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suites numériques

Table des matières

1 suites arithmétiques2

1.1 suites de termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2

1.2 somme des termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .3

2 suites géométriques4

2.1 suite des termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .4

2.2 somme des termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .5

2.3 limite deqnquandntend vers l"infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3 suites arithmético-géométriques6

3.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .6

3.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .7

3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .9

4 exercices10

5 travaux pratiques tableur17

5.1 tp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .17

1

1 suites arithmétiques1.1 suites de termes

définition 1 :(suite arithmétique) quelle que soit la suiteude nombres réels : uest une suite arithmétique de raisonret de premier termeu0 ??quel que soitn?N:????un+1-un=r?? ?n?N:? un+1=un+r???? formule de r´ecurrence remarque: la différence entre deux termes consécutifs quelconques de la suite est constante et reste égale à un nombre notéret appelé raison de la suite on dit aussi que pour passer d"un terme à un autre, on ajoute toujours le même nombre appelé raison de la suite exemples i.-7;-4;-1; 2; 5; 8;... est une suite arithmétique de raison3et de1erterme-7car on passe d"un terme au suivant en ajoutant3 ii.12,4; 14,1; 15,8; 17,5;... est une suite arithmétique de raison1,7et de1erterme12,4car on passe d"un terme au suivant en ajoutant1,7 propriété 1 :(formule explicite en fonction den) quelle que soit la suite notéeuou(un)de nombres réels : siuest arithmétique de1ertermenoté????u0et de raison notéer alorsun= 1erterme+raison×(´ecart entre0et n)? ???un=u0+nr unest le(n+ 1)eterme où le terme aprèsnvariations siuest arithmétique de1ertermenoté????u1et de raison notéer alorsun= 1erterme+raison×(´ecart entre1et n)? ???un=u1+ (n-1)r unest leneterme où le terme aprèsn-1variations remarques: ii. siuest arithmétique de1erterme notéuket de raison notéer alorsun= 1erterme+raison×(´ecart entre k et n)avec(n≥k)soitun=uk+ (n-k)r exemples i. soit une suite arithmétique de1ertermeu1= 10et de raison1,5 leneterme en fonction denestun=u1+ (n-1)r= 10 + 1,5(n-1) par exemple u100= 10 + 1,5×99 ii. soit une suite arithmétique de1ertermeu0= 10et de raison1,5 le(n+ 1)eterme en fonction denestun=u0+nr= 10 + 1,5n par exemple u100= 10 + 1,5×100

1.2 somme des termes

propriété 2 :(formule de la somme) quelle que soit la suite notéeuou(un)de nombres réels : siuest arithmétique de1erterme noté????u0 alorsS=u0+u1+...+un=? u0+un

2×(n+ 1)=????

premier+dernier

2×(nombre de termes)

Sest la somme desn+ 1premiers termes

siuest arithmétique de1erterme noté????u1 alorsS=u1+...+un=? u1+un

2×n=????

premier+dernier

2×(nombre de termes)

Sest la somme desnpremiers termes

remarques: i. pour la sommeSdesn-k+ 1termes consécutifs de la suite arithmétique

S=uk+uk+1+...+unavecn > k, on a aussi :

S=premier+dernier

2×(nombre de termes) =uk+un2×(n-k+ 1)

exemples i. soit une suite arithmétique de1ertermeu1= 10et de raison1,5

S=u1+u2+...+u20=?

?u1= 10 u

20= 10 + 1,5×19 = 38,5doncS=u1+u20

2×20 =10 + 38,52×20 = 485

ii. soit une suite arithmétique de1ertermeu0= 10et de raison1,5

S=u0+u1+...+u20=?

?u0= 10 u

20= 10 + 1,5×20 = 40doncS=u0+u20

2×21 =10 + 402×21 = 525

iii. soit une suite arithmétique de1ertermeu0= 10et de raison1,5

S=u10+u11+...+u20=?

?u10= 10 + 1,5×10 = 25 u

20= 10 + 1,5×20 = 40doncS=u10+u20

2×(20-10 + 1) =25 + 402×11 = 357,5

2 suites géométriques2.1 suite des termes

définition 2 :(suite arithmétique) quelle que soit la suiteude nombres réels : uest une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0 ??quel que soitn?N:? un+1 un=q?? ?n?N:? un+1=q un???? formule de r´ecurrence remarque: le quotient entre deux termes consécutifs quelconques de lasuite est constant et reste égale à un nombre notéqet appelé raison de la suite on dit aussi que pour passer d"un terme à un autre, on multiplie toujours par le même nombre appelé raison de la suite exemples i.4; 8; 16; 32; 64;... est une suite géométrique de raison2et de1erterme4car on passe d"un terme au suivant en multipliant par2 ii.50; 25; 12,5; 6,25;... est une suite géométrique de raison0,5et de1erterme50car on passe d"un terme au suivant en multipliant par0,5 propriété 3 :(formule explicite en fonction den) quelle que soit la suite notéeuou(un)de nombres réels : siuest géométrique de1ertermenoté????u0et de raison notéeq alorsun= 1erterme×raison(´ecart entre0et n)? ???un=u0×qn unest le(n+ 1)eterme où le terme aprèsnvariations siuest géométrique de1ertermenoté????u1et de raison notéeq alorsun= 1erterme×raison(´ecart entre1et n)? ???un=u1×qn-1 unest leneterme où le terme aprèsn-1variations remarques: ii. siuest géométrique de1erterme notéuket de raison notéeq alorsun= 1erterme×raison(´ecart entre k et n)avec(n≥k)soitun=uk×qn-k exemples i. soit une suite géométrique de1ertermeu1= 10et de raison1,5 leneterme en fonction denestun=u1×qn-1= 10×1,5n-1 par exemple u100= 10×1,599 ii. soit une suite géométrique de1ertermeu0= 10et de raison1,5 le(n+ 1)eterme en fonction denestun=u0×qn= 10×1,5n par exemple u100= 10×1,5100

2.2 somme des termes

propriété 4 :(formule de la somme) quelle que soit la suite notéeuou(un)de nombres réels : siuest géométrique de1erterme noté????u0 alorsS=u0+u1+...+un=? u0×1-qn+11-q=???? premier×1-q(nombre de termes)1-q

Sest la somme desn+ 1premiers termes

siuest géométrique de1erterme noté????u1 alorsS=u1+...+un=? u1×1-qn1-q=???? premier×1-q(nombre de termes)1-q

Sest la somme desnpremiers termes

exemples: i. soit une suite géométrique de1ertermeu1= 10et de raison1,5

S=u1+u2+...+u20=?

S=premier×1-q(nombre de termes)

1-q=u1×1-q201-q= 10×1-1,5201-1,5?66485

ii. soit une suite géométrique de1ertermeu0= 10et de raison1,5

S=u0+u2+...+u20=?

S=premier×1-q(nombre de termes)

1-q=u1×1-q211-q= 10×1-1,5211-1,5?99737

2.3 limite deqnquandntend vers l"infini

propriété 5 :(sens de variation ) quelle que soit la suite notéeuou(un)de nombres réels telle que :un=qn si????0< q <1alorsuest????strictement décroissante si????q= 1alorsuest????constante si????q >1alorsuest????strictement croissante exemples: i. soit la suiteudéfinie parun= 0,8n q= 0,8donc0< q <1doncuest strictement décroissante ii. soit la suiteudéfinie parun= 1,8n q= 1,8doncq >1doncuest strictement croissante propriété 6 :(limite en+∞) quelle que soit la suite notéeuou(un)de nombres réels telle que :un=qn si????0< q <1alors? limn→+∞qn= 0si????q= 1alors? limn→+∞qn= 1 si????q >1alors? limn→+∞qn= +∞ exemples: soit la suiteudéfinie parun= 0,8n q= 0,8donc0< q <1donclimn→+∞un= 0soit la suiteudéfinie parun= 1,8n q= 1,8doncq >1donclimn→+∞un= +∞

3 suites arithmético-géométriques3.1 activités

activité 1 :

une chaîne locale de télévision inscrit 500 abonnés la première année de diffusion (u0= 500),

chaque année, elle garde 60% des abonnés de l"année précédente et gagne 400 nouveaux abonnés on noteunle nombre d"abonnés aprèsnannées et on posevn=un-1000pourn≥0

1. (a) compléter le tableau

ABCDE

1n0123

2un500

3vn 4vn vn-1 (b) donner les "formules tableur" à entrer dans les cellulesC2,B3etC4puis à tirer vers la droite

2. les suites(un)ou(vn)semblent t-elles particulières?

3. exprimerun+1en fonction deun

4. démontrer que la suite(vn)est géométrique de raison0,6et donner son premier terme

5. en déduire l"expression devnen fonction denpuis que l"on aun= 1000-500×0,6n

6. en déduireu10

7. à partir de quelle valeur de n à t-onun≥999?

8. étudier la limite de la suiteu

9. quelle valeurunne peut pas dépasser ?(justifier)

activité 2 : un loueur de DVD a, cette année,1000abonnés et chaque année il perd20%de ces abonnés mais gagne900nouveaux abonnés on poseu0= 1000etunle nombre d"abonnés aprèsnannées

1. calculeru1,u2etu3

2. exprimerun+1en fonction deun

3. on posevn=un-4500

démontrer que la suite(vn)est géométrique de raison0,8et donner son premier terme

4. en déduire l"expression devnen fonction denpuis que l"on aun= 4500-3500×0,8n

5. en déduireu10

6. à partir de quelle valeur de n à t-onun≥4499?

7. étudier la limite de la suiteu

8. que devient le nombre d"abonnés à long terme?(justifier)

3.2 corrigés activités

corrigé activité 2 : un loueur de DVD a, cette année,1000abonnés et chaque année il perd20%de ces abonnés mais gagne900nouveaux abonnés on poseu0= 1000etunle nombre d"abonnés aprèsnannées

1.u1= 1000×(1-20

100) + 900 =????1700

u

2= 1700×(1-20

100) + 900 =????2260

u

3= 2260×(1-20

100) + 900 =????2708

2. ???un+1= 0,8un+ 900

3. on posevn=un-4500

démontrons que la suite(vn)est géométrique de raison0,8et donnons son premier terme

à partir de :

?(1)vn=un-4500 =?(2)vn+1=un+1-4500 (3)un+1= 0,8un+ 900

Méthode 1 :

Montrons que

vn+1 vn= 0,8 v n+1 vn=un+1-4500un-4500(1) et (2) v n+1quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29