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1
Cours de
Systèmes dynamiques, chaos et applications.
Frédéric Faure
Université Grenoble Alpes, France
frederic.faure@univ-grenoble-alpes.frMaster de Physique M1
(version : 5 novembre 2018) 2Table des matières
1 Introduction
91.1 Introduction
91.1.1 Le problème de prédiction
91.1.2 Le problème inverse ou problème de découverte des lois. Modélisation.
111.1.3 Hasard et déterminisme
141.1.4 Plan du cours
141.2 Modèle du pendule
171.2.1 Equation de mouvement de Newton (1687)
171.2.2 Résolution numérique de l"EDO (
1.2.3 ) par la méthode de Euler (1768) 181.2.3 Section de Poincaré (1892)
221.2.4 Systèmes physiques reliés au modèle du pendule
241.3 L"application logistique (1838,1985)
251.3.1 Définition
251.3.2 Observations
261.3.3 Ensemble de Mandelbrot (1980)
2 91.3.4 L"ensemble de Julia (1918)
311.4 Billard de Sinaï (1970)
321.4.1 Le billard rectangulaire
321.4.2 Billard dispersif de Sinaï (1970)
341.4.3 Systèmes physiques reliés au modèle du billard dispersif
361.5 Dynamique spatio-temporelle
371.5.1 Modèle de Belousov-Zhabotinsky (1950)
371.5.2 Interprétation du modèle en chimie
3 92 Applications et champ de vecteurs
412.1 Applications
412.1.1 Définitions et exemples
412.1.2 Rappels sur la différentielle
432.1.3 Applications conservatives ou dissipatives
432.1.4 Opérateur de transfert
452.1.5 Point fixe et stabilité
482.2 Champ de vecteur
512.2.1 Définitions : champ de vecteur, équations du mouvement, flot
5 1 34TABLE DES MATIÈRES
2.2.2 Flot conservatifs et dissipatifs
522.2.3 Opérateur de transfert
542.2.4 (*)Théorème fondamental qui garantit les solutions aux EDO
572.2.5 Point fixe et stabilité
593 Dynamique Hamiltonienne, Billards et flot géodésique
633.1 Équations de mouvement de la mécanique
633.2 Exemples
653.3 Flot Hamiltonien et crochets de Poisson
673.4 Particule libre dans l"espace Euclidien. Translation sur le tore et billards
693.4.1 Particule libre sur le cercleS1ou le toreTd. . . . . . . . . . . . .70
3.5 Particule libre sur une surface (ou espace courbe). Géodésiques
743.5.1 Du flot géodésique au billard
763.6 Billards
773.7 Apparition du chaos dans un billard circulaire déformé
853.7.1 Modèle étudié
863.7.2 Billard circulaire(a= 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
3.7.3 Billard légèrement déformé(a= 0.02). . . . . . . . . . . . . . . .88
3.7.4 Billard plus déformé(a= 0.05). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
3.7.5 Billard déformé(a= 0.1-0.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
3.8 Exemples de perturbation de modèles intégrables, apparition du chaos Ha-
miltonien, avecd= 2degrés de liberté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.8.1 L"application standard ("standard map")
923.8.2 Le pendule magnétique
933.8.3 Le problème à trois corps réduit
934 Dynamique probabiliste de Markov
954.1 Définitions et propriétés générales
954.1.1 Loi d"évolution sur un graphe
954.1.2 Exemples et quelques questions
964.1.3 Matrices positives, ergodiques, mélangeantes
1004.1.4 Matrices stochastiques
1054.1.5 Matrices réversibles ou principe de la balance détaillée
1104.2 Processus à temps continu
1135 Dynamique déterministe expansive et théorie ergodique
1175.1 Introduction
1175.2 Modèle de dynamique expansive
1175.2.1 Étude d"un exemple simple
1205.3 (*) Stabilité structurelle
1215.4 (*) Dynamique symbolique
1235.5 Opérateur de transfert
1245.6 Mélange, ergodicité, mesure d"équilibre
126TABLE DES MATIÈRES5
5.6.1 Fonction de corrélation et mélange exponentiel
1265.6.2 Exemples numériques d"évolution de densité et de mesures d"équilibre
1275.6.3 (*) Ergodicité
1276 Dynamique déterministe hyperbolique et théorie ergodique
1296.1 Introduction
1296.1.1 Billard dispersif de Sinaï et instabilité hyperbolique
1306.1.2 Flot géodésique sur une surface à courbure négative
1316.2 Instabilité hyperbolique d"Anosov
1336.2.1 Espace des phases et couche d"énergie
1336.2.2 Définition de Flot Hyperbolique ou sensibilité aux conditions initiales.
1336.3 Ergodicité et mélange
1376.3.1 Un flot géodésique hyperbolique est mélangeant (et ergodique)
1376.3.2 Modèle simple du " cat map » qui est mélangeant (et ergodique)
1396.4 Théorème central limite et diffusion
1417 L"attracteur étrange de Lorenz
1437.1 Modèle de Lorenz pour l"hydrodynamique. Cellules de convection de Bénard
1437.1.1 Convection et hydrodynamique
1437.1.2 Modèle simplifié de Rayleigh
14 57.1.3 Approximation de Lorenz sur quelques modes de Fourier. Équations
de Lorenz. 1507.1.4 De retour au mouvement du fluide
1547.2 Le moulin de Lorenz
1547.2.1 Modélisation physique et équations de Lorenz
1557.2.2 Preuve de la Proposition
7.2.2 1577.3 Etude des équations de mouvement de Lorenz
1637.3.1 Points fixes et leur stabilité
1637.3.2 Variétés stables et instables du point fixe0. . . . . . . . . . . . . .167
7.3.3 Contraction du flot de Lorenz et existence d"un attracteur
1677.3.4 Modèle géométrique du flot de Lorenz
1707.3.5 Modèle linéaire simplifié
17 27.3.6 Cantor et dimension fractale
1737.4 Mesure d"équilibre de Sinaï-Ruelle-Bowen (SRB, 1976). Ergodicité.
1777.5 Mélange
1797.6 Théorème central limite
1817.6.1 Processus aléatoire de "pile ou face" et théorème central limite
1817.6.2 Théorème central limite pour le flot de Lorenz
1838 Dynamique de champs et morphogénèse
1878.1 Modèle à une dimension et une composante
1878.1.1 Modèle de Swift-Hohenberg
1878.1.2 Analyse de la stabilité d"une solution homogène stationnaire
1896TABLE DES MATIÈRES
8.1.3 Stabilité du motif. Etude non linéaire.
1928.1.4 Simulation numérique
1938.2 Modèle de réaction-diffusion à deux composantes
1938.2.1 Modèle
1938.2.2 Interprétation des équations du modèle de Gray Scott
1948.2.3 Analyse de la stabilité d"une solution homogène stationnaire
1958.3 Motifs périodiques et quasi-périodiques en dimension≥2. . . . . . . . . .203
8.3.1 Exemples en dimension 2
20 48.3.2 Motif périodique et quasi-périodique
20 58.4 Motifs par segregation ou avalanches
2118.5 Ondes solitaires ou Solitons
2138.5.1 Historique
2148.5.2 Du modèle des oscillateurs non linéaires à l"équation de KdV
2158.5.3 Solution de l"équation KdV à profil constant
221A Formulaire
225A.1 Algèbre linéaire
225A.1.1 Forme normale de Jordan et diagonalisation
225A.1.2 Rayon spectral d"une matrice
22 8A.1.3 Diagonalisation d"une matrice2×2. . . . . . . . . . . . . . . . . .229
B Énoncés et solutions des exercices
231B.1 Chapitre introduction
231B.1.1 "Suitexn+1=axn+b".. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B.2 Chapitre applications et champs de vecteur
232B.3 Chapitre dynamique Hamiltonienne, flots géodésiques et billard 232
B.3.1 Loi de Newcomb-Bendford, "application de l"unique ergodicité". 232
B.3.2 Billard circulaire
233B.3.3 Hyperbolicité d"un billard dispersif.
236B.4 Chapitre Dynamique probabiliste sur les graphes 239
B.4.1 "Matrice d"adjacence d"un graphe et entropie" 239
B.4.2 " Internet Google rank »
242B.4.3 " Algorithme de MonteCarlo pour le modèle d"Ising » 244
B.5 Chapitre Dynamique déterministe expansive
246B.6 Chapitre Dynamique déterministe hyperbolique 24 6
B.7 Chapitre Le modele de Lorenz en hydrodynamique. Le moulin de Lorenz et son attracteur etrange 246
B.8 Chapitre Morphogenese et ondes non linéaires 246
C Programmes d"illustration en langage python et C++ 247
C.1 Programmes en langage python
247C.1.1 fichier syracuse.py pour la Section
1.1.1 24 7C.2 Programmes en langage C++
248TABLE DES MATIÈRES7
C.2.1 fichier syracuse.cc pour la Section
1.1.1 2488TABLE DES MATIÈRES
Notes :
Ce do cumentp dfest disp oniblesur la page w eb:
avec des liens html cliquables. La marq ue(*) signifie que ce passage p eutêtre sauté en p remièrelecture et sera probablement sauté en cours. Notations : le signe :=signifie une définition. Par exempleA:= sin(x)signifie que dans la suite on poseA= sin(x). Animations sur la page web :il y a de nombreuses animations qui illustrent chaque parties du cours sur la page w ebChapitre 1
Introduction
1.1 Introduction
Il y a deux problèmes fondamentaux en sciences :1.1.1 Le problème de prédiction
Laquestion fondamentaleen théorie des systèmes dynamiques est : Problème de prédiction :"Connaissant les lois d"évolution, prévoir le comportementeffectif à temps longs, prévoir des phénomènes observables"."loi d"évolution"signifie une règle qui donne l"état à l"instantt+δtconnaissant l"état
à l"instantt. Cette loi peut êtreune loi déterministe(si l"état futur est déterminé de
façon unique à partir de l"état présent) et/ou uneloi probabiliste(si l"état futur est donné
par une distribution de probabilité à partir de l"état présent). La physique a découvert que
les lois d"évolution dans la nature sont assez simples. 1 L"homme s"interroge sur cette question depuis la nuit des temps. Les premières réponses sont venues avec le mouvement des astres dans le ciel étoilé car ce mouvement est au premier abord assez simple et donc prévisible. Cela a marqué notre culture. Les 7 objets célestes visibles qui bougent par rapport au ciel étoilé sont : lune (lundi), mars (mardi), mercure(mercredi), jupiter (jeudi), venus (vendredi), saturne (samedi), soleil (dimanche, sunday).1. Ce sont les lois de la "mécanique". En gros chaque particule intéragit avec ses voisines de façon
précise et simple. On dit que les lois sont "locales". En mécanique classique les lois sont déterministes. En
mécanique quantique, les lois quantique sont probabilistes et concernent l"amplitude de probabilité.
910CHAPITRE 1. INTRODUCTIONFigure 1.1.1- Mouvement apparent des étoiles, par rapport à la Terre. Mouvement de
Mars par rapport aux étoiles. Il a fallu du temps pour découvrir que la Terre appartientau système solaire.Figure 1.1.2- La plupart des phénomènes observés semblent imprévisibles, car trop
"complexes", "chaotiques". La météo échappe à la prévision au delà de quelques jours. Les
éruptions solaires ont un impact sur notre climat et découlent de dynamique complexe in-terne au soleil.Quelle est l"origine de la complexité observée? (chaos = confusion, désordre,
imprévisibilité)1.1. INTRODUCTION11
Illustration avec deux suites
On pourrait croire que si la loi d"évolution est simple alors il doit être simple de répondre
à la question précédente, c"est à dire de prédire le comportement à temps long. Cela n"est
pas toujours vrai. Voici deux exemples de loi simples (mathématiques) déterministes quiillustrent ces propos. Pour la première loi la prédiction est facile. Pour la deuxième, on ne
sait toujours pas expliquer le comportement (mais on l"observe). Voir la figure 1.1.3 1. Exem ple1 : à l"instan tt∈Z, l"état du système est un nombre entierx(t)∈Net la loi est x(t+ 1) =( 12 x(t)six(t)est pair 12 (x(t) + 1)six(t)est impair(1.1.1) Par exemple, partant dex(0) = 21, la suite des valeurs est21,11,6,3,2,1,1,.... Cette loi est appelée la "suite géométrique». Pour une donnée initialex(0) quelconque, la réponse à la question de prédiction est assez simple : à une datet quelconque,x(t) =12 tx(0) +([.]+signifie l"entier supérieur le plus proche). Ainsi la suite décroit et pourt≥lnx(0)ln2 alorsx(t) = 1. 2. Exem ple2 : à l"instan tt∈N, l"état du système est un nombre entierx(t)∈Net la loi est x(t+ 1) =( 12 x(t)six(t)est pair 12 (3x(t) + 1)six(t)est impair(1.1.2) Cette loi est appelée la "suite de Syracuse». On observe que si la valeur de départ estx(0) = 1alors les valeurs suivantes sont périodiques1,2,1,2,1,...Si la valeur de départx(0) = 7, les valeurs suivantes sont7,11,17,26,13,20,10,5,16,8,4,2,1,2,1,2,1,... La fameuseconjecture de Syracusenon démontrée à ce jour est que partant de toute valeurx(0)≥1la suite arrive forcément au bout d"un momentTà la suite périodique1,2,1,2,...Lorsque l"on trace numériquement les trajectoires, on ob- serve des courbes qui semblent " imprévisibles, chaotiques ». Essayer la valeur de départx(0) = 27.Programme python : voir Section
C.1.1Programme c++ : voir Section
C.2.11.1.2 Le problème inverse ou problème de découverte des lois.
Modélisation.
La question précédente de prédiction suppose que l"on connaît à priori les lois d"évolu-
tion. La difficulté en physique est que au départ on observe des phénomènes sans connaître
les lois sous jacentes. La découverte de ces lois peut être appelée le "problème inverse" :
12CHAPITRE 1. INTRODUCTIONFigure 1.1.3- Comportement de la suite géométrique (1.1.1) et de la suite de Syracuse
1.1.2 ), en partant de différentes conditions initiales àt= 0. Le problème inverse :"Connaissant des phénomènes et des comportements, devinerles lois d"évolutions infinitésimales (les plus simple possible) qui en sont responsables."C"est une question bien plus difficile, c"est une question d"expérimentation de modéli-
sation et de validation. Plusieurs difficultés interviennent : Les phénomènes son tobserv ésa vecdes incertitudes. On ne p eutobserv erqu"un nom brefini de fois le phénomène (rien ne g arantiten principe que la prochaine fois il se reproduira tel quel).De cela il découle qu"il n"y a pas forcément un modèle unique qui explique les phénomènes
observés. Dans l"histoire des sciences on peut citer quelques grandes étapes de découverte de lois : Mouv ementdes corps célestes par la théorie des épicycles (Ptolémé, dans l" almageste en l"an 150)Loi univ ersellede la gra vitation
de Newton en 1687.Loi de l"électromagnétisme
de Maxwell en 1865.Relativité générale
(théorie relativiste de la gra vitation)de Einstein en 1915 .Qui est actuellement une " loi fondamentale » de la physique.Lois de la m écaniquequan tique
en 1920.Lois du
modèle standard des particules (b aséesur la théorie quan tiquedes c hamps1930" - 1970", qui est actuellement une " loi fondamentale » de la physique.
Remarque1.1.1.Pour illustrer le fait qu"une loi n"est pas forcément unique pour expliquer un phénomène, donnons l"exemple de l"orbite des planètes qui avec l"incertitude d"obser- vation au moment de l"antiquité s"explique aussi bien avec la théorie des épycliques de1.1. INTRODUCTION13
Ptolémé ou la théorie de Newton ou la théorie d"Einstein. Lorsque l"on augmente la préci-
sion (précision actuelle des observations), seule la théorie d"Einstein reste candidate. Maisà un niveau de précision donnée, la théorie la plus utile sera la plus simple. Par exemple
pour expliquer le mouvement d"un pendule il est préférable d"utiliser la théorie de Newtonquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50