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1

Cours de

Systèmes dynamiques, chaos et applications.

Frédéric Faure

Université Grenoble Alpes, France

frederic.faure@univ-grenoble-alpes.fr

Master de Physique M1

(version : 5 novembre 2018) 2

Table des matières

1 Introduction

9

1.1 Introduction

9

1.1.1 Le problème de prédiction

9

1.1.2 Le problème inverse ou problème de découverte des lois. Modélisation.

11

1.1.3 Hasard et déterminisme

14

1.1.4 Plan du cours

14

1.2 Modèle du pendule

17

1.2.1 Equation de mouvement de Newton (1687)

17

1.2.2 Résolution numérique de l"EDO (

1.2.3 ) par la méthode de Euler (1768) 18

1.2.3 Section de Poincaré (1892)

22

1.2.4 Systèmes physiques reliés au modèle du pendule

24

1.3 L"application logistique (1838,1985)

25

1.3.1 Définition

25

1.3.2 Observations

26

1.3.3 Ensemble de Mandelbrot (1980)

2 9

1.3.4 L"ensemble de Julia (1918)

31

1.4 Billard de Sinaï (1970)

32

1.4.1 Le billard rectangulaire

32

1.4.2 Billard dispersif de Sinaï (1970)

34

1.4.3 Systèmes physiques reliés au modèle du billard dispersif

36

1.5 Dynamique spatio-temporelle

37

1.5.1 Modèle de Belousov-Zhabotinsky (1950)

37

1.5.2 Interprétation du modèle en chimie

3 9

2 Applications et champ de vecteurs

41

2.1 Applications

41

2.1.1 Définitions et exemples

41

2.1.2 Rappels sur la différentielle

43

2.1.3 Applications conservatives ou dissipatives

43

2.1.4 Opérateur de transfert

45

2.1.5 Point fixe et stabilité

48

2.2 Champ de vecteur

51

2.2.1 Définitions : champ de vecteur, équations du mouvement, flot

5 1 3

4TABLE DES MATIÈRES

2.2.2 Flot conservatifs et dissipatifs

52

2.2.3 Opérateur de transfert

54

2.2.4 (*)Théorème fondamental qui garantit les solutions aux EDO

57

2.2.5 Point fixe et stabilité

59

3 Dynamique Hamiltonienne, Billards et flot géodésique

63

3.1 Équations de mouvement de la mécanique

63

3.2 Exemples

65

3.3 Flot Hamiltonien et crochets de Poisson

67

3.4 Particule libre dans l"espace Euclidien. Translation sur le tore et billards

69

3.4.1 Particule libre sur le cercleS1ou le toreTd. . . . . . . . . . . . .70

3.5 Particule libre sur une surface (ou espace courbe). Géodésiques

74

3.5.1 Du flot géodésique au billard

76

3.6 Billards

77

3.7 Apparition du chaos dans un billard circulaire déformé

85

3.7.1 Modèle étudié

86

3.7.2 Billard circulaire(a= 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

3.7.3 Billard légèrement déformé(a= 0.02). . . . . . . . . . . . . . . .88

3.7.4 Billard plus déformé(a= 0.05). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

3.7.5 Billard déformé(a= 0.1-0.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

3.8 Exemples de perturbation de modèles intégrables, apparition du chaos Ha-

miltonien, avecd= 2degrés de liberté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.8.1 L"application standard ("standard map")

92

3.8.2 Le pendule magnétique

93

3.8.3 Le problème à trois corps réduit

93

4 Dynamique probabiliste de Markov

95

4.1 Définitions et propriétés générales

95

4.1.1 Loi d"évolution sur un graphe

95

4.1.2 Exemples et quelques questions

96

4.1.3 Matrices positives, ergodiques, mélangeantes

100

4.1.4 Matrices stochastiques

105

4.1.5 Matrices réversibles ou principe de la balance détaillée

110

4.2 Processus à temps continu

113

5 Dynamique déterministe expansive et théorie ergodique

117

5.1 Introduction

117

5.2 Modèle de dynamique expansive

117

5.2.1 Étude d"un exemple simple

120

5.3 (*) Stabilité structurelle

121

5.4 (*) Dynamique symbolique

123

5.5 Opérateur de transfert

124

5.6 Mélange, ergodicité, mesure d"équilibre

126

TABLE DES MATIÈRES5

5.6.1 Fonction de corrélation et mélange exponentiel

126

5.6.2 Exemples numériques d"évolution de densité et de mesures d"équilibre

127

5.6.3 (*) Ergodicité

127

6 Dynamique déterministe hyperbolique et théorie ergodique

129

6.1 Introduction

129

6.1.1 Billard dispersif de Sinaï et instabilité hyperbolique

130

6.1.2 Flot géodésique sur une surface à courbure négative

131

6.2 Instabilité hyperbolique d"Anosov

133

6.2.1 Espace des phases et couche d"énergie

133

6.2.2 Définition de Flot Hyperbolique ou sensibilité aux conditions initiales.

133

6.3 Ergodicité et mélange

137

6.3.1 Un flot géodésique hyperbolique est mélangeant (et ergodique)

137

6.3.2 Modèle simple du " cat map » qui est mélangeant (et ergodique)

139

6.4 Théorème central limite et diffusion

141

7 L"attracteur étrange de Lorenz

143

7.1 Modèle de Lorenz pour l"hydrodynamique. Cellules de convection de Bénard

143

7.1.1 Convection et hydrodynamique

143

7.1.2 Modèle simplifié de Rayleigh

14 5

7.1.3 Approximation de Lorenz sur quelques modes de Fourier. Équations

de Lorenz. 150

7.1.4 De retour au mouvement du fluide

154

7.2 Le moulin de Lorenz

154

7.2.1 Modélisation physique et équations de Lorenz

155

7.2.2 Preuve de la Proposition

7.2.2 157

7.3 Etude des équations de mouvement de Lorenz

163

7.3.1 Points fixes et leur stabilité

163

7.3.2 Variétés stables et instables du point fixe0. . . . . . . . . . . . . .167

7.3.3 Contraction du flot de Lorenz et existence d"un attracteur

167

7.3.4 Modèle géométrique du flot de Lorenz

170

7.3.5 Modèle linéaire simplifié

17 2

7.3.6 Cantor et dimension fractale

173

7.4 Mesure d"équilibre de Sinaï-Ruelle-Bowen (SRB, 1976). Ergodicité.

177

7.5 Mélange

179

7.6 Théorème central limite

181

7.6.1 Processus aléatoire de "pile ou face" et théorème central limite

181

7.6.2 Théorème central limite pour le flot de Lorenz

183

8 Dynamique de champs et morphogénèse

187

8.1 Modèle à une dimension et une composante

187

8.1.1 Modèle de Swift-Hohenberg

187

8.1.2 Analyse de la stabilité d"une solution homogène stationnaire

189

6TABLE DES MATIÈRES

8.1.3 Stabilité du motif. Etude non linéaire.

192

8.1.4 Simulation numérique

193

8.2 Modèle de réaction-diffusion à deux composantes

193

8.2.1 Modèle

193

8.2.2 Interprétation des équations du modèle de Gray Scott

194

8.2.3 Analyse de la stabilité d"une solution homogène stationnaire

195

8.3 Motifs périodiques et quasi-périodiques en dimension≥2. . . . . . . . . .203

8.3.1 Exemples en dimension 2

20 4

8.3.2 Motif périodique et quasi-périodique

20 5

8.4 Motifs par segregation ou avalanches

211

8.5 Ondes solitaires ou Solitons

213

8.5.1 Historique

214

8.5.2 Du modèle des oscillateurs non linéaires à l"équation de KdV

215

8.5.3 Solution de l"équation KdV à profil constant

221

A Formulaire

225

A.1 Algèbre linéaire

225

A.1.1 Forme normale de Jordan et diagonalisation

225

A.1.2 Rayon spectral d"une matrice

22 8
A.1.3 Diagonalisation d"une matrice2×2. . . . . . . . . . . . . . . . . .229

B Énoncés et solutions des exercices

231

B.1 Chapitre introduction

231
B.1.1 "Suitexn+1=axn+b".. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

B.2 Chapitre applications et champs de vecteur

232
B.3 Chapitre dynamique Hamiltonienne, flots géodésiques et billard 232
B.3.1 Loi de Newcomb-Bendford, "application de l"unique ergodicité". 232

B.3.2 Billard circulaire

233

B.3.3 Hyperbolicité d"un billard dispersif.

236
B.4 Chapitre Dynamique probabiliste sur les graphes 239
B.4.1 "Matrice d"adjacence d"un graphe et entropie" 239

B.4.2 " Internet Google rank »

242
B.4.3 " Algorithme de MonteCarlo pour le modèle d"Ising » 244

B.5 Chapitre Dynamique déterministe expansive

246
B.6 Chapitre Dynamique déterministe hyperbolique 24 6
B.7 Chapitre Le modele de Lorenz en hydrodynamique. Le moulin de Lorenz et son attracteur etrange 246
B.8 Chapitre Morphogenese et ondes non linéaires 246
C Programmes d"illustration en langage python et C++ 247

C.1 Programmes en langage python

247

C.1.1 fichier syracuse.py pour la Section

1.1.1 24 7

C.2 Programmes en langage C++

248

TABLE DES MATIÈRES7

C.2.1 fichier syracuse.cc pour la Section

1.1.1 248

8TABLE DES MATIÈRES

Notes :

Ce do cumentp dfest disp oniblesur la page w eb:

avec des liens html cliquables. La marq ue(*) signifie que ce passage p eutêtre sauté en p remièrelecture et sera probablement sauté en cours. Notations : le signe :=signifie une définition. Par exempleA:= sin(x)signifie que dans la suite on poseA= sin(x). Animations sur la page web :il y a de nombreuses animations qui illustrent chaque parties du cours sur la page w eb

Chapitre 1

Introduction

1.1 Introduction

Il y a deux problèmes fondamentaux en sciences :

1.1.1 Le problème de prédiction

Laquestion fondamentaleen théorie des systèmes dynamiques est : Problème de prédiction :"Connaissant les lois d"évolution, prévoir le comportement

effectif à temps longs, prévoir des phénomènes observables"."loi d"évolution"signifie une règle qui donne l"état à l"instantt+δtconnaissant l"état

à l"instantt. Cette loi peut êtreune loi déterministe(si l"état futur est déterminé de

façon unique à partir de l"état présent) et/ou uneloi probabiliste(si l"état futur est donné

par une distribution de probabilité à partir de l"état présent). La physique a découvert que

les lois d"évolution dans la nature sont assez simples. 1 L"homme s"interroge sur cette question depuis la nuit des temps. Les premières réponses sont venues avec le mouvement des astres dans le ciel étoilé car ce mouvement est au premier abord assez simple et donc prévisible. Cela a marqué notre culture. Les 7 objets célestes visibles qui bougent par rapport au ciel étoilé sont : lune (lundi), mars (mardi), mercure

(mercredi), jupiter (jeudi), venus (vendredi), saturne (samedi), soleil (dimanche, sunday).1. Ce sont les lois de la "mécanique". En gros chaque particule intéragit avec ses voisines de façon

précise et simple. On dit que les lois sont "locales". En mécanique classique les lois sont déterministes. En

mécanique quantique, les lois quantique sont probabilistes et concernent l"amplitude de probabilité.

9

10CHAPITRE 1. INTRODUCTIONFigure 1.1.1- Mouvement apparent des étoiles, par rapport à la Terre. Mouvement de

Mars par rapport aux étoiles. Il a fallu du temps pour découvrir que la Terre appartient

au système solaire.Figure 1.1.2- La plupart des phénomènes observés semblent imprévisibles, car trop

"complexes", "chaotiques". La météo échappe à la prévision au delà de quelques jours. Les

éruptions solaires ont un impact sur notre climat et découlent de dynamique complexe in-

terne au soleil.Quelle est l"origine de la complexité observée? (chaos = confusion, désordre,

imprévisibilité)

1.1. INTRODUCTION11

Illustration avec deux suites

On pourrait croire que si la loi d"évolution est simple alors il doit être simple de répondre

à la question précédente, c"est à dire de prédire le comportement à temps long. Cela n"est

pas toujours vrai. Voici deux exemples de loi simples (mathématiques) déterministes qui

illustrent ces propos. Pour la première loi la prédiction est facile. Pour la deuxième, on ne

sait toujours pas expliquer le comportement (mais on l"observe). Voir la figure 1.1.3 1. Exem ple1 : à l"instan tt∈Z, l"état du système est un nombre entierx(t)∈Net la loi est x(t+ 1) =( 12 x(t)six(t)est pair 12 (x(t) + 1)six(t)est impair(1.1.1) Par exemple, partant dex(0) = 21, la suite des valeurs est21,11,6,3,2,1,1,.... Cette loi est appelée la "suite géométrique». Pour une donnée initialex(0) quelconque, la réponse à la question de prédiction est assez simple : à une datet quelconque,x(t) =12 tx(0) +([.]+signifie l"entier supérieur le plus proche). Ainsi la suite décroit et pourt≥lnx(0)ln2 alorsx(t) = 1. 2. Exem ple2 : à l"instan tt∈N, l"état du système est un nombre entierx(t)∈Net la loi est x(t+ 1) =( 12 x(t)six(t)est pair 12 (3x(t) + 1)six(t)est impair(1.1.2) Cette loi est appelée la "suite de Syracuse». On observe que si la valeur de départ estx(0) = 1alors les valeurs suivantes sont périodiques1,2,1,2,1,...Si la valeur de départx(0) = 7, les valeurs suivantes sont7,11,17,26,13,20,10,5,16,8,4,2,1,2,1,2,1,... La fameuseconjecture de Syracusenon démontrée à ce jour est que partant de toute valeurx(0)≥1la suite arrive forcément au bout d"un momentTà la suite périodique1,2,1,2,...Lorsque l"on trace numériquement les trajectoires, on ob- serve des courbes qui semblent " imprévisibles, chaotiques ». Essayer la valeur de départx(0) = 27.

Programme python : voir Section

C.1.1

Programme c++ : voir Section

C.2.1

1.1.2 Le problème inverse ou problème de découverte des lois.

Modélisation.

La question précédente de prédiction suppose que l"on connaît à priori les lois d"évolu-

tion. La difficulté en physique est que au départ on observe des phénomènes sans connaître

les lois sous jacentes. La découverte de ces lois peut être appelée le "problème inverse" :

12CHAPITRE 1. INTRODUCTIONFigure 1.1.3- Comportement de la suite géométrique (1.1.1) et de la suite de Syracuse

1.1.2 ), en partant de différentes conditions initiales àt= 0. Le problème inverse :"Connaissant des phénomènes et des comportements, deviner

les lois d"évolutions infinitésimales (les plus simple possible) qui en sont responsables."C"est une question bien plus difficile, c"est une question d"expérimentation de modéli-

sation et de validation. Plusieurs difficultés interviennent : Les phénomènes son tobserv ésa vecdes incertitudes. On ne p eutobserv erqu"un nom brefini de fois le phénomène (rien ne g arantiten principe que la prochaine fois il se reproduira tel quel).

De cela il découle qu"il n"y a pas forcément un modèle unique qui explique les phénomènes

observés. Dans l"histoire des sciences on peut citer quelques grandes étapes de découverte de lois : Mouv ementdes corps célestes par la théorie des épicycles (Ptolémé, dans l" almageste en l"an 150)

Loi univ ersellede la gra vitation

de Newton en 1687.

Loi de l"électromagnétisme

de Maxwell en 1865.

Relativité générale

(théorie relativiste de la gra vitation)de Einstein en 1915 .Qui est actuellement une " loi fondamentale » de la physique.

Lois de la m écaniquequan tique

en 1920.

Lois du

modèle standard des particules (b aséesur la théorie quan tiquedes c hamps

1930" - 1970", qui est actuellement une " loi fondamentale » de la physique.

Remarque1.1.1.Pour illustrer le fait qu"une loi n"est pas forcément unique pour expliquer un phénomène, donnons l"exemple de l"orbite des planètes qui avec l"incertitude d"obser- vation au moment de l"antiquité s"explique aussi bien avec la théorie des épycliques de

1.1. INTRODUCTION13

Ptolémé ou la théorie de Newton ou la théorie d"Einstein. Lorsque l"on augmente la préci-

sion (précision actuelle des observations), seule la théorie d"Einstein reste candidate. Mais

à un niveau de précision donnée, la théorie la plus utile sera la plus simple. Par exemple

pour expliquer le mouvement d"un pendule il est préférable d"utiliser la théorie de Newtonquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50