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G´EOM´ETRIES MOD`ELES DE DIMENSION TROIS

YVES DE CORNULIER

R

´ESUM´E. On expose une preuve d´etaill´ee de la classification par Thurston des huit g´eom´etries

mod `eles de dimension trois. ABSTRACT. In this expository article, we give a detailed proof of the classification byThurston of the eight model geometries in dimension three.

Le but de cette r

´edaction est de donner une preuve de la classification des g´eom´etries mod

`eles de Thurston de dimension 3. Ces g´eom´etries on´et´e introduites par ce dernier pour

enoncer la conjecture de g´eom´etrisation, qui classifie, en un certain sens, les vari´et´es de com-

pactes de dimension trois; cette conjecture, partiellement prouv´ee par Thurston lui-mˆeme

[11, 12] (voir aussi Scott [10]), englobe en particulier la conjecture de Poincar´e (toute vari´et´e

compacte simplement connexe de dimension trois est hom

´eomorphe`a la sph`ere) et a´et´e

r ´ecemment prouv´ee par Perelman dans quelques courtes notes non publi´ees [7, 8, 9]. Pour les d

´eveloppements r´ecents, le lecteur est renvoy´e au survols de Morgan [6] et Bessi`eres [1],

aux notes d ´etaill´ees de Kleiner-Lott [4] et`a l"ouvrage en pr´eparation [2].

Thurston introduit la notion de g

´eom´etrie mod`ele; ce sont des espaces riemanniens ho- mog `enes, avec certaines conditions suppl´ementaires rappel´ees plus bas; il classifie ces der- ni `eres, en dimension trois, dans son ouvrage [13]. Nous donnons ici une exposition d´etaill´ee de cette classification. L"approche propos ´ee ici, fortement inspir´ee de [13], utilise essentielle- ment des r ´esultats simples sur les groupes de Lie de petite dimension,et ne requiert pas plus de technicit ´e que les r´esultats fondamentaux sur la correspondance groupes-alg`ebres de Lie.

On a pris un soin tr

`es particulier`a prouver, dans chaque cas, l"axiome de (c) de maximalit´e (tous les d ´etails ne sont pas d´evelopp´es dans la d´emonstration donn´ee dans [13]).

TABLE DES MATI`ERES

1. G

´eom´etries mod`eles1

2. Exemples fondamentaux3

3.´Etude de la dimension 34

4. Appendice9

4.1. Alg

`ebres de Lie unimodulaires de dimension 3 et leurs sous-groupes compacts maximaux d"automorphismes9

4.2. Quelques r

´esultats de plongements11

4.3. Extensions centrales des groupes d"isom

´etries des surfaces 12

4.4. Construction de r

´eseaux cocompacts14

4.5. Structures de groupe sur les g

´eom´etries mod`eles de Thurston 14

4.6. Petit tableau r

´ecapitulatif16

R

´ef´erences16

1. G

´EOM´ETRIES MOD`ELES

SiXest une vari´et´e diff´erentielle, on note Diff(X)le groupe des diff´eomorphismes deX,

muni de la topologie compacte-ouverte (pour qui la convergence est la convergence uniforme sur les compacts), qui en fait un groupe topologique.

Date: 31 janvier 2010.

1

2YVES DE CORNULIER

D

´efinition 1.1.Une g´eom´etrie mod`ele est un couple(G,X),X´etant une vari´et´e diff´erentielle

etGun groupe de diff´eomorphismes deX, v´erifiant les hypoth`eses (a) et (b) suivantes : (a)Xest simplement connexe. (b) L"action deGsurXest transitive,`a stabilisateurs compacts.

Commenc¸ons par observer les cons

´equences suivantes :

- Si(G,X)est une g´eom´etrie mod`ele, alors il existe surX, grˆace`a (b), une m´etrique riemannienneμinvariante parG. Une telle m´etrique est forc´ement compl`ete, carG agit transitivement. Mais elle n"est pas toujours unique `a multiple scalaire pr`es : elle l"est si et seulement si le stabilisateurGxd"un pointx(et donc de tout point) agit irr

´eductiblement sur l"espace tangentTxX.

- Si(G,X)est une g´eom´etrie mod`ele, alorsGest un groupe de Lie. En effet, le stabilisateur Kd"un pointp?Xest compact, et s"envoie dans O(TpX); l"image de cette application est un groupe de Lie (car tout sous-groupe ferm

´e d"un groupe de Lie est de Lie). De

plus, l"action deKsur un petit voisinage depest conjugu´ee`a l"action deKsurTpX par l"exponentielle enp. Cela montre en particulier que l"ensembleXφdes points fixes deφ?Kest une sous-vari´et´e ferm´ee deX. Par connexit´e deX, siφ?= 1alorsXφest d"int ´erieur vide, et en particulier enp. Cela montre que l"action deKsurTpXest fid`ele, si bien queKest un groupe de Lie. De plus,G/Ks"identifie`aXdonc est aussi une vari ´et´e. Donc, comme la projectionG→G/Kest un fibr´e de baseXet de fibreK, et que

KetXsont des vari´et´es,Gposs`ede une unique structure de vari´et´e qui fait de ce fibr´e

un fibr

´e diff´erentiable.

- SoitG0la composante neutre deG. AlorsG0agit transitivement surX, et les stabi- lisateurs deG0sont connexes. En effet, les orbites deG0sont ouvertes (carG0est ouvert dansG, et ce carGest un groupe de Lie), doncG0agit transitivement par connexit ´e deX. Ensuite, pourx?X, l"inclusion(Gx)0?(G0)xinduit un revˆetement G

0/(Gx)0→G0/(G0)x=X, trivial par simple connexit´e deX.

On d ´efinit une vari´et´e model´ee sur(G,X)comme un quotient deXpar un sous-groupe

discret deGagissant librement surX. Une vari´et´e model´ee surXh´erite de toute m´etrique

riemannienne invariante surX. D

´efinition 1.2.On dira qu"une g´eom´etrie mod`ele(G,X)est de Thurston si elle v´erifie les

axiomes suppl

´ementaires (c) et (d) suivants :

(c)Gest maximal parmi les groupes de diff´eomorphismes deXagissant avec stabilisateurs compacts. (d) Il existe une vari

´et´e compacte model´ee sur(G,X).

- Si(G,X)est une g´eom´etrie mod`ele v´erifiant l"axiome (c), et siμest une m´etrique rie-

mannienne invariante parG, alorsG=Isom(X,μ). En effet, on sait queG?Isom(X,μ); or le groupe de isom ´etries d"une vari´et´e riemannienne connexe agit toujours avec sta- bilisateurs compacts, donc par maximalit ´e deGl"inclusion ci-dessus est une´egalit´e.

Ceci permet de voir que l"axiome (c) est

´equivalent au suivant : pour toute m´etrique

μ G-invariante surX,G=Isom(X,μ).

- Si(G,X)est une g´eom´etrie mod`ele v´erifiant l"axiome (d), alorsGest un groupe de Lie unimodulaire. En effet, il existe une vari ´et´e compacteM= Γ\Gmodel´ee sur(G,X). Si, par choix d"un point-base on ´ecritX=G/K, on aM= Γ\G/Kpour un certain sous- groupe discretΓdeG. Alors, commeKest compact,Γ\Gest´egalement compact, i.e.Γ est un r ´eseau cocompact deG, ce qui impose`aGd"ˆetre unimodulaire (car il poss`ede un r

´eseau). La r´eciproque n"´etant pas vraie en g´en´eral, on devra par la suite prouver au cas

par cas l"existence d"un r ´eseau dans les groupes que nous aurons`a´etudier. Plan.La partie 2 parle des espaces`a courbure sectionnelle constante, ce qui permet de d

´ecrire les g´ometries mod`eles en dimension deux. La partie 3 d´ecrit les g´eometries en di-

mension trois, et contient le coeur de la preuve, en suivant pour l"essentiel la d´emarche g

´ometrique de Thurston [13]; elle se r´ef`ere pour certains points techniques`a l"appendice qui

contient des r ´esultats´elementaires sur les groupes de Lie de petite dimension, n´ecessaires`a

G´EOM´ETRIES MOD`ELES DE DIMENSION TROIS3

la compl ´etude de la preuve, ainsi que quelques r´esultats auxiliaires. Il peut pour l"essentiel etre lu ind´ependamment des parties qui le pr´ecedent.

2. EXEMPLES FONDAMENTAUX

Des exemples classiques et fondamentaux de g

´eom´etries mod`eles sont donn´ees par les espaces `a courbure constante : l"espace euclidienEn(n≥1)`a courbure nulle, la sph`ereSn(n≥

2)`a courbure constante positive, et l"espace hyperboliqueHn(n≥2)`a courbure constante

n ´egative. La m´etrique invariante est dans ces cas-l`a unique`a multiple scalaire pr`es, et le groupe des isom ´etries ne d´epend donc pas de ce choix, il s"agit respectivement deE(n), O(n+1), et PO(n,1)(ce dernier´etant isomorphe`a PGL(2,R)sin= 2), si bien que l"axiome (c) est v

´erifi´e.

Pour ces g

´eom´etries mod`eles, l"axiome (d) est aussi respect´e et ce sont donc des g´eom´etries

de Thurston : c"est trivial dans le cas de la sph `ere puisqu"elle est elle-mˆeme compacte, et facile dans le cas de l"espace euclidien (prendre un tore). Reste`a voir le cas hyperbolique bien connu. Il est tr `es facile de “bricoler" des exemples en dimension 2 (en recollant quelques triangles hyperboliques), mais c"est plus difficile en dimension sup´erieure. L"argument le plus exp

´editif est d"utiliser l"argument g´en´eral d"existence, dˆu en toute g´en´eralit´e`a A. Borel [3],

d"un r ´eseau cocompact sans torsion dans tout groupe de Lie semi-simple (ici PO(n,1), pour n≥2). Donnons quand mˆeme un exemple explicite de vari´et´e compacte en dimension en dimension 3 : l"espace dod ´eca´edral de Seifert-Weber (voir [13, page 36] pour plus de d´etails).

Pour l"obtenir, on consid

´ere, dans l"espace hyperbolique orient´e de dimension 3, un dod´eca`edre r

´egulier d"angles di`edres2π/5(cela existe bien). On identifie deux faces oppos´ees de la fac¸on

suivante : on prend une faceF, on consid`ere l"axe partant du centre de cette face jusqu"au centre de la face oppos ´eeF?, et on translateFsuivant cet axe jusqu"`aF?, et on la tourne de

3π/5(dans le sens positif d´etermin´e par l"orientation), l"identifiant ainsi`a la face oppos´ee. On

v ´erifie que ce recollement d´efinit bien une structure de vari´et´e hyperbolique. Le th ´eor`eme qui suit dit que les espaces`a courbure constante sont les seules g´eom´etries mod `eles en dimension 1 et 2. Th

´eor`eme 2.1(G´eom´etries mod`eles de dimension 1 et 2).La seule g´eom´etrie mod`ele de di-

mension 1 estE1? E(1)/O(1). Les g´eom´etries mod`eles de Thurston de dimension 2 sont leplan euclidienE2? E(2)/O(2), la sph`ereS2?O(3)/O(2), et le plan hyperboliqueH2=PGL(2,R)/PO(2). Remarque2.2.La preuve qui suit montre que le r´esultat de ce th´eor`eme est valable sans utiliser l"axiome (d).

Elle montre

´egalement que c"est encore le cas si on remplace l"axiome (c)par sa forme faible suivante : la composante neutreG0est maximal parmi les groupes connexes de diff´eomorphismes agissant surX(donc, ici, siG0est dimension 3), les mˆemes arguments montrent qu"on obtient forc ´ement comme espace l"un de ces trois, avec, comme groupe agissant, soit tout le groupe des isom ´etries, soit le groupe des isom´etries directes. Preuve: On fixe une m´etrique invariante. Pour le cas de dimension 1, on sait que toutes les m

´etriques compl`etes surRsont isom´etriques. Pour la dimension deux, par homog´en´eit´e, la

courbure est constante. Or il est bien connu qu"une vari

´et´e riemannienne compl`ete simple-

ment connexe `a courbure constante est,`a multiplication de la m´etrique par un scalaire pr`es, la sph `ere euclidienne (courbure 1), l"espace euclidien (courbure 0), ou l"espace hyperbolique (courbure -1). Dans tous les cas, l"axiome (c) impliqueG=Isom(X).? Ce r ´esultat ne tient plus en dimension≥3: on a par exemple les g´eom´etries produits S

2×E1etH2×E1: la m´etrique invariante est unique`a deux scalaires pr`es : on peut la

multiplier sur chaque facteur, ce qui ne change pas le groupedes isom´etries, qui est le produit des groupes des isom ´etries de chaque facteur (cette remarque ne tient pas pourE2×E1), si bien que l"axiome (c) est v ´erifi´e (et l"axiome (d) l"est clairement, en prenant le produit d"une sph `ere ou d"une surface hyperbolique compacte avec un cercle).

Nous allons d

´ecrire un proc´ed´e qui permet de construire certaines g´eom´etries mod`eles de

Thurston moins triviales.

4YVES DE CORNULIER

SoitGun groupe de Lie unimodulaire simplement connexe. On pourrait esp´erer obtenir quelquechose d"int ´eressant avec les g´eom´etries mod`eles(G,X=G)pour l"action par multi- plication `a gauche, mais il y a bien peu de chances que l"axiome (c) soit v´erifi´e. Mais faisons la chose suivante : soitKun groupe compact d"automorphismes du groupeG. NotonsG?l"en- semble des translations `a gauche surG(G?s"identifie`aG). Consid´erons le sous-groupeG?de Diff(G)engendr´e parG?etK. Si on noteLgla multiplication`a gauche parg?G, on a la relation?◦Lg◦?-1=L?(g)pour tout??Aut(G)etg?G. Ceci montre queG?s"identifie naturellement au produit semi-directG?K. L"action deG?surGest transitive (carG??G?) et `a stabilisateurs compacts (car le stabilisateur de1?GestK).

Pour que l"axiome (c) soit v

´erifi´e, il faut queKsoit un sous-groupe compact maximal de Aut(G). Or, un r´esultat g´en´eral, dit que, pour tout groupe de LieGayant un nombre fini de compasantes connexes, Aut(G)poss`ede un sous-groupe compact maximalK, et que tout sous-groupe compact de Aut(G)est conjugu´e`a un sous-groupe deK[5]. Mais on le v´erifiera explicitement pour chacun des cas dont on aura besoin par la suite, i.e. pour tous les groupes unimodulaires simplement connexes de dimension 3 (appendice 4.1). Pour chaqueG, on fixe donc un groupe compact maximal d"automorphismes et on se demande si (c) est v´erifi´e. Ce ne sera pas toujours vrai, si bien qu"il faudra raisonner au caspar cas. 3.

´ETUDE DE LA DIMENSION3

Il est remarquable que les m

´ethodes d´ecrites ci-dessus permettent de produiretoutesles g

´eom´etries mod`eles de dimension 3.

Il existe,

`a isomorphisme pr`es, 6 groupes de Lie unimodulaires simplement connexes de dimension 3 (voir l"appendice, th ´eor`eme 4.2) : SU(2),?E+(2),R3,?SL(2,R), NIL, et SOL. Commenc¸ons par quelques observations utiles. Pour une g

´eom´etrie mod`ele(G,X)de di-

mension 3, le stabilisateur d"un point est isomorphe `a un sous-groupe ferm´e de O(3). En par- ticulier, sa composante neutre est soit tout SO(3), soit triviale, soit l"ensemble des rotations autour d"un axe. Dans le premier cas, i.e. si le stabilisateur d"un point est de dimension 3, il agit transitive- ment sur les 2-plans tangents en ce point, et doncGagit transitivement sur tous les 2-plans deTX. Si on choisit une m´etrique riemannienne invariante, sa courbure sectionnelle est donc constante, et on a donc affaire `aE3,S3, ouH3et`a son groupe d"isom´etries.

Maintenant v

´erifions si(G??K,G)v´erifie l"axiome (c), pour chacun des groupesGsimple- ment connexes unimodulaires de dimension 3. -G=SU(2). AlorsK=Aut(G) =SO(3). En particulier, les stabilisateurs sont de dimen- sion 3, donc la g ´eom´etrie est`a courbure constante, et Isom(G) =O(3)quel que soit le choix de la m ´etrique(G?K)-invariante surG. Donc (c) n"est pas v´erifi´e, sinon on aurait G?K=Isom(G), maisG?Kest connexe (c"est en fait la composante neutre SO(3)de

Isom(G) =O(3)).

-G=?E+(2). Alors Aut(G) =Aut(e(2)) =E(2), et un sous-groupe compact maximal deE(2) est le stabilisateurKde l"origine deE2. Pour comprendre`a quoi ressemble(G?K,G), consid ´erons un sous-groupe`a un param`etreVdeE(3)donn´e par un vissage sur un axe vertical, et consid ´erons le sous-groupe deE(3)engendr´e parVet les translations horizontales. Il est isomorphe `aG=?E+(2), et agit simplement transitivement surE3. On voit alorsKcomme le groupe des isom´etries qui fixent l"axe vertical point par point (les rotations autour de cet axe et les reflexions sur un plan contenant cet axe), et donc l"action deG?KsurGs"identifie`a l"action surE3de toutes les isom´etries qui respectent les droites verticales orient ´ees. En particulier, l"axiome (c) n"est pas v´erifi´e. -G=R3. Alors Aut(G) =GL(3,R), et un sous-groupe compact maximal est donn´e par K=O(3). AlorsG?K=Isom(R3) =E(3)quel que soit le choix de la m´etrique rieman- nienne invariante, et donc l"axiome (c) est v

´erifi´e.

Pour les trois cas restants, on aura besoin des deux lemmes suivants. Dans le groupeG,Lg (g?G) d´esigne la translationh?→gh.

G´EOM´ETRIES MOD`ELES DE DIMENSION TROIS5

Lemme 3.1.SoitGun groupe, etNle normalisateur deG?dans l"ensembleS(G)des permu- tations deG. AlorsNest le produit semi-directG??N1, etN1=Aut(G). Pour tousu?Aut(G), g?G, on auLgu-1=Lu(g). Le mˆeme r´esultat vaut siGest un groupe topologique, en rempla¸cantS(G)par le groupe des hom´eomorphismes deG, etAut(G)d´esignant alors l"ensemble des automorphismes du groupe topologiqueG. Preuve: PuisqueG?agit simplement transitivement surGet est distingu´e dansN, on a N=G??N1. Siu?N1, on´ecrituLgu-1=Lh. En´evaluant en 1, on obtientu(g) =h, puis en evaluant eng??G, on obtientu(gg?) =u(g)u(g?). Le cas topologique est obtenu de la mˆeme fac¸on.? Lemme 3.2.SoitGun groupe de Lie connexe, etKun sous-groupe compact maximal de Aut(G). On suppose queG?est un sous-groupe caract´eristique deG??K. AlorsG??Kest maximal parmi les groupes de diff´eomorphismes agissant avec stabilisateurs de la mˆeme di- mension queK. Preuve: SoitH?G?=G??Kun groupe agissant avec stabilisateurs compacts surG. Alors, commedim(G?) = dim(H),G?est ouvert dansHetH0=G?0. Donc, commeG?est caract ´eristique dansG?0qui est distingu´e dansH, il est distingu´e dansH. Donc, par le lemme

3.1,H1est un sous-groupe de Aut(G), or il contientKet est compact, et donc, par maximalit´e

deK,H1=K. CommeHest engendr´e parH1etG?, cela prouve bien queH?G??K.?

Revenons

`aGparmi les groupes?SL(2,R), NIL, et SOL,Kun sous-groupe compact maximal d"automorphismes deG. SoitH?G?=G?Kun groupe agissant avec stabilisateurs compacts surG. AlorsHagit avec stabilisateurs de dimensiond, avecd? {0,1,3}etd≥dim(K). Le cas d= 3est exclu dans les trois cas : en effet, par la proposition 4.4,G?ne se plonge pas dans le groupe des isom ´etries d"un espace de dimension 3`a courbure constante. Le lemme 3.2 permet de ramener le casd= dim(K)`a montrer que, dans les trois cas,G?est caract´eristique dans G ??K. Apr`es cela, il ne restera plus qu"`a´etudier le casG=SOL etd= 1. -G=?SL(2,R)ou NIL. Il faut montrer queGest caract´eristique dansG?K. C"est v´erifi´e, car dans les deux cas, l"alg `ebre de Lie deGest engendr´ee par l"alg`ebre de Lie d´eriv´ee deG?K. Dans le cas deG=?SL(2,R), il suffit de remarquer que l"alg`ebre de Lie de Gest un facteur direct de l"alg`ebre de Lie deG?K, le facteur direct engendrant le centralisateur deGdansG?K. Dans le cas de NIL, l"alg`ebre de Lie deG?Kposs`ede une base(K,X,Y,Z), avecZcentral et[K,X] =Y,[K,Y] =-X,[X,Y] =Z. -G=SOL. Cette fois, il est clair queGest caract´eristique dansG?K, puisque c"est sa composante neutre. Il reste donc `a envisager l"existence d"un groupeH?G?=G?K agissant avec stabilisateurs compacts de dimension 1 ou 3 surG. SiHagit avec stabilisateurs de dimension 1 (i.e.dim(H) = 4), la proposition 4.5 prouve queHest alors localement isomorphe`a SOL×R. Comme le centre de ce dernier est {1} ×R, on en d´eduit que la composante neutre deHest isomorphe`a SOL×Rou SOL×R/Z. Le premier de contient aucun sous-groupe compact non trivial donc est exclu, le second aussi car son unique sous-groupe compact maximal est central. SiHagit avec stabilisateurs de dimension 3, c"est le groupe desisom´etries (ou sa composante neutre) d"une des trois g ´eom´etries de dimension trois`a courbure constante. La proposition 4.4 permet d"exclure cette possibilit

´e.

Th ´eor`eme 3.3(Classification en dimension 3).`A isomorphisme pr`es, il y a huit g´eom´etries mod`eles de Thurston(G,X)de dimension 3. •Si les stabilisateurs sont de dimension 3,Xest l"espace euclidienE3, la sph`ere euclidienne S

3, ou l"espace hyperboliqueH3;Gest son groupe des isom´etries, soitE(3),O(4), ouPO(3,1).

•Si les stabilisateurs sont de dimension 1, alors il y a un fibr´e naturel deXsur une

g´eom´etrie mod`ele de dimension 2. Alors,Xest soit un produitS2×E1ouH2×E1, soit la “Nil-

g´eom´etrie"(NIL?O(2),NIL)(qui fibre surE2), soit la g´eom´etrie(?SL(2,R)?O(2),?SL(2,R)) (qui fibre surH2).

6YVES DE CORNULIER

•Si les stabilisateurs sont finis, la seule g´eom´etrie possible est la “Sol-g´eom´etrie"(SOL?

D

4,SOL), qui fibre naturellement surE1.

On va montrer en fait le r

´esultat ci-dessous un peu plus fort :

Th ´eor`eme 3.4.Soit(G,X)une g´eom´etrie mod`ele de dimension 3. •Si les stabilisateurs sont de dimension 3, alorsXest un des trois espaces `a courbure

constante, etGest soitIsom(X), soitIsom+(X), l"axiome (d) est v´erifi´e, et (c) est v´erifi´e dans le

premier cas.

•Si les stabilisateurs sont de dimension 1 ou 0 et si la g´eom´etrie est de Thurston, alors on

obtient une des 5 g´eom´etries cit´ees dans le th´eor`eme pr´ec´edent.

•Si l"axiome (d) est v´erifi´e, alors il existe un groupeG?de diff´eomophismes deXcontenant

Gtel que(G?,X)est une g´eom´etrie mod`ele v´erifiant l"axiome (c).

Preuve:

•Le cas o`u les stabilisateurs sont de dimension 3 a d´ej`a´et´e mentionn´e; on obtient une

g

´eom´etrie`a courbure constante. Dans les trois cas, le groupe des isom´etries ne d´epend pas du

choix de la m

´etrique, et a 2 composantes connexes.

•Consid´erons une g´eom´etrie mod`ele(G,X)ayant des stabilisateurs de dimension 1, et v´erifiant

l"axiome (d).

Pour tout pointxdeX,G0

xagit sur l"espace tangentTxXpar rotations autour d"un axeDx. Le champ de droitesDxest canonique, invariant parGen particulier. Par simple connexit´e deX, il est orientable. En faisant le choix d"une orientation, on d´efinit un champ de vecteurs unitairesV,VxengendrantDxpour toutx. AlorsVest invariant parG0. Il d´efinit un flot(φt) qui commute donc `a l"action deG0. On va montrer que le flot(φt)agit par isom´etries, ce qui utilisera l"axiome (d). Appelons “feuilles" les trajectoires de ce flot. Soitx?Xetr?G0 x. Alorsr◦φt(x) =φt◦r(x) = t(x), et doncrfixe point par point la feuille qui le contient. Ainsi, tous les points d"une mˆeme feuille ont le m

ˆeme stabilisateur.

Montrons que les feuilles sont des sous-vari

´et´es ferm´ees deX. Pourx?X, on noteFxla feuille contenantx. CommeG0 xest compact, son action au voisinage dexest conjugu´ee`a son action surTxX. Donc pour toutx?X, il existe un voisinageCxdex, un diff´eomorphismeux dexvers un cylindre standard (le produit cart´esien d"un disque euclidien et d"un segment), envoyant l"action deG0 xvers l"action de SO(2)par rotation isom´etrique deC, et envoyantx vers le centre deC.

Si on fixe une m

´etriqueG-invariante surX, on peut d´efinirCx0pour unx0?Xet d´efinir C xcommeg.Cx0pourg?Genvoyantx0surx(Cxne d´epend pas du choix deg). SoitAl"axe deC, etAx=u-1x(A). Alors, pour toutx, montrons queFx∩Cx=Ax. D"abord, l"inclusionFx∩Cx?Axest´evidente. R´eciproquement, siy?Fx∩Cx, alorsG0 x(y)?Fx. Mais cela veut dire queux(Fx)contient alors l"orbite par SO(2)deux(y), qui est un cercle, i.e.Fx contient un cercle ne contenant pasx, ce qui est contradictoire (rappelons queFxest l"image d"une immersion injective deRouR/Z).

Cela implique d

´ej`a que les feuilles sont des sous-vari´et´es localement ferm´ees. Supposons par l"absurde qu"il existe une feuille non ferm

´eeF. Alors il existe une autre

feuilleF?, telle que F∩F?est non vide. Soitx?Fety?F∩F?. AlorsG0 xfixeFpointquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25