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est un angle au centre du cercle C, il intercepte l'arc AB On dit parfois qu'il intercepte la corde [AB] 1 ˆ O est l 

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Angles inscrits et angles au centre interceptant un même arc de cercle 1) Rappels cercles et disques a) Cercles et disques : • Définitions : * Périmètre et aire : 

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Angles inscrits et angles au centre interceptant un même arc de cercle. 1)

Rappels cercles et disques.

a) Cercles et disques :

Définitions :

* Périmètre et aire : • Arc de cercle et secteur circulaire. o Exercices :

a ) Soit un disque de rayon r = 20 cm et un secteur circulaire de ce disque ayant pour angle au centre

20α= °.

Calculer la longueur de l'arc correspondant au mm près et calculer l'aire du secteur circulaire au mm²

près. b) Un cercle a pour périmètre

823.P cm=

Calculer son diamètre au cm près.

c) On donne AC = 22 cm et AB = 30 cm.

L'angle

ˆCAEmesure 55°.

Calculer le périmètre et l'aire de la figure hachurée, respectivement au mm près et au mm² près. 2) Angles inscrits et angles au centre interceptant un arc.

Remarque importante sur les angles :

Par la suite, on ne prendra en compte que des angles SAILLANTS. 3) Angle au centre et angle inscrit interceptant un même arc :

Exercice :

A ) Reproduire ce pentagone régulier en prenant 6 cm de rayon. b) Trouver 2 angles inscrits interceptant tous l'arc CB rouge. c) Trouver l'angle au centre qui intercepte l'arc ED bleu. d) Trouver l'angle au centre et 3 angles inscrits interceptant le même arc CD vert. Faire des phrases claires reprenant les mots clés de la leçon. Ex : l'angle... (nom) est un angle au centre interceptant l'arc...(nom). les angles inscrits...(noms) interceptent tous le même arc...(nom). L'angle au centre...(nom) et l'angle inscrit...(nom) interceptent tous deux le même arc...(nom de l'arc).

4) Propriétés des mesures des angles aux centres et des angles inscrits interceptant un même arc.

a) Activité :

Construis 3 cercles. Sur chacun, construis un angle au centre et un angle inscrit qui interceptent un même arc comme

ci-dessous. Dans chaque figure, mesure l'angle au centre et l'angle inscrit qui interceptent le même arc.

Quelle observation peux-tu faire ?

b) Démonstration de cette propriété :

1) Cas particulier : Considérons le cas d'un point C d'un cercle de centre O et de diamètre [AB].

* Que dire du triangle AOC ? Pourquoi ? * Que peut-on dire des angles

ˆOACet ˆOCA ?

Pourquoi ?

* Exprimons alors

δen fonction de α.

Dans AOC, d'après la somme des angles d'un

triangle, on a 2 180

2 2 180 2

180 2
* Que mesure l'angle

ˆAOB ? Pourquoi ?

*Que dire alors des angles . .etβ δ ? * On a donc :

180β δ+ =. (égalité N°1)

Mais comme 180 2δ α= -

En remplaçant (substituant)

δpar 180 2α-dans l'égalité N°1, on obtient : 180

180 2 180

1 180 1

80 2 18

80
2 0

180 2 180

2 2 2 0 2 0 Conclusion : Dans ce cas particulier, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc. 2)

Généralisation :

a) Premier cas :

2β α= et ' 2 'β α= donc : ()' 2 2 ' 2 'β β α α α α+ = + = +

Or : 'β β+est la mesure de l'angle au centre interceptant l'arc CD?et 'α α+est la mesure de l'angle inscrit interceptant le même arc.

On a donc bien :

ˆˆ ˆ ˆ2

2

CODCOD CAD CAD= ? =

b) Deuxième cas :

On a ici :

2β α=et' 2 'β α=

donc : ()' 2 2 ' 2 'β β α α α α- = - = - Or : ˆ' 'CODβ β δ- = = et ˆ'CADα α δ- = = ˆCODest un angle au centre interceptant l'arc CD? ˆCADest un angle inscrit interceptant le même arc.

On a là encore :

ˆˆ ˆ ˆ2

2

CODCOD CAD CAD= ? =

c) Conclusion : Un angle au centre vaut toujours le double d'un angle inscrit qui intercepte le même arc.

5) Propriété de 2 angles inscrits interceptant un même arc.

1) Activité : Construis un cercle et sur ce cercle, construis 3 angles inscrits interceptant un même arc

comme sur la figure ci-dessous.

Quelle observation peux-tu faire ?

Comment justifier cette observation... ?

2) C'est très simple !

Faisons entrer en scène l'angle au centre qui intercepte le même arc que les 3 angles inscrits.

On a forcement :

2

ωα=, 2

ωβ=et aussi 2

Et il en serait de même pour tout autre angle inscrit interceptant l'arc rouge

CB?. (Le sommet de l'angle

inscrit ne doit pas être un point de l'arc en question !) Conclusion : 2 angles inscrits interceptant un même arc sont de même mesure.

Voir les exercices page 8 et page 9.

Faire au min. les exercices n°9 ; n°11 ; n°13 et n°14

Si tu veux aller plus loin : ex n°16.

Entraînement D.N.B : ex n°17.

Il y a des chances que certains exercices de cette page figurent dans un prochain devoir. Tu sais ce qu'il te reste à faire si tu veux avoir une note plutôt correcte.

Je suis à ta disposition...

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