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polynôme ou une fraction rationnelle autre que constant et égal à un pôle de F Page 5 Chapitre 13 : Fractions rationnelles Algèbre et géométrie Page 5 sur 15

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❏ Exercice 1 Soit F = A B une fraction rationnelle non nulle sous forme irréductible Montrer que F est paire si et seulement

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On dit aussi que la fraction A B est irréductible Propriétés : toute fraction rationnelle F admet des représentants irréductibles ; si (A, B) est l'un d'eux, alors

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1 Corps des fractions rationnelles Définition 1 1 Fraction rationnelle On appelle fraction rationnelle à coefficients dans toute fraction F de la forme P Q

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Exercice 8 : Soit P ∈ R[X] un polynôme scindé, `a racines simples, de degré n ∈ N⋆ Montrez que le polynôme Q = P 2 − PP n'a pas de racines réelles

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On appelle fraction rationnelle à coefficients dans K toute classe d'équivalence pour la K(X) et la relation R est appelée égalité des fractions rationnelles

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28 fév 2020 · MPSI-Éléments de cours Fractions La partie du programme intitulée Polynômes et fractions rationnelles est présentée dans trois documents

Les Fractions Rationnelles

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

2 f´evrier 2018

F=E+n?

i=1?

αi?

j=1λ ij(X-ai)j?+p? i=1?

βj?

j=1γ ijX+δij(X2+piX+qi)j?

DES surR

1 D´efinition du corps des fractions rationnelles

K[X] est un anneau commutatif int`egre, mais ce n"est pas un corps.

A partir de l"anneauZ, nous avons construit le corpsQ. De la mˆeme mani`ere, nous pouvons construire `a partir de

K[X] le corpsK(X) des fractions rationnelles. Le d´etail de la construction deK(X) n"est pas au programme.

D´efinition 1 :Fractions rationnelles

Une fraction rationnelle surKest not´eeF(X) =P(X) Q(X)o`uPetQsont deux polynˆomes deK[X], avecQ?= 0. On noteK(X) l"ensemble des fractions rationnelles.

D´efinition 2 :

On d´efinit l"´egalit´e de deux fractions rationnelles par :P1

Q1=P2Q2??P1.Q2=P2.Q1

SiF=P

QalorsPQest appel´e un repr´esentant deF.

Exemple 1.

X X2+ 1,2X2X2+ 2etX2X3+Xsont des repr´esentants de la mˆeme fraction. D´efinition 3 :Repr´esentant irr´eductible

SiF?K(X) s"´ecritF=P

QavecP?Q= 1 alors le couple (P,Q) est unique `a une constante multiplicative non nulle pr`es.P Qest alors appel´e un (et pas "le"!!) repr´esentant irr´eductible deF.

Exemple 2.SoitF=X2-3X+ 2

X2-1. AlorsFadmetX-2X+ 1pour repr´esentant irr´eductible. Remarque1.On obtient un repr´esentant irr´eductible deP

Qen divisantPetQparP?Q.

1 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

D´efinition 4 :Les Lois

On d´efinit surK(X) la somme +, le produit×et la loi externe . par les formules suivantes :

Soient (F1, F2)?K(X) telles queF1=P1

Q1,F2=P2Q2etλ?K

1.F1+F2=P1Q2+P2Q1

Remarque2.

On v´erifie simplement que les r´esultats de ces 3 op´erations sont ind´ependants des r´epr´esentants choisis.

Th´eor`eme 1 :Structure

Muni des lois pr´ec´edentes,?K(X),+,×?est un corps.

Preuve 1 :Il faut red´emontrer une `a une toutes les propri´et´es qui d´efinissent la structure de Corps.

Remarque3.

ToutP?K[X] s"indentifie `a la fractionP

1et on peut donc consid´erer queK[X]?K(X).

D´efinition 5 :Degr´e d"une fraction rationnelle

Soit une fraction rationnelleF=P

Q?K(X). On appelle degr´e deF, l"´el´ement deZd´efini par : degF= degP-degQ LorsqueF?= 0, le degr´e deFest un entier relatif.

LorsqueF= 0, degF=-∞.

Remarque4.La fonction "degr´e" est bien ind´ependante du repr´esentant choisi!

Exemple 3.SiF=X2

X4+ 1etG=X2X-1alors deg(F) =-2 et deg(G) = 1.

ATTENTION

Une fraction rationnelle de degr´e positif n"est pas forc´ement un polynˆome (cf la fractionGci-dessus). Proposition 2 :Propri´et´es du degr´e d"une fraction rationnelle On a les mˆemes propri´et´es que pour le degr´e des polynˆomes :

2. deg(F1F2) = degF1+ degF2

3. deg(λ.F) = deg(F) siλ?= 0 et deg(λ.F) =-∞siλ= 0.

Preuve 2 :Il suffit de faire les calculs ...

Remarque5.Si deg(F1)?= deg(F2), alors on a deg(F1+F2) = max(degF1,degF2).

Proposition 3 :Soitn?Z.

L"ensembleKn(X) des fractions rationnelles de degr´e inf´erieur ou ´egal `anest un sev deK(X).

Preuve 3 :On utilise la m´ethode usuelle pour d´emontrer qu"un ensemble est un sev. Remarque6.En revanche, commeKn(X) n"est pas stable par×, ce n"est pas une sous-alg`ebre deK(X). D´efinition 6 :Z´eros, pˆoles d"une fraction rationnelle

SoitF=P

Q?K(X) o`uPQest irr´eductible. Les racines de?Ps"appellent lesz´erosdeF

Qs"appellent lespˆolesdeF.

2 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

Remarque7.

1. La d´efinition des?z´erospˆolesd"une fraction rationnelle est ind´ependante du repr´esentant irr´eductible choisi.

2. Un pˆole (resp. z´ero)a?Kde la fractionF=P

Qest dit demultiplicit´ek?N, lorsqueaest une racine d"ordre de multiplicit´ekdu polynˆomeQ(resp.P).

Exemple 4.SoitF=(X-1)2

(X2+ 1)(X+ 1).

1. DansR(X), 1 est le seul z´ero deF(d"ordre 2) et -1 est le seul pˆole deF.

2. DansC(X), 1 est le seul z´ero deF(d"ordre 2) et -1, i et -i sont les pˆoles deF.

D´efinition 7 :D´eriv´ee d"une fraction rationnelle

SoitF=P

Q?K(X).

La fraction rationnelle d´eriv´ee deFest alors d´efinie par :F?=P?Q-PQ? Q2

D´efinition 8 :fonctions rationnelles

SoitF=P

Q?K(X) o`uPQest irr´eductible etPest l"ensemble des pˆoles deF. Lafonction rationnelle?Fassoci´ee `aFest d´efinie par :?F:K\ P -→K x?→?P(x) ?Q(x). On pourra noterK(x) l"ensemble des fonctions rationnelles. Remarque8.Comme pour les polynˆomes, la fonction rationnelle?Fsera plus simplement not´eeF.

2 D´ecomposition en ´el´ements simples - La th´eorie

Th´eor`eme Fondamental 4 :Formule g´en´erale

SoitF=P

Q?K(X) irr´eductible telle queQadmet pour d´ecomposition en facteurs irr´eductibles dansK[X] :

Q=n? k=1P

αkk

La fractionFs"´ecrit alors de fa¸conuniquesous la forme :

F=E+?Q11

P1+Q12P21+···+Q1α1Pα11?

avec :

1.Ele quotient de la division euclidienne dePparQappel´ee lapartie enti`eredeF.

2.Qij?K[X] avec degQij Cette relation s"appellela D´ecomposition en El´ements Simples (DES) deFsurK.
Preuve 4 :Admise.

Remarque9.

1. La fraction
?F=F-Eest appel´ee lapartie fractionnairedeF.
2. Les termes apparaissant dans la d´ecomposition pr´ec´edentedeFsont appel´es des´el´ements simples.

Les ´el´ements simples
dansK(X) sont donc : 3 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ (a) Les polynˆomes deK[X]. (b) Les fractions rationnelles de la forme Q
PαavecP?K[X] irr´eductible,?Q?K[X]
degQ DES surRet surC:

1. La DES surCest de la forme :F=E+n?

i=1?

αi?

j=1λ ij (X-ai)j?

2. La DES surRest de la forme :F=E+n?

i=1?

αi?

j=1λ ij (X-ai)j?+p? i=1?

βj?

j=1γ ijX+δij(X2+piX+qi)j? Exemple 5.(?) Donner la forme de la DES deF=X11-X5+ 1 (X2+X+ 1)3(X-2)3surCet surR.

Python

La d´ecomposition en ´el´ements simples de F(X) sous Pythonest donn´ee par les instructions :

>>> from sympy import var, apart >>> var("X") >>> apart(F(X),X) Proposition 5 :Soitn?N?etP?Kn[X] scind´e?de racinesa1, ..., an d"ordre de multiplicit´eα1, ..., αn. La d´ecomposition en ´el´ements simples de P?

Pest alors :

P P=n? k=1α kX-ak

Preuve 5 :Il suffit de faire le calcul ...

Exercice : 1

(??) SoitP?C[X] de degr´en?N?et de racinesx1, ...xndistinctes ou non. Soita?Ctel queP(a)?= 0.

Calculer `a l"aide des donn´ees, les sommes :

1. n? i=11 a-xi2.n? i=1x ia-xi3.n? i=11(a-xi)24.n? i=1λ.x i+μ(a-xi)2(λ?= 0)

Exercice : 2

(??) SoitP?R[X] n"ayant que des racines r´eelles. Montrer que pour toutx?R, on aP?2(x)-P(x)P??(x)≥0.

3 D´ecomposition en El´ements Simples - La pratique

M´ethode g´en´erale de d´ecomposition en ´el´ements simples

1. On commence par donner la forme g´en´erale de la d´ecompositionen ´el´ements simples.

2. A l"aide des techniques vues au paragraphe suivant, on d´etermine dans l"ordre :

- la partie enti`ereE, puis la partie fractionnaire?F. - les coefficients associ´ees aux pˆoles simples - les coefficients associ´es aux pˆoles multiples - les coefficients associ´es aux polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2 4 Cours MPSI-2017/2018 Les fractions rationnelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 6.Ainsi, on pourra directement ´ecrire que : X 4 (X-1)(X-2)2=aX+b+cX-1+dX-2+e(X-2)2 et rechercher les coefficientsa,b,c,dete`a l"aide des techniques suivantes...

3.1 Recherche de la partie enti`ereE

On commence par regarder si degF <0 car dans ce cas, on aE= 0.

Sinon, on d´eterminera la partie enti`ereE:

1. Soit directement en effectuant la division euclidienne dePparQ

2. Soit en ´ecrivantEsous sa forme g´en´erale en remarquant que degE= deg(F).

On trouve alors les coefficients deEen comparant les ´equivalents des fonctions rationnelles associ´ees en +∞

puis en recommen¸cant l"op´eration apr`es avoir soustrait l"´equivalent obtenu.

Exemple 7.(?) D´eterminer par deux m´ethodes diff´erentes la partie enti`erede la fractionF=X4

(X-1)(X-2)2.

3.2 Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles simples

NotonsF=P

Qirr´eductible avecaun pˆole simple.

Nous pouvons alors ´ecrire au choix :

F=P (X-a)?Qavec?Q(a)?= 0 ouF=P(X-a)Q?(a) + (X-a)2.Ten appliquant Taylor On en d´eduit alors les deux formules suivantes : Recherche de la partie polaireλX-aassoci´ee `a un pˆole simplea Pour trouver le scalaireλ, on peut utiliser l"une des deux formules suivantes : λ=P(a)?Q(a)o`uQ= (X-a)ˆQλ=P(a)Q?(a)lorsqueQn"est pas factoris´e Exemple 8.(?) D´ecomposer les fractions rationnelles suivantes surC.

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Les Fractions Rationnelles

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

2 f´evrier 2018

F=E+n?

αi?

βj?

DES surR

1 D´efinition du corps des fractions rationnelles

D´efinition 1 :Fractions rationnelles

D´efinition 2 :

Q1=P2Q2??P1.Q2=P2.Q1

QalorsPQest appel´e un repr´esentant deF.

Exemple 1.

SiF?K(X) s"´ecritF=P

Exemple 2.SoitF=X2-3X+ 2

Qen divisantPetQparP?Q.

D´efinition 4 :Les Lois

Soient (F1, F2)?K(X) telles queF1=P1

Q1,F2=P2Q2etλ?K

1.F1+F2=P1Q2+P2Q1

Remarque2.

Th´eor`eme 1 :Structure

Remarque3.

ToutP?K[X] s"indentifie `a la fractionP

1et on peut donc consid´erer queK[X]?K(X).

Soit une fraction rationnelleF=P

LorsqueF= 0, degF=-∞.

Exemple 3.SiF=X2

X4+ 1etG=X2X-1alors deg(F) =-2 et deg(G) = 1.

ATTENTION

2. deg(F1F2) = degF1+ degF2

3. deg(λ.F) = deg(F) siλ?= 0 et deg(λ.F) =-∞siλ= 0.

Preuve 2 :Il suffit de faire les calculs ...

Proposition 3 :Soitn?Z.

SoitF=P

Qs"appellent lespˆolesdeF.

Remarque7.

1. La d´efinition des?z´erospˆolesd"une fraction rationnelle est ind´ependante du repr´esentant irr´eductible choisi.

2. Un pˆole (resp. z´ero)a?Kde la fractionF=P

Exemple 4.SoitF=(X-1)2

1. DansR(X), 1 est le seul z´ero deF(d"ordre 2) et -1 est le seul pˆole deF.

2. DansC(X), 1 est le seul z´ero deF(d"ordre 2) et -1, i et -i sont les pˆoles deF.

SoitF=P

Q?K(X).

D´efinition 8 :fonctions rationnelles

SoitF=P

2 D´ecomposition en ´el´ements simples - La th´eorie

SoitF=P

αkk

F=E+?Q11

P1+Q12P21+···+Q1α1Pα11?

1.Ele quotient de la division euclidienne dePparQappel´ee lapartie enti`eredeF.

Preuve 4 :Admise.

Remarque9.

1. La fraction

2. Les termes apparaissant dans la d´ecomposition pr´ec´edentedeFsont appel´es des´el´ements simples.

Les ´el´ements simples

PαavecP?K[X] irr´eductible,?Q?K[X]

1. La DES surCest de la forme :F=E+n?

αi?

2. La DES surRest de la forme :F=E+n?

αi?

βj?

Python

Pest alors :

Preuve 5 :Il suffit de faire le calcul ...

Exercice : 1

Calculer `a l"aide des donn´ees, les sommes :

Exercice : 2

3 D´ecomposition en El´ements Simples - La pratique

1. On commence par donner la forme g´en´erale de la d´ecompositionen ´el´ements simples.

2. A l"aide des techniques vues au paragraphe suivant, on d´etermine dans l"ordre :

3.1 Recherche de la partie enti`ereE

Sinon, on d´eterminera la partie enti`ereE:

1. Soit directement en effectuant la division euclidienne dePparQ

2. Soit en ´ecrivantEsous sa forme g´en´erale en remarquant que degE= deg(F).

3.2 Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles simples

NotonsF=P