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Chapitre 3Fractions rationnelles3.1 Corps de fractions d"un anneau int`egre. Frac- tions rationnelles SoitAun anneau commutatif int`egre (par exempleZ, ou l"anneauK[X] des polynˆomes `a coefficients dans un corpsK). On va fabriquer `a partir deAun corps en inversant les ´el´ements non nuls deA. Sur l"ensemble des couples (a,b) d"´el´ements deAavecb?= 0, on d´efinit la relation≂par (a,b)≂(c,d) si et seulement siad=bc . La relation≂est une relation d"´equivalence. On notea bla classe d"´equivalence de (a,b); on a donca b=cdsi et seulement siad=bc. On note Frac(A) l"ensemble de ces classes d"´equivalences (fractions). On d´efinit surFrac(A) l"addition et la multiplication par : b+cd=ad+bcbda b×cd=acbd Ces op´erations sont bien d´efinies : pour l"addition, ceci veut dire que si (a,b)≂ (a?,b?) et (c,d)≂(c?,d?), alors (ad+bc,bd)≂(a?d?+b?c?,b?d?). Th´eor`eme 3.1Frac(A), muni de l"addition et de la multiplication, est un corps. On l"appelle lecorps de fractions deA. L"applicationA→Frac(A)qui en- voieasura

1est un homomorphisme injectif d"anneaux, qui permet d"identifier

A`a un sous-anneau deFrac(A).

Avec cette identification, tout ´el´ementbnon nul deAa un inverseb-1=1 dans Frac(A), eta b=a×b-1. Le corps de fractions deZest bien sˆurQ, le corps des nombres rationnels.

20CHAPITRE 3. FRACTIONS RATIONNELLES

D´efinition 3.2Lecorps des fractions rationnellesenX`a coefficients dans le corpsKest le corps de fractions deK[X]. On le noteK(X). On peut choisir un repr´esentant privil´egi´e pour une fraction rationnelle : Une fraction rationnelle est dite sousforme r´eduitequand elle est ´ecrite commeA o`uAetBsont des polynˆomes premiers entre eux etBest unitaire. Une fraction rationnelle a une unique forme r´eduite. SiF=P

Q, on trouve sa forme r´eduite

en calculant un pgcdDdePetQ; on a alorsQ=λDBavecBpolynˆome unitaire etλ?Kconstante non nulle, et on d´efinitAparP=λDA; la forme r´eduite deFestA On a l"habitude de dire quePest le num´erateur etQle d´enominateur de la fractionP Q. Mais ceci est un abus de langage, car le num´erateur et le d´enominateur sont associ´es `a un repr´esentant de la fraction, et pas `a la fraction elle-mˆeme. On peut cependant parler du num´erateur et du d´enominateur de la forme r´eduite d"une fraction rationnelle, grˆace `a l"unicit´e de celle-ci.

Exercice 3.1

Mettre sous forme r´eduite les fractions rationnelles suivantes :

3+ 4X2+X-6

X4-X3-5X2-X-6X

4+X2+ 1X3+ 3X2+ 3X+ 2.

Exercice 3.2

PourF=AB?K[X], on pose deg(F) = deg(A)-deg(B). Montrer que deg(F) est bien d´efini (ne d´epend pas du repr´esentant choisi de lafraction rationnelle) alg`ebre deK(X).

3.2 Fonction rationnelle

D´efinition 3.3SoitF?K[X]une fraction rationnelle,F=A

Bsa forme

r´eduite. UnpˆoledeF(dansK) est une racine deB(dansK). La multipli- cit´e du pˆole est sa multiplicit´e en tant que racine deB. Unz´erodeF(dansK) est une racine deA(dansK). La multiplicit´e du z´ero est sa multiplicit´e en tant que racine deA Une fraction rationnelle a un nombre fini de pˆoles. Une fraction rationnelle non nulle a un nombre fini de z´eros. SiF=A Best une fraction rationnelle sous forme r´eduite, etcun ´el´ement de Kqui n"est pas un pˆole deF, alors on peut d´efinir la valeur deFencpar

F(c) =A(c)

B(c)?K.

3.2. FONCTION RATIONNELLE21

Dest un autre repr´esentant deFet queD(c)?= 0, alors on a aussiF(c) = B(c) D(c). On obtient ainsi lafonction rationnellec?→F(c) associ´ee `a la fraction rationnelleF. Cette fonction rationnelle est d´efinie surKpriv´e de l"ensemble (fini) des pˆoles deF. On aF(c) = 0 si et seulement sicest un z´ero deF. Sicn"est pˆole ni deFni deG, on a (F+G)(c) =F(c)+G(c) et (F×G)(c) =F(c)×G(c). Th´eor`eme 3.4(On suppose le corpsKinfini.) SoitFetGdeux fractions rationnelles telles que pour toutc?Kqui n"est pˆole ni deFni deG, on a

F(c) =G(c). AlorsF=G.

On peut substituer une fraction rationnelle non constante `a l"ind´etermin´ee dans une autre fraction rationnelle. SoitG=A

Bnon constante sous forme

r´eduite, et

F=a0+a1X+···+anXn

b0+b1X+···+bqXq, alors on pose F(G) = (a0+a1G+···+anGn)×(b0+b1G+···+bqGq)-1 =Bq-na0Bn+a1ABn-1+···+anAn b0Bq+b1ABq-1+···+bqAq Cette substitution est bien licite car la fraction rationnelleb0+b1G+···+bqGq n"est pas la fraction rationnelle nulle. Proposition 3.5SoitGune fraction rationnelle non constante. L"application F?→F(G)deK(X)dans lui-mˆeme est un homomorphisme deK-alg`ebres. La substitution correspond `a la composition des fonctionsrationnelles, l`a o`u la compos´ee est d´efinie : sic?Kn"est pas un pˆole deGetG(c) n"est pas un pˆole deF, alorscn"est pas un pˆole deF(G) etF(G)(c) =F(G(c)).

Exercice 3.3

Soitc?K. L"ensemble des fractions rationnelles deK(X) dontcn"est pas pˆole est-il une sous-K-alg`ebre deK(X)? L"ensemble des fractions rationnelles deK(X) dontcest un z´ero est-il une sous-K-alg`ebre deK(X)?

Exercice 3.4

Comparer les pˆoles et les z´eros deF(X+a) `a ceux deF.

Exercice 3.5

SoitG=aX+bcX+davecad-bc?= 0. Montrer queF?→F(G) est un homomor- phisme bijectif deK(X) sur lui-mˆeme, et trouver la bijection r´eciproque.

22CHAPITRE 3. FRACTIONS RATIONNELLES

3.3 D´ecomposition en ´el´ements simples

3.3.1 Le th´eor`eme g´en´eral

Th´eor`eme 3.6SoitF=A

B?K(X)une fraction rationnelle, o`u on suppose

Bunitaire non constant (deg(B)>0). Soit

B=Pα11···Pαnn

sa d´ecomposition en produit de facteurs irr´eductibles dansK[X](lesPisont irr´eductibles unitaires distincts deux `a deux, et lesαisont des entiers stricte- ment positifs). Alors il existe une unique famille de polynˆomes deK[X] telle quedeg(Ci,j)F=E+C1,1

Les fractions rationnelles

PjavecPirr´eductible dansK[X] et deg(C)<

deg(P),C?= 0, s"appellent des´el´ements simples. La d´ecomposition deF donn´ee par le th´eor`eme ne d´epend pas du choix du repr´esentant (A,B) pour la fraction rationnelle. Elle s"appelle lad´ecomposition en ´el´ements simples deF. Le polynˆomeEs"appelle lapartie enti`eredeF. SiF=A

B, c"est le quotient

de la division euclidienne deAparB. Les ´el´ements simples qui peuvent apparaˆıtre dans la d´ecomposition deFsont lesC Pjo`uPest un facteur irr´eductible du d´enominateur de la forme r´eduite deF, etjest inf´erieur ou ´egal `a la plus grande puissanceαavec laquelleP divise ce d´enominateur; de plus, il y a n´ecessairement un ´el´ement simpleC Pα avecC?= 0 dans la d´ecomposition deF.

3.3.2 Pratique de la d´ecomposition en ´el´ements simples

surC

SoitF=A

Bune fraction rationnelle surC, qu"on supposera toujours sous forme r´eduite,

B= (X-a1)α1(X-a2)α2···(X-an)αn.

Lesai?Csont les pˆoles deF, etαileurs multiplicit´es. La d´ecomposition en

´el´ements simples deFest de la forme

F=E+c1,1

o`uEest la partie enti`ere deFetci,j?Cpouri= 1,...,netj= 1,...,αi. La partieci,1

3.3. D´ECOMPOSITION EN´EL´EMENTS SIMPLES23

de la d´ecomposition s"appelle lapartie polaire relative au pˆoleai. Remar- quer que si l"on soustrait `aFsa partie polaire relative au pˆoleai, on obtient une fraction rationnelle qui n"a plusaipour pˆole.

Le nombreci,αise d´etermine facilement.

Proposition 3.7(Les notations sont celles qui ont ´et´e introduites ci-dessus). SiB= (X-ai)αiS, avecS(ai)?= 0, on aci,αi=A(ai)/S(ai). Siαi= 1(aiest pˆole simple deF), alorsci,1=A(ai)/B?(ai).

Exemple :

F=5X3+ 11X2-2X-2

X4+ 2X3-X2-2X.

On trouve facilement les racines 0,1,-1,-2 du d´enominateur (toutes simples). la d´ecomposition aura la forme F=a

X+bX-1+cX+ 1+dX+ 2.

La d´eriv´ee du d´enominateur est 4X3+6X2-2X-2. On obtient donc en ´evaluant le quotient du num´erateur par la d´eriv´ee du d´enominateur :a=-2 -2= 1, b=12

6= 2,c=62= 3,d=6-6=-1, et donc

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