Calculer les déterminants des matrices suivantes : ( 7 11 −8 4 ) ⎛ Si dans une matrice on change un ligne Li en Li −λLj alors le déterminant reste le même
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Exo7
Calculs de déterminants
Fiche corrigée par Arnaud Bodin
Exercice 1Calculer les déterminants des matrices suivantes : 7 11 8 4 0 @1 0 63 4 15
5 6 211
A0 @1 0 2 3 4 55 6 71
A0 @1 01 2 3 54 1 31
A 0 BB@0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 21
C CA0 BB@0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 01
C CA0 BB@1 2 1 2
1 3 1 3
2 1 0 6
1 1 1 71
C CA 1. Calculer l"aire du parallélogramme construit sur les v ecteurs~u=2 3 et~v=1 4 2. Calculer le v olumedu parallélépipède construit sur les v ecteurs ~u=0 @1 2 01 A ,~v=0 @0 1 31A et~w=0 @1 1 11 A 3.
Montrer que le v olumed"un parallélépipède dont les sommets sont des points de R3à coefficients entiers
est un nombre entier. Calculer les déterminants des matrices suivantes : 0 @a b c c a b b c a1 A0 BB@1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 1
2 3 1 11
C CA0 BB@1 1 1 1
11 1 1
1 11 1
1 1 111
C CA0 BB@10 05 15
2 7 3 0
8 14 0 2
021 111
C CA 0 BB@a a b0
a a0b c0a a0c a a1
C CA0 BBBB@1 0 3 0 0
0 1 0 3 0
a0a0 3 b a0a00b0 0a1
C CCCA0 BBBB@1 0 0 1 0
04 3 0 0
3 0 032
0 1 7 0 0
4 0 0 7 11
C CCCA 1Calculer les déterminants suivant :
a 1a2an a1a1......
.........a2 a 1a1a1 1 11 1(0)
(0)1 1 a+b aa a a+b...... .........a aa a+bSoit(a0;:::;an1)2Cn,x2C. Calculer
D n= x0a01.........
...x an201x+an1
Soitaun réel. On noteDnle déterminant suivant : D n= a00n10a.........
.........0 2 00a1 n12 1a 1.Calculer Dnen fonction deDn1.
2.Démontrer que : 8n>2Dn=anan2n1å
i=1i2.1t1t21:::tn111t2t22:::tn12::: ::: ::: ::: :::
1tnt2n:::tn1n
16i Indication pourl"exer cice3 N1.Règle de Sarrus. 2. Dév elopperpar rapport à la deuxième ligne. 3. F aireapparaître des 0 sur la première colonne. 4. Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coef ficients.
5. F aireapparaître des 0...
6. F aireapparaître des 0...
7. Permuter les lignes et les colonnes pour f aireapparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pourl"exer cice5 NDévelopper par rapport à la dernière colonne.
Indication pour
l"exer cice 6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en
développant par rapport à sa première ligne.Indication pourl"exer cice7 NFaire les opérations suivantes sur les colonnesCn CntnCn1, puisCn1 Cn1tnCn2,...,C2 C2tnC1.
Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l"on obtient le déterminant recherché mais au rang
n1.3 Correction del"exer cice1 N1.Le déterminant de la matrice a b c d esta b c d =adbc. Donc7 11 8 4 =7411(8) =116. 2. Nous allons v oirdif férentesméthodes pour calculer les déterminants. Première méthode.Règle de Sarrus.Pour le matrice 33 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant. a 11a12a13
a 21a22a23
a 31a32a33
Donc 1 0 6 3 4 15
5 6 21
=1421+0155+36654661513021=18 Attention ! La règle de Sarrus ne s"applique qu"aux matrices 33. 3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.
Si dans une matrice on change un ligneLienLilLjalors le déterminant reste le même. Même chose
avec les colonnes. L 11 0 2
L 23 4 5
L 35 6 7=1 0 2
L 2 L23L10 41L
3 L35L10 63=1 0 2
0 41L 3 L332
L20 032=14(32
) =6 sur la diagonale. 4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer
par rapport à la deuxième colonne. 1 01 2 3 5 4 1 3 = (0)2 5 4 3 +(+3)11 4 3 +(1)11 2 5 =0+3717=14 Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0. 5. On f aitapparaître des 0 sur la première colonne puis on dév eloppepar rapport à cette colonne.
D=L 10 1 2 3
L 21 2 3 0
L 32 3 0 1
L 43 0 1 2=0 1 2 3
1 2 3 0
L 3 L32L2016 1L
4 L43L2068 2=1 2 3
16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
D=L 11 2 3
L 216 1L
368 2=1 2 3
L 2 L2+L104 4L
3 L3+6L10 4 20=14 4
4 20 =96 DoncD=96.
4 6.La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en f aireapparaît reda vantagesur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne. D 0=L 10 1 1 0
L 21 0 0 1
L 31 1 0 1
L 41 1 1 0=0 1 1 0
1 0 0 1
L 3 L3L20 1 0 0
1 1 1 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : D 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1=11 1
1 0 =1 7. T oujoursla même méthode, on f aitapparaître des 0 sur la première colonne, puis on dév eloppepar
rapport à cette colonne. D 00=L 11 2 1 2
L 21 3 1 3
L 32 1 0 6
L 41 1 1 7=1 2 1 2
L 2 L2L10 1 0 1
L 3 L32L1032 2L
4 L4L101 0 5=1 0 1
32 21 0 5On développe par rapport à la deuxième colonne :
D 00=21 1
1 5 =12Correction del"exer cice2 N1.L "aireAdu parallélogramme construit sur les vecteurs~u=a c et~v=b d est la valeur absolue du déterminant a b c d doncA=jadbcj. Ici on trouveA=abs2 1 3 4 = +5 où abs désigne la fonction valeur absolue. 2. Le v olumedu parallélépipède construit sur trois v ecteursde R3est la valeur absolue du déterminant de
la matrice formée des trois vecteurs. Ici V=abs 1 0 1 2 1 1 0 3 1 =abs +11 1 3 1 +12 1 0 3 =4 où l"on a développé par rapport à la première ligne. 3. Si un parallélépipède est construit sur trois v ecteursde R3dont les coefficients sont des entiers alors le
volume correspond au déterminant d"une matrice à coefficients entiers. C"est donc un entier.Correction del"exer cice3 N1.P arla règle de Sarrus :
D 1= a b c c a b b c a =a3+b3+c33abc: 5 2.On dév eloppepar rapport à la seconde ligne qui ne contient qu"un coef ficientnon nul et on calcule le
déterminant 33 par la règle de Sarrus : D 2= 1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 1
2 3 1 1
= +1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 =1: 3. D 3=L 11 1 1 1L
211 1 1L
31 11 1L
41 1 11=1 1 1 1L
2 L2+L10 0 2 2
L 3 L3+L10 2 0 2
L 4 L4+L10 2 2 0
On développe par rapport à la première colonne : D 3= (1)0 2 2
2 0 2 2 2 0=16
4. Le déterminant est liné airepar rapport à chacune de ses lignes et aussi chacune de ses colonnes. P ar
exemple les coefficients de la première ligne sont tous des multiples de 5 donc D 4= 10 05 15
2 7 3 0
8 14 0 2
021 11
=5 2 01 3
2 7 3 0
8 14 0 2
021 11
On fait la même chose avec la troisième ligne : D 4=52 2 01 3
2 7 3 0
4 7 0 1
021 11
Et enfin les coefficients la première colonne sont des multiples de 2 et ceux de la troisième colonne sont
des multiples de 7 donc : D 4=522 1 01 3
1 7 3 0
2 7 0 1
021 11
=5227 1 01 3
1 1 3 0
2 1 0 1
03 11 Les coefficients sont plus raisonnables ! On faitL2 L2+L1etL3 L32L1pour obtenir : D 4=140 1 01 3
0 1 2 3
0 1 25
03 11 =140 1 2 3 1 25 3 11 =14056=7840 5. D 5=L 1a a b0L
2a a0bL
3c0a aL
40c a a=a a b0L
2 L2L10 0b bc0a aL
4 L4L3c c0 0On fait ensuite les opérations suivantes sur les colonnes :C2 C2+C1etC3 C3C4pour obtenir une
dernière ligne facile à développer : D 5=a2a b00 02b bc c0ac0 0 0= +c2a b002b bc0a=bc(bc4a2)
6 6.On f aitd"abord les opérations C1 C1C3etC2 C2C4et on développe par rapport à la première
ligne : D 6= 1 0 3 0 0
0 1 0 3 0
a0a0 3 b a0a0 0b0 0a
2 0 3 0 0
02 0 3 0
0 0a0 3
b0 0a0 0b0 0a
= (2) 2 0 3 0
0a0 3 0 0a0 b0 0aquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coef ficients.
5.F aireapparaître des 0...
6.F aireapparaître des 0...
7.Permuter les lignes et les colonnes pour f aireapparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pourl"exer cice5 NDévelopper par rapport à la dernière colonne.
Indication pour
l"exer cice6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en
développant par rapport à sa première ligne.Indication pourl"exer cice7 NFaire les opérations suivantes sur les colonnesCn CntnCn1, puisCn1 Cn1tnCn2,...,C2 C2tnC1.
Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l"on obtient le déterminant recherché mais au rang
n1.3 Correction del"exer cice1 N1.Le déterminant de la matrice a b c d esta b c d =adbc. Donc7 11 8 4 =7411(8) =116. 2. Nous allons v oirdif férentesméthodes pour calculer les déterminants.Première méthode.Règle de Sarrus.Pour le matrice 33 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant. a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
Donc 1 0 63 4 15
5 6 21
=1421+0155+36654661513021=18 Attention ! La règle de Sarrus ne s"applique qu"aux matrices 33.3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.
Si dans une matrice on change un ligneLienLilLjalors le déterminant reste le même. Même chose
avec les colonnes. L11 0 2
L23 4 5
L35 6 7=1 0 2
L2 L23L10 41L
3 L35L10 63=1 0 2
0 41L3 L332
L20 032=14(32
) =6 sur la diagonale.4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer
par rapport à la deuxième colonne. 1 01 2 3 5 4 1 3 = (0)2 5 4 3 +(+3)11 4 3 +(1)11 2 5 =0+3717=14 Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par lesopérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0. 5.On f aitapparaître des 0 sur la première colonne puis on dév eloppepar rapport à cette colonne.
D=L10 1 2 3
L21 2 3 0
L32 3 0 1
L43 0 1 2=0 1 2 3
1 2 3 0
L3 L32L2016 1L
4 L43L2068 2=1 2 3
16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
D=L11 2 3
L216 1L
368 2=1 2 3
L2 L2+L104 4L
3 L3+6L10 4 20=14 4
4 20 =96DoncD=96.
46.La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en f aireapparaît reda vantagesur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne. D 0=L10 1 1 0
L21 0 0 1
L31 1 0 1
L41 1 1 0=0 1 1 0
1 0 0 1
L3 L3L20 1 0 0
1 1 1 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : D0=0 1 1
0 1 01 1 1=11 1
1 0 =1 7.T oujoursla même méthode, on f aitapparaître des 0 sur la première colonne, puis on dév eloppepar
rapport à cette colonne. D 00=L11 2 1 2
L21 3 1 3
L32 1 0 6
L41 1 1 7=1 2 1 2
L2 L2L10 1 0 1
L3 L32L1032 2L
4 L4L101 0 5=1 0 1
32 21 0 5On développe par rapport à la deuxième colonne :
D00=21 1
1 5 =12Correction del"exer cice2 N1.L "aireAdu parallélogramme construit sur les vecteurs~u=a c et~v=b d est la valeur absolue du déterminant a b c d doncA=jadbcj. Ici on trouveA=abs2 1 3 4 = +5 où abs désigne la fonction valeur absolue. 2.Le v olumedu parallélépipède construit sur trois v ecteursde R3est la valeur absolue du déterminant de
la matrice formée des trois vecteurs. Ici V=abs 1 0 1 2 1 1 0 3 1 =abs +11 1 3 1 +12 1 0 3 =4 où l"on a développé par rapport à la première ligne. 3.Si un parallélépipède est construit sur trois v ecteursde R3dont les coefficients sont des entiers alors le
volume correspond au déterminant d"une matrice à coefficients entiers. C"est donc un entier.Correction del"exer cice3 N1.P arla règle de Sarrus :
D 1= a b c c a b b c a =a3+b3+c33abc: 52.On dév eloppepar rapport à la seconde ligne qui ne contient qu"un coef ficientnon nul et on calcule le
déterminant 33 par la règle de Sarrus : D 2=1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 1
2 3 1 1
= +1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 =1: 3. D 3=L11 1 1 1L
211 1 1L
31 11 1L
41 1 11=1 1 1 1L
2 L2+L10 0 2 2
L3 L3+L10 2 0 2
L4 L4+L10 2 2 0
On développe par rapport à la première colonne : D3= (1)0 2 2
2 0 22 2 0=16
4.Le déterminant est liné airepar rapport à chacune de ses lignes et aussi chacune de ses colonnes. P ar
exemple les coefficients de la première ligne sont tous des multiples de 5 donc D 4=10 05 15
2 7 3 0
8 14 0 2
021 11
=52 01 3
2 7 3 0
8 14 0 2
021 11
On fait la même chose avec la troisième ligne : D 4=522 01 3
2 7 3 0
4 7 0 1
021 11
Et enfin les coefficients la première colonne sont des multiples de 2 et ceux de la troisième colonne sont
des multiples de 7 donc : D 4=522