait belle lurette que j'avais appris (en classe de cinqui`eme) la méthode d' extraction, `a une unité pr`es par défaut, de la racine carrée d'un entier
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Soit p un nombre premier impair et soit a un entier qui est un carré dans Z/pZ∗ Dans ce cas, il y a deux racines carrées de a distinctes et deux seulement En effet
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La plus utilisée est la racine carrée, mais il existe des racines n – èmes en Il est possible d'extraire la totalité ou une partie de la racine en la décomposant en
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d'approximation des racines carrés que j'ai découvert chez Al- Morouzi; mais je pour extraire la racine carrée de 6 11 a d'abord fait voir que « la racine
pdf Extraction d’une racine dans un carré - Université Laval
On peut procéder en traçant d’abord dans ce carré un « grand » carré de côté connu (La recherche d’une longueur convenable pour le côté d’un tel carré est en l’occurrence bien sûr banale mais dans le cas d’un « gros » Extraction d’une racine dans un carrré Bernard R Hodgson • Université Laval
Extraction de la racine carrée d’un entier naturel chez al-
l?algorithme de l?extraction de la racine carrée a connu une postérité toujours actuelle puisqu?il est implémenté aujourd?hui dans nos calculatrices et nos ordinateurs On retrouve cet algorithme dans les écrits de plusieurs mathématiciens comme M??ammad
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A. El Kacimi
devraient-ils se poser des questions ? J'ai eu derniµerement µa e®ectuer un calcul qui le faire de t^ete, ou mentalement comme on dit). J'ai voulu essayer par cette \vieille" habituel sous la forme : a=an¡1an¡2¢¢¢a1a0 avec 0·ai·9 pour touti= 0;1;¢¢¢;n¡2 et 0< an¡1·9. Ceci signi¯e : a=an¡1¢10n¡1+¢¢¢+a1¢10 +a0¢100 avoir des choses du type :1556 = 01556 = 0001556 = 000000001556 =¢¢¢
chi®resa0;a1;¢¢¢;an¡1pris dansf0;1;¢¢¢;9g. tel quex2=aet qu'on notep x2·a <(x+ 1)2:
1. Question :Comment calculer cetteRCPD ?
1 peu prµes le faire µa la main. Mais pouraassez grand (tout le monde comprend ce qu'on nombreautilise 2nou 2n¡1 chi®res, sa RCPD en utilise exactementn, c'est-µa-dire :sia=a2n¡1a2n¡2¢¢¢a1a0oua=a2n¡2¢¢¢a1a0, on ax=xn¡1xn¡2¢¢¢x1x0(avec bien
s^urxn¡16= 0). ²Supposons queaak= 2nouk= 2n¡1 chi®resa0;a1;¢¢¢;ak¡1(avecak¡16= 0). blocs de deux µa partir de la droite : a= (a2n¡1a2n¡2)(a2n¡3a2n¡4)¢¢¢(a3a2)(a1a0) sik= 2nou : a= (a2n¡2)(a2n¡3a2n¡4)¢¢¢(a3a2)(a1a0)sik= 2n¡1. Posons»0=a1a0,»1=a3a2;¢¢¢,»n¡1=a2n¡1a2n¡2ou»n¡1=a2n¡2.
2. Lemme.Le chi®rexn¡1de laRCPDxdeaest laRCPDdu nombre (µa un ou
deux chi®res)»n¡1. Preuve. Faisons d'abord une remarque. Avec les notations que nous avons choisies, Commex=xn¡1¢10n¡1+¢¢¢+x1¢10 +x0, on a : x n¡1¢10n¡1·x <(xn¡1+ 1)¢10n¡1 (avec bien s^ur (xn¡1+ 1)¢10n¡1= 10nsi jamaisxn¡1= 9) et par suite : x n¡1¢10n¡1·x < x+ 1·(xn¡1+ 1)¢10n¡1: Commexest la RCPD dea, on ax2·a <(x+ 1)2; ce qui implique : x2n¡1¢102n¡2·a <(xn¡1+ 1)2¢102n¡2
x2n¡1¢102n¡2·»n¡1¢102n¡2<(xn¡1+ 1)2¢102n¡2:
2 Aprµes simpli¯cation par 102n¡2, on obtient : x2n¡1·»n¡1<(xn¡1+ 1)2
x x=Xk¡1¢10n¡k+1+xn¡k¢10n¡k+´avec´ <10n¡k:On a :
Xk¡1¢10n¡k+1+xn¡k¢10n¡k·x < x+ 1·Xk¡1¢10n¡k+1+ (xn¡k+ 1)¢10n¡k
ou encore : (10Xk¡1+xn¡k)¢10n¡k·x < x+ 1·(10Xk¡1+xn¡k+ 1)¢10n¡k: (10Xk¡1+xn¡k)2¢102n¡2k·x2<(x+ 1)2·(10Xk¡1+xn¡k+ 1)2¢102n¡2k ou encore, puisquexest RCPD dea: (10Xk¡1+xn¡k)2¢102n¡2k·a <(10Xk¡1+xn¡k+ 1)2¢102n¡2k: a= (»n¡1¢¢¢»n¡k)¢102n¡2k+°avec° <102n¡2k:D'oµu :
qui nous donne, aprµes simpli¯cation par 102n¡2k:
(10Xk¡1+xn¡k)2·Zk<(10Xk¡1+xn¡k+ 1)2 l'entierZk=»n¡1¢¢¢»n¡ket doncxn¡kest le plus grand entier tel que : (10Xk¡1+xn¡k)2·Zk; 3 c'est-µa-dire (aprµes calcul) :3. Et l'algorithme ?Comment extrait-on laRCPDde fa»con pratique?
²On aa=a2n¡1a2n¡2¢¢¢a3a2a1a0oua=a2n¡2a2n¡3¢¢¢a3a2a1a0. On regroupe les
chi®res en blocs de deux en commen»cant par la droite : a= (a2n¡1a2n¡2)(a2n¡3a2n¡4)¢¢¢(a3a2)(a1a0) ou : a= (a2n¡2)(a2n¡3a2n¡4)¢¢¢(a3a2)(a1a0):n¡1=a2n¡1a2n¡2ou»n¡1=a2n¡2; »n¡2=a2n¡3a2n¡4;¢¢¢;»1=a3a2; »0=a1a0: