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Ph.Loubaton

TransformeedeFourierRapide.

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Positionduprobleme.

(x n n2Z unsignalatempsdiscret. n x n e 2inf N1 n=0 x n e 2inf auxpoints k N pourk=0;:::;N1.

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Remarquesurl'eetdelatroncature.

y n =0sin<0ounN,ety n =x n si0nN1.

SoitY(f)laTFdey

n :Y(f)=P N1 n=0 x n e 2inf .ExprimerY(f)en fonctiondeP n2Z x n e 2inf t n =0sisin<0ounN,ett n =1si0nN1. y n =t n x n pourtoutn()Y(f)=X(f)T(f)

T(f)=e

2i (N1)f 2 sin(Nf=2) sin(f=2)

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Visualisationdel'eetdelatroncature.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -50-40-30-20-10 0 10

Fonctions de transfert de filtres de Nyquist, T=4

r=0.5 r=0.2 r=0.8

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L'algorithmedeFFTdeCooley-TuckeyI.

CalculerX

N (k)=P N1 n=0 x n e 2i nk N pourk=0;:::; N1 N

Apparemment,necessiteN

2 operationscomplexes.

SiNestunepuissancede2,necessiteNlog

2 (N)operations.

Resultattresimportantenpratique.

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L'algorithmedeFFTdeCooley-TuckeyII.

L'ideedebasedel'algorithme.X

N (k)=P N=21 n=0 x 2n e 2i 2nk N +P N=21 n=0 x 2n+1 e 2i (2n+1)k N

Cecis'ecritaussi:X

N (k)=P N=21 n=0 x 2n e 2i nk N=2 +e 2i k N P N=21 n=0 x 2n+1 e 2i nk N=2

Finalement,sikN=21:

X N (k)=X N=2;1 (k)+e 2i k N X N=2;2 (k) X N (k+N=2)=X N=2;1 (k)e 2i k N X N=2;2 (k)

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L'algorithmedeFFTdeCooley-TuckeyIII.

X N (k)=X N=2;1 (k)+e 2i k N X N=2;2 (k) X N (k+N=2)=X N=2;1 (k)e 2i k N X N=2;2 (k)

SionconnaitX

N=2;1 (k)etX N=2;2 (k)pourk=0;:::;N=21,ilfautNoperations complexespourcalculerX N (k=pourk=0;:::;N1.

PourconnaitreX

N=2;1 (k)pourk=0;N=21apartirdeX

N=4;11

(k)etX

N=4;12

(k), N=2;2 (k)pour k=0;N=21apartirdeX

N=4;21

(k)etX

N=4;22

(k):Noperationspourcalculer les2FFTN=2apartirdes4FFTN=4.

Finalement,onobtientNlog

2 (N)operationseniterantleprocessus.

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LaFFTinverse.

X(k)=P

N1 n=0 x n e 2i kn N equivautax n 1 N P N1 k=0 X(k)e 2i kn N

FFTinverse:m^emecomplexitequelaFFT.

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FFTetconvolution.

x 0 ;:::;x N1 ety 0 ;:::;y N1 0 ;:::;z N1 admetpourFFTlasuite

Z(0)=X(0)Y(0);:::;Z(N1)=X(N1)Y(N1)?

z n =P N1 l=0 x [l] y [nl] ou[l]designelavaleurdelmoduloN. z=x c

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ApplicationaultragerapideI.

Probleme,calculery

n =P L1 l=0 h l x nl pourchaquenquandLesttresgrand. n pourLn2L1necessitebeaucoupmoinsqueL 2 operations quandLestunepuissancede2.

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ApplicationaultragerapideII.

AlgorithmebasesurdesFFTetIFFT2Lpoints.8<

:x 0 :::x L1 x L :::x 2L1 h 0 :::h L1

0:::09

z n =(h c x) n =P 2L1 l=0 h [l] x [nl] =P L1 l=0 h l x [nl] n =P L1 l=0 h l x nl =y n siLn2L1.

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ApplicationaultragerapideIII.

z n =(h c x) n =y n siLn2L1.

Calculerz

n recuperery n pourLn2L1.

CalculerZ(k)=H(k)X(k)pourk=0;2L1

Calculerz

n pourn=0;:::;2L1:IFFT2Lpoints.

Nombretotald'operations:

22Llog

2 (2L)+2L+2Llog 2 (2L)=2L(1+3log 2 (2L))AcompareravecLquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26