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Master statistique

Approximation et signaux

2015-2016M. DuprezTP2 : Transformee de Fourier Rapide (FFT) et ltrage

1 Position du probleme

On considere un signal de parole enregistre puis numerise. Le but de ce TP est de constater l'eet de deux modications du signal et leur visualisation par les methodes de

Fourier. Ces deux modications sont

un ltrage passe bas "dur" eectue directement sur le spectre du signal un sous echantillonnage du signal. Dans le premier cas, le but est de constater par l'ecoute la modication causee par le ltrage. Le ltrage peut provenir du fait que le son est par exemple envoye dans un canal a faible bande passante, mais il peut aussi ^etre desire pour eliminer les bruits de fond haute frequence comme certains soue. Dans le deuxieme cas, c'est le theoreme de Shannon qui est en action. On cherchera a visualiser les consequences sur le spectre du sous echantillonnage, puis on essaiera d'ecouter le resultat de cette operation pour se faire une idee concrete du probleme.

2 Manipulations

2.1 Recuperation et creation de chiers .wav

Les chiers de donnees que nous allons considerer sont des chiers au format.wav.

Exemple :

Ecouter le chier pharyn.wav avec le lecteur de votre choix Il faut pouvoir transformer ces chiers en un vecteur dont les composantes sont les valeurs du signal aux instants (k1)T=m,k= 1;:::;m. Pour cela, on utilise la commande wavread.

Exemple : La ligne de commande

>[s,fs]=wavread('pharyn.wav') permet d'obtenir le vecteursrecherche et la frequence d'echantillonnagefsavec laquelle la voix a ete numerisee, c'est-a-dire combien de valeurs par seconde ont ete recueillies. Supposons a l'inverse que nous ayons synthetise un signalset que nous cherchions a le transformer en chier.wavpour l'ecouter. La commande est alorswavwrite >wavread(s,fs,'newpharyn.wav') permet de transformer le vecteursen un chiernewpharyn.wavavec la frequencefs desiree. 1

Master statistique

Approximation et signaux

2015-2016M. Duprez2.2 FFT et ltrage passe-bas

On s'interesse maintenant a la tranformee de Fourier discrete du signal obtenu dans le vecteurs. Cette transformee de Fourier est une operation lineaire sur le vecteur/signals de la forme : TF 2n=2 6 6664e
2i00m e2i01m e2i0m1m e 2i10m e2i11m e2i1m1m e

2i(m1)0m

e2i(m1)1m e2i(m1)m1m 3 7 77752
6 664s
0 s 1... s n13 7

775(1)

Bien s^ur, comme pour toute operation lineaire bijective surRm, la transformee de Fourier discrete inverse est obtenue en prenant l'inverse de la matrice de transformee de Fourier. Cette matrice etant orthogonale, il sut de prendre la transposee puis la conjuguee. Comme vous le savez maintenant, la meilleure facon de caluler cette transformee est l'algorithme de transformee de Fourier rapide qui fonctionne enO((3n1)2n) operations. Il existe de la m^eme facon un algorithme de FFT inverse. La fonction scilab pour calculer la FFT est tout simplementt.

Exemple : La ligne de commande

> S=fft(s;1) calcule la FFT du vecteur/signalset > s=fft(S;1) calcule la FFT inverse. Le parametre 1 ou -1 a donner pour declarer que l'on souhaite une t ou une t inverse fait reference au signe devant de 2idans les exponentielles selon que l'on prenne la FFT (-1) ou son inverse pour lequel la transposee conjuguee donne un signe positif (et donc 1) dans les exponentielles complexes. Je suggere que vous preniez un signal tel que'pharyn.wavet que vous calculier sa FFT. Vous devez obtenir un signal de la forme donnee par la gure 1.020004000600080001000012000 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

1.0Figure1 { Signalsechantillonne.

2

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Approximation et signaux

2015-2016M. Duprezpuis achez la valeur absolue de la t de s (abs(S)) et obtenez apres traitement un

resultat semblable a la gure 2 ci dessous.-6000-4000-20000200040006000 0 10 20 30
40
50
60
70
80

90Figure2 { FFTSdu signals.

Attention, la t donne un vecteur qui commence a la frequence 0 et au lieu de symetriser le spectre par rapport a 0 comme il est usel de representer les signaux reels. On fera donc l'operation > N=size(S;2)siSest un vecteur colonne > S=S([[N=2 + 1 :N];[1 :N=2]]) On peut maintenant ltrer avec un passe bas pour voir ce que cela donne comme genre de resultat. Comme tout est numerique, c'est tres simple a realiser : il sut de mettre les Bpremieres composantes du spectre a zero ainsi que lesBdernieres. > PBS=SsiSest un vecteur colonne > PBS(1 :B) =zeros(1;B) > PBS(NB+ 1 :N) =zeros(1;B)

On obtient alors le spectre donne par la gure 3.

3

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Approximation et signaux

2015-2016M. Duprez-6000-4000-20000200040006000

0 10 20 30
40
50
60
70
80

90Figure3 { FFTSdu signalsapres ltrage.

Si l'on prend la FFT inverse dePBS1, on obtient le signal de la forme donnee par la gure 4.

020004000600080001000012000

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2

0.4Figure4 { Signalpbsltre par le passe bas "dur".

Reste a ecouter la voix obtenue en reconvertissant le vecteur/signalpbsen un chier.wav

a l'aide de la fonctionwavwrite.1. en n'oubliant pas de remettre le spectre dans son etat initial c'est a dire en commencant par la

frequence zero 4quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26