▷ Soit A = [ a b b c ] une matrice symétrique de taille 2 × 2 A est définie positive si ses valeurs propres sont strictement positives Les valeurs propres de A sont
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] 12 Matrices symétriques et matrices définies positives - GERAD
▷ Soit A = [ a b b c ] une matrice symétrique de taille 2 × 2 A est définie positive si ses valeurs propres sont strictement positives Les valeurs propres de A sont
[PDF] I - Caractérisation des matrices symétriques définies positives
1) Soient n ∈ N∗ et A ∈ Sn(R) On sait que toutes les valeurs propres de A sont réelles • Supposons que A soit positive Soit λ ∈ R une valeur propre de A
[PDF] Diagonalisation de matrices particulières
Valeurs propres de matrices symétriques réelles, de matuces 3 Matrices semi définies positives, définies positives: définitions, valeurs propres Dans les
[PDF] Exercices du chapitre 5 avec corrigé succinct - UTC - Moodle
Une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice A symétrique soit semi -définie positive est que toutes ses valeurs propres soient positives ou nulles
[PDF] MT23-Algèbre linéaire - UTC - Moodle
La propriété 1 provient du fait que le produit scalaire est défini positif Si A est une matrice symétrique réelle, si λ1 et λ2 sont 2 valeurs propres réelles
[PDF] 1 Matrices symétriques définies positives et leur inversion - LaBRI
Lemme 1 8 Si une matrice A est non dégénérée, alors la matrice B = AT A est symétrique (voir l'exercice 1 4) et définie positive Preuve On a xT Bx = xT (AT A) x = (
[PDF] Feuilles de travaux dirigés - Ceremade - Université Paris Dauphine
A2 = √ρ(tAA), où ρ(A) est la valeur absolue de la plus grande valeur propre de A (encore On suppose que A est une matrice symétrique définie positive
[PDF] une matrice symétrique réelle définie positive dordre n
Soit S = (ai,j) une matrice symétrique réelle définie positive d'ordre n (i) Pour tout son déterminant est le produit de ses valeurs propres et sa trace, la somme
[PDF] matrice unitaire
[PDF] matrices and determinants class 12 pdf
[PDF] matrices and determinants pdf engineering mathematics
[PDF] matrices and determinants worksheets pdf
[PDF] matrices calculator rref
[PDF] matrices simultaneous equations worksheet
[PDF] matrices word problems with solutions pdf
[PDF] matrics consensus cognitive battery
[PDF] matrix bijective mapping
[PDF] matrix bipartite graph r
[PDF] matrix generator
[PDF] matrix injective
[PDF] matrix inverse 2x2 calculator
[PDF] matrix inverse method
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives
12. Matrices sym´etriques et matrices
d´eifinies positivesSections 6.4 et 6.5
MTH1007
J. Gu´erin, N. Lahrichi, S. Le Digabel
Polytechnique Montr´eal
H2023 (v3)MTH1007: alg`ebre lin´eaire1/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives Plan1. Matrices sym´etriques
2. Matrices d´eifinies positives
MTH1007: alg`ebre lin´eaire2/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives1. Matrices sym´etriques
2. Matrices d´eifinies positives
MTH1007: alg`ebre lin´eaire3/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesValeurs et vecteurs propres
SiAest une matrice sym´etrique alors ses valeurs propres sont r´eelles Les vecteurs propres d'une matrice sym´etrique qui correspondent `a des valeurs propres distinctes sont orthogonaux(preuve : exercice de TD 6.4.18) On peut donc choisir les vecteurs propres comme ´etant orthonormauxMTH1007: alg`ebre lin´eaire4/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesVecteurs propres d'une matrice sym´etrique 2x2
Avec A=a b b c et ses deux valeurs propresλ1etλ2, on a les deux vecteurs propres x 1=b 1-a et x2=λ2-c
bMTH1007: alg`ebre lin´eaire5/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesValeurs propres et pivots
Les valeurs propres d'une matrice sont tr`es difff´erentes des pivotsLe seul lien est :
d´eterminant = produit des pivots = produit des valeurs propres Pour les matrices sym´etriques, les pivots et les valeurs propres ont le mˆeme signeMTH1007: alg`ebre lin´eaire6/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesDiagonalisation
SiA∈Rn×nest sym´etrique, elle est toujours diagonalisable sous la formeA=SΛS-1avecS,Λ∈Rn×n Λest la matrice diagonale des valeurs propres (r´eelles) La matrice des vecteurs propresScontient des vecteurs orthonormaux : C'est une matrice orthogonale que l'on noteraQaifin d'avoir
(c'est le th ´eor`emesp ectralMTH1007: alg`ebre lin´eaire7/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesTh´eor`eme spectral
Une matriceAest sym´etrique si et seulement si elle peut ˆetre factoris´ee sous la forme o`uQest orthogonale etΛest la matrice diagonale des valeurs propresMTH1007: alg`ebre lin´eaire8/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesExemple 1
Illustrer le th´eor`eme spectral avec
A=1 2 2 4MTH1007: alg`ebre lin´eaire9/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives D´ecomposition en somme de matrices de projectionAvecA∈Rn×nsym´etrique, on a
q1q2...qn 1 2... n q q =λ1P1+λ2P2+...+λnPn vecteur propreqi,i∈ {1,2,...,n}MTH1007: alg`ebre lin´eaire10/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesExemple 2
Illustrer la d´ecomposition en somme de matrices de projection avec A=1 2 2 5MTH1007: alg`ebre lin´eaire11/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives1. Matrices sym´etriques
2. Matrices d´eifinies positives
MTH1007: alg`ebre lin´eaire12/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesD´eifinitions
Une matricesym´etriqueAestd´eifinie positive(not´eA≻0) si toutes ses valeurs propres sont strictement positivesUne matrice sym´etrique peut ˆetre :
D´eifinie positive :A≻0
Semi-d´eifinie positive :A⪰0
D´eifinie n´egative :A≺0
Semi-d´eifinie n´egative :A⪯0
Non-d´eifinieMTH1007: alg`ebre lin´eaire13/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives Valeurs propres pour une matrice sym´etrique 2x2SoitA=a b
b c une matrice sym´etrique de taille2×2 Aest d´eifinie positive si ses valeurs propres sont strictement positives Les valeurs propres deAsont strictement positives :1.si et seulement sia >0etac-b2>0
2.si et seulement si les pivots sont positifs :a >0etac-b2a
>0 Sinon, sia <0et|A|=ac-b2>0,Aestd´eifinie n´egative (not´eA≺0) SinonApeut encore ˆetresemi-d´eifinie positive,semi-d´eifinie n´egative, et sinonnon-d´eifinie(ouind´eifinie)MTH1007: alg`ebre lin´eaire14/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesL'´energie d'une matrice
non nulx: x b c x y =ax2+ 2bxy+cy2>0 nul. C'est l'´energiedeA(enx) SiAest (sym´etrique) d´eifinie positive, alors l'´equation x repr´esente une ellipse dont les axes pointent dans la direction des vecteurs propres et dont les longueurs sont2MTH1007: alg`ebre lin´eaire15/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesExemple 3
Quel est le signe des matrices suivantes?
A 1=1 2 2 1 A 2=1-2 -2 6 A3=-1 2
2-6 A4=-1-5
1 4MTH1007: alg`ebre lin´eaire16/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesRemarques
SiAetBsont sym´etriques d´eifinies positives, alorsA+B l'est aussi Toute matrice carr´ee sym´etriquen×npeut se d´ecomposer en colonnes deRsont ind´ependantes D´ecomposition de Cholesky :SiAest sym´etrique et d´eifinie positive, alors elle peut se d´ecomposer en avecLtriangulaire inf´erieureMTH1007: alg`ebre lin´eaire17/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesSous-matrices principales
Lesnsous-matrices principalesdeA= [aij]∈Rn×nsont A1= [a11]
A2=a11a12
a 21a22A