Les coordonnées d'un vecteur v de notre espace vectoriel favori R2 dans une base Exemple : L' équation caractéristique des coordonnées x et y du vecteur v := L'égalité des points (ou des vecteurs) du plan ne nous fait pas peur On sait
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Les vecteurs −→ AB et −−→ DC sont égaux donc leurs coordonnées sont égales 4 (a) Calculer les coordonnées du point K milieu du segment [AC] On
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Coordonn´ees dans une base
D´edou
Novembre 2010
L"´equation caract´eristique des coordonn´ees : exempleLes coordonn´ees d"un vecteur
?vde notre espace vectoriel favoriR2 dans une base ( ?i,?j) sont deux nombresxetyqui v´erifient l"´equationcaract´eristique des coordonn´ees:? v=x?i+y?j.La recherche des coordonn´ees est donc un probl`eme ded´ecomposition lin´eaire.Exemple : L" ´equation caract´eristique des coordonn´eesxetydu
vecteur ?v:=?1 2? dans la base (?3 4? ,?5 6? ) est? 1 2? =x?3 4? +y?5 6? L"´equation caract´eristique des coordonn´ees : exercice Exo 1 a) Ecrire l" ´equation caract´eristique des coordonn´eesxetydu vecteur?4 0? dans la base (?1 2? ,?2 -4? b) Est-ce que ces coordonn´ees sont 2 et 1? Vecteur de coordonn´ees donn´ees dans une base donn´ee Etant donn´esxety, il existe un unique vecteur?vdont les coordonn´ees dans notre base soient ces deux nombres, et il est donn´e par la formule : v=x?i+y?j.Exemple Le vecteur de coordonn´ees 2 et 3 dans la base ( ?4 5? ,?6 7? ) est ?26 31?)Exo 2 Quel est le vecteur de coordonn´ees 5 et-2 dans la base (?2 0? ,?2 1?
Coordonn´ees d"un vecteur dans une base
Inversement, ´etant donn´e un vecteur
?vquelconque de notre plan, il existe un unique couple (x,y) de nombres v´erifiant l"´equation (caract´eristique des coordonn´ees) : v=x?i+y?j. Ces deux nombresxetysont les coordonn´ees de?vdans notre base .Exo 3Quelles sont les coordonn´ees de
?1 6? dans la base (?1 2? ,?3 4?Ligne ou colonne des coordonn´ees
Plutˆot que de dire
"xetysont les coordonn´ees de?vdans cette base", on pr´ef`ere insister sur le fait que l"ordre dans lequel on donnexet yest important et dire"(x,y) est la ligne des coordonn´ees de?vdans cette base", ou encore" ?x y? est la colonne des coordonn´ees de ?vdans cette base".Equations vectorielles
La recherche de coordonn´ees consiste donc `a r´esoudre l"´equation v=x?i+y?j o`u ?v,?i,?jsont connus etxetysont les inconnues. Il s"agit d"une ´equation vectorielle : on demande que deux vecteurs soient ´egaux.Comment aborde-t-on une ´equation vectorielle?L"´egalit´e vectorielle
L"´egalit´e des points (ou des vecteurs) du plan ne nous fait paspeur. On sait la ramener `a des ´egalit´es entre nombres :Deux points deR2sont ´egaux ssiils ont mˆeme abscisse et mˆeme ordonn´ee.
Autrement dit, avec la notation ´evidente, pourvetwquelconques dansR2, v=w??xv=xw y v=yw.Exo 4 Convertissez l"´equation vectorielle (x,x-y) = (x-2y,x2) en syst`eme d"´equations num´eriques.