Valeurs propres de matrices symétriques réelles, de matuces 3 Matrices semi définies positives, définies positives: définitions, valeurs propres Dans les
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▷ Soit A = [ a b b c ] une matrice symétrique de taille 2 × 2 A est définie positive si ses valeurs propres sont strictement positives Les valeurs propres de A sont
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1) Soient n ∈ N∗ et A ∈ Sn(R) On sait que toutes les valeurs propres de A sont réelles • Supposons que A soit positive Soit λ ∈ R une valeur propre de A
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Une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice A symétrique soit semi -définie positive est que toutes ses valeurs propres soient positives ou nulles
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La propriété 1 provient du fait que le produit scalaire est défini positif Si A est une matrice symétrique réelle, si λ1 et λ2 sont 2 valeurs propres réelles
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Lemme 1 8 Si une matrice A est non dégénérée, alors la matrice B = AT A est symétrique (voir l'exercice 1 4) et définie positive Preuve On a xT Bx = xT (AT A) x = (
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A2 = √ρ(tAA), où ρ(A) est la valeur absolue de la plus grande valeur propre de A (encore On suppose que A est une matrice symétrique définie positive
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Soit S = (ai,j) une matrice symétrique réelle définie positive d'ordre n (i) Pour tout son déterminant est le produit de ses valeurs propres et sa trace, la somme
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