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28 fév 2020 · MPSI-Éléments de cours Fractions La partie du programme intitulée Polynômes et fractions rationnelles est présentée dans trois documents

K C

K(X) +ˆ K[X] +ˆK(X)

K[X] (K(X),+,ˆ) +ˆ %0

K(X)= 0K[X](= 0K),0

K(X)= 1K[X](= 1K),1

ˆQ´1 P

P,Q,R,A,DPK[X]

P 1 =P1´1= 1

P,Q‰0 (

P Q

´1=Q

P P Q

´1= (PQ´1)´1=QP´1=Q

Q1,Q2‰0 P1

1ˆP2

2=P1Q´11P2Q´12= (P1P2)(Q2Q1)´1=P1P2

Q 1Q2

Q,D‰0 DP

DQ =P Q Q

Q1,Q2‰0P1

Q 1=P2 Q

2ðñP1Q2=P2Q1

Q‰0P1

Q +P2 Q =P1+P2 Q

Q1,Q2‰0P1

Q 1+P2 Q

2=P1Q2

1Q2+P2Q1

1Q2=P1Q2+P2Q1

Q 1Q2

FPK(X)λPK λ.FλF λˆF

(K(X),+,ˆ,.) Kĕ

FPK(X)

F (P,Q)PK[X]ˆK[X]zt0u F=P

F (A,B)PK[X]ˆK[X]zt0u

F=A B (A,B) = 1 F (A,B) F F (DA,DB),DPK[X]zt0u (λA,λB),λPKzt0u

FPK(X)(P,Q) F G=(P,Q) P=GP1Q=GQ1

(P1,Q1) = 1 F=P Q =GP1 GQ 1=P1 Q 1 F=A B (A,B) = 1 (P,Q) P Q =A B

PB=QA BQA Q (A,B) = 1 Q=Q1B P

Q 1B=A B P Q

1=AB‰0 P=Q1A (P,Q) = (Q1A,Q1B) (DA,DB),DP

K[X]zt0u F

F=P Q

P´Q (P,Q)F

F=2X+1

3X+2 0

F=2X+1

5X2+4 ´1

(F1F2) =(F1) +(F2) (λF) =(F)λ‰0 F=A B A B

F=X3´1

2´3X+2=(X´j)(X´j2)

F=P Q F=A B

˜F:DFÝÑK

xÞÝÑA(x) B(x) F=P Q Q(x)

F1,F2PK(X)λPK

D F1XDF2ĂDF1+F2@xPDF1XDF2,ČF1+F2(x) =˜F1(x) +˜F2(x) D F1XDF2ĂDF1F2@xPDF1XDF2,ČF1ˆF2(x) =˜F1(x)ˆ˜F2(x) D

F2(x) F1=F2

F 1=A1 B

1F2=A2

B 2 @xPE,A1(x)B2(x) =A2(x)B1(x) A1B2A2B1ś

A1B2=A2B1 F1=F2

F=P Q

P1Q´Q1P

F=X3´2X+4

2+X+1 F(´X) =´X3+2X+4

2´X+1F(X2) =X6´2X2+4

4+X2+1

F ðñ˜F

ðñF(´X) =F(X)

F ðñ˜F

ðñF(´X) =´F(X)

FPC(X)aPC

φ: ]´r,r[zt0uÝÑK

tÞÝÑF(a+t) 0 a F φ 00

F=E1+F1F=E2+F2 F1,F2ă0

E1´E2looomooon

PNYt´8u=F1´F2looomooon

E1´E2=F1´F2= 0 E1=E2F1=F2

F=P Q

PQP=P1Q+R1 R1PK[X] R1ăQ

P1PK[X]

F=P1Q+R1

Q =P1+R1 Q

R1ăQ

X+2

X´11 ĕ X3+2X

3+X2´11

aXn+¨¨¨ bX n+¨¨¨a b

ĕ F=2X2+X

X´3

2X2+X= 2X(X´3) + 7X= 2X(X´3) + 7(X´3) + 21 = (2X+ 7)(X´3) + 21

F= 2X+ 7loomoon

X´3

ĕ F=(X´1)7

(X+2)(X+1)5 X+b (X´1)7=X7´7X6+ 21X5+¨¨¨ (X+ 2)(X+ 1)5= (X+ 2)(X5+ 5X4+¨¨¨) =X6+ 7X5+¨¨¨ X

7´7X6+ 21X5+¨¨¨

6+ 7X5

14X6+¨¨¨

X´14

F=X´14 +R1

F=P Q

1Q2 ɍPPK[X]Q1,Q2PK[X] (Q1,Q2) = 1

P1,P2PK[X] F=P1

Q 1+P2 Q 2

ĕ U1,U2PK[X] U1Q1+U2Q2= 1

PU1Q1+PU2Q2=P

PU1Q1+PU2Q2

Q 1Q2=P Q 1Q2 P Q

1Q2=PU1

Q 2+PU2 Q 1 F=A Q

F ĕ

F=E+A1

Q 1+A2 Q

2+¨¨¨+An

Q n,ɍ@iPJ1,nK,AiPK[X] AiăQi n n= 2 F=P1 Q 1+P2 Q

2 P1,P2PK[X]

P1Q1 P2Q2

1=E1Q1+A1P2=E2Q2+A2

F=E1+E2+A1

Q 1+A2 Q

2 A1ăQ1 A2ăQ2

1Q2...QnQn+1 ɍ Qi

1Q2...Qn

F=P Q

1Q2...Qn+Pn+1

Pn+1Qn+1

F=E+A1

Q 1+A2 Q

2+¨¨¨+An

Q n

E ĕ F

EPK[X] (

nÿ i=1A i Q i) iPJ1,nK(Ai Q i) ă0

F=E+B1

Q 1+B2 Q

2+¨¨¨+Bn

Q nɍ@iPJ1,nK,BiPK[X] BiăQi A 1 Q 1+A2 Q

2+¨¨¨+An

Q n=B1 Q 1+B2 Q

2+¨¨¨+Bn

Q n Q

1Q2...Qn(

nÿ i=1A i Q i) =Q1Q2...Qn( nÿ i=1B i Q i) Q

1Q2...Qn(

n´1ÿ i=1C i Q i) loooooooooooooomoooooooooooooon

Qn+Q1Q2...Qn´1Cn= 0ɍ@iPJ1,nK,Ci=Ai´Bi

QnQ1Q2...Qn´1Cn QnCn

@iPJ1,nK,Ci= 0 @iPJ1,nK,Ai=Bi F=A Q

F=E+P1

Q +P2 Q

2+¨¨¨+Pn

Q n,ɍEPK[X]@iPJ1,nK,PiPK[X] PiăQ F=A Q n=D1Q+Pn Q n AQ F=D1 Q n´1+Pn Q n PnăQ

D1Q ā ĕ

F=D2 Q n´2+Pn´1 Q n´1+Pn Q n

F=Dn´1

Q +P2 Q

2+¨¨¨+Pn

Q n.

Dn´1Q

F=E+P1

Q +P2 Q

2+¨¨¨+Pn

Q n

F=E+P1

Q +P2 Q

2+¨¨¨+Pn

Q n ɍ@iPJ1,nK,PiăQ EQ n+P1Qn´1+P2Qn´2+¨¨¨+Pn=A A

1 Ę

K(X) P

Q n ɍQPK[X]

K=C C(X)

R(X)

λX+µ

F=A B

PK(X) ɍAPK[X]BPK[X]zK0[X]FRK[X]

F=Eloomoon

PK[X]+nÿ

i=1α iÿ j=1A ij Q j iloomoon loooooooomoooooooon F

Qi,ɍ@iPJ1,nK,@jPJ1,αiK,AijăQi

F=E+nÿ

i=1A i Q

αii,ɍ@iPJ1,nK,AiăQαii

A i Q

αii=Eiloomoon

AiăQαii+

iÿ j=1A ij Q j i,ɍ@jPJ1,αiK,AijăQi

F F=E+řn

i=1ř αi j=1A ij Q j i iPJ1,nKřαi j=1A ij Q j Q

αii ɍAiPK[X] Ai

αii

ĕ řαi

j=1A ij Q j

Ai,αi Ai,αi= 0 ā

F=A1 B

1 ɍB1=Qα11Qα22...Qαi´1

F=X10+ 1

(X3´1)2(X+ 2)ÐA ÐB B= (X3´1)2(X+ 2) = (X´1)2(X´j)2(X´j2)2(X+ 2)

A(´2)A(1)A(j)A(j2) (A,B) = 1

F=X3+bX2+cX+d+λ

X+ 2loomoon

X´1+β

(X´1)2looooooooooomooooooooooon α1

X´j+β1

(X´j)2looooooooooomooooooooooon α2

X´j2+β2

(X´j2)2 F=X (X4´1)(X2´1)ÐA ÐB C(X) B= (X4´1)(X2´1) = (X´)(X+)(X´1)2(X+ 1)2 ,´,1,´1

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K C

K(X) +ˆ K[X] +ˆK(X)

K(X)= 0K[X](= 0K),0

K(X)= 1K[X](= 1K),1

ˆQ´1 P

P,Q,R,A,DPK[X]

P,Q‰0 (

´1=Q

´1= (PQ´1)´1=QP´1=Q

Q1,Q2‰0 P1

1ˆP2

2=P1Q´11P2Q´12= (P1P2)(Q2Q1)´1=P1P2

Q,D‰0 DP

Q1,Q2‰0P1

2ðñP1Q2=P2Q1

Q‰0P1

Q1,Q2‰0P1

2=P1Q2

1Q2+P2Q1

1Q2=P1Q2+P2Q1

FPK(X)λPK λ.FλF λˆF

FPK(X)

F (P,Q)PK[X]ˆK[X]zt0u F=P

F (A,B)PK[X]ˆK[X]zt0u

FPK(X)(P,Q) F G=(P,Q) P=GP1Q=GQ1

PB=QA BQA Q (A,B) = 1 Q=Q1B P

1=AB‰0 P=Q1A (P,Q) = (Q1A,Q1B) (DA,DB),DP

K[X]zt0u F

P´Q (P,Q)F

F=2X+1

3X+2 0

F=2X+1

5X2+4 ´1

F=X3´1

2´3X+2=(X´j)(X´j2)

˜F:DFÝÑK

F1,F2PK(X)λPK

F2(x) F1=F2

1F2=A2

A1B2=A2B1 F1=F2

P1Q´Q1P

F=X3´2X+4

2+X+1 F(´X) =´X3+2X+4

2´X+1F(X2) =X6´2X2+4

4+X2+1

F ðñ˜F

ðñF(´X) =F(X)

F ðñ˜F

ðñF(´X) =´F(X)

FPC(X)aPC

φ: ]´r,r[zt0uÝÑK

F=E1+F1F=E2+F2 F1,F2ă0

E1´E2looomooon

PNYt´8u=F1´F2looomooon

E1´E2=F1´F2= 0 E1=E2F1=F2

PQP=P1Q+R1 R1PK[X] R1ăQ

P1PK[X]

F=P1Q+R1

R1ăQ

X´11 ĕ X3+2X

3+X2´11

ĕ F=2X2+X

X´3

2X2+X= 2X(X´3) + 7X= 2X(X´3) + 7(X´3) + 21 = (2X+ 7)(X´3) + 21

F= 2X+ 7loomoon

X´3

ĕ F=(X´1)7

7´7X6+ 21X5+¨¨¨

6+ 7X5

14X6+¨¨¨

X´14

F=X´14 +R1

1Q2 ɍPPK[X]Q1,Q2PK[X] (Q1,Q2) = 1

P1,P2PK[X] F=P1

ĕ U1,U2PK[X] U1Q1+U2Q2= 1

PU1Q1+PU2Q2=P

PU1Q1+PU2Q2

1Q2=PU1

F ĕ