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de la multiplication et de la division : multiplier, c'est la méthode de Singapour la plus difficile à apprendre pour les jeunes élèves, parce qu'elle est celle qui leur est plus facile de mémoriser des faits et des notions que l'on comprend

[PDF] Unité 5 : La multiplication et la division - La Librairie des Ecoles

Si les techniques opératoires posées sont des méthodes de calcul intelligentes l'erreur est un outil pour apprendre Difficultés opératoires pour la multiplication et la division, connus sous le nom de est parfois plus facile de diviser par

[PDF] La division - classeelementaire

La division peut avoir deux sens : celui de partage et celui de groupement Il est importante pour la recherche du nombre de chiffres du quotient et des approches successives du quotient Des étapes avant d'apprendre la technique opératoire Cette méthode nécessite la maîtrise de la multiplication par 10, 100, 1000

[PDF] Alpha-maths : Multiplication et division

Alpha-Maths se veut un point de départ pour une démarche mathématique en alphabétisation facteurs de la multiplication avant d'effectuer cette opération ( voir : la méthode pour arrondir utile pour multiplier mentalement plus facilement

[PDF] Comment aborder la division au cycle 3 - École élémentaire d

et bien souvent la division était citée, notamment pour le CM1 Lors des réunions Il est important qu'au cycle 3 les élèves construisent une méthode manière d' apprendre, que ce soit au niveau de leur mémoire, de l'image mentale qu'ils font facilement maîtrisable pour constituer un défi et provoquer un apprentissage

[PDF] Chapitre n°7 : « Division »

Pour vérifier notre division, on multiplie le diviseur par le quotient puis on Un nombre d divise un nombre D si le reste dans la division euclidienne de D par d Méthode Pour diviser un nombre décimal par 10 , 100 , 1000 on décale la Apprendre le cours et refaire des exercices pour préparer le contrôle d'une heure 

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2 2 5 Des outils à connaître pour aborder la division 3 1 1 Méthode “ Mathématiques ” 7e Harmos et types de problèmes 25 nécessaire que l'élève soit à l'aise avec ces opérations pour apprendre la division et en facilement lors d'une opération aussi complexe qu'une division utilisée dans la résolution

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Fiche méthode pour apprendre à poser une division On veut poser la division suivante 125 : 6 Etape 1 : Recherche du nombre de chiffres du quotient

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Jérôme BastongE

cole Marcel Pagnol1 avenue de la Commune de ParisL es Clayes-sous-BoisA nnée scolaire 2008-2009M

émoire de CAFIPEMFL

a division au cycle 3 : C omment gérer les difficultés liées à l'articulation du sens e t de la technique opératoire ?

Sommaire1

Introductionp 12

Exploration du sujetp 12

.1 Définitions mathématiquesp 12 .2 Les programmes, vision historiquep 32 .3 Champ d'expérimentation, options d'enseignementp 52 .4 Questionnementp 63

Cadre théoriquep 73

.1 Construction des savoirsp 73 .2 Situation-problèmep 83 .3 Théorie de champs conceptuelsp 93 .4 Différenciationp 93 .5 Utilisation d'une démarche par étapesp 103 .6 Déclinaison de ces apports dans la situation d'enseignementp 114

Expérimentationp 114

.1 Ce que proposent les manuels, les théories qu'ils sous-tendentp 114 .2 Expérimentation avec les élèvesp 134 .2.1 Annoncer ce qu'on attend des élèvesp 134 .2.2 Le partage intuitif, construction du sens de la divisionp 134 .2.3 La situation de départp 144 .2.4 Retour sur le sensp 164 .2.5 Poursuite du travail, évaluationp 174 .2.6 Difficultés rencontréesp 184 .2.7 Remédiationp 204 .3 Evaluation de la démarchep 205

Conclusionp 216

Bibliographie7

Annexes

1 IntroductionL

a division est une opération qui interpelle élèves, parents et professeurs. Ayant e nseigné principalement au cycle 3 dans les trois classes qui le composent, j'ai pu recueillir l

es réponses des élèves à la question : " Qu'est-ce que vous pensez que vous allez apprendre

c ette année ? » et bien souvent la division était citée, notamment pour le CM1. Lors des r éunions individuelles ou collectives avec les parents, souvent des questions ou des i nquiétudes portent sur ce sujet. Il m'est arrivé de demander aux parents présents, lors des r

éunions de début d'année, combien d'entre eux savaient faire une division sans coup férir. En

g

énéral, assez peu se signalaient. C'est tout à fait normal. Dans la vie courante, le recours à la

c alculatrice est quasiment automatique pour toute opération qui ne se fait pas mentalement. L eurs enfants, comme eux, recourront à la machine dès que la division ne sera plus un a pprentissage mais deviendra une opération rencontrée au cours d'un raisonnement. J'ai pu à t ravers une courte expérience de l'enseignement en secondaire vérifier que les opérations

taient effectuées à la calculatrice dès qu'elle était autorisée, souvent même au détriment du

c alcul mental.C ependant, les programmes de 2008 mettent l'accent sur la capacité des élèves à m aîtriser la technique opératoire pour chacune des quatre opérations.L e calcul : mental : tables d'addition et de multiplication. L'entraînement quotidien au calcul mental p ortant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs p ropriétés. - posé : la maîtrise d'une technique opératoire pour chacune des quatre opérations est i ndispensable.- à la calculatrice : la calculatrice fait l'objet d'une utilisation raisonnée en fonction de la c omplexité des calculs auxquels sont confrontés les élèves.I l est prévu d'aborder les problèmes de groupements et partages par 2 et 5 de nombres

deux chiffres dès le CE1. Il est important qu'au cycle 3 les élèves construisent une méthode

s olide pour effectuer une division. C'est une connaissance du socle commun.P armi les quatre opérations, c'est celle dont le sens est peut-être le plus difficile à s aisir et dont la technique est la moins aisée. Cela m'a interpellé pour tenter de trouver une d

émarche pédagogique efficace à l'enseignement de la division, qui s'intéresse au sens et à la

t echnique, sans dissocier ces deux aspects. Ce sont les relations entre sens et technique qui v ont constituer l'objet du présent mémoire.2

Exploration du sujet2

.1 Définitions mathématiquesL e terme de division peut représenter plusieurs choses. D'une part ce terme peut r

eprésenter la division euclidienne, celle enseignée à l'école élémentaire pour les situations de

p artage et groupement avec reste. D'autre part ce terme peut représenter la division, opération q ui à deux nombres associe le quotient de l'un par l'autre. Bien entendu, nous nous i ntéresserons principalement à la division euclidienne, qui est étudiée au début de l 'enseignement de la division, lors de la construction de celle-ci.3

La définition de Wikipedia :

E n mathématiques, une opération est un processus visant à obtenir un nombre à partir d 'un ou plusieurs objets mathématiques. Pour ce qui concerne les quatre opérations f

ondamentales, cela consiste à obtenir un résultat (somme, différence, produit ou quotient) à

p artir des deux nombres de départ. Dans ce cadre, la division euclidienne n'est pas à p roprement parler une opération, dans le sens où elle produit un quotient et un reste. Le l angage courant dit que la division euclidienne est une opération et il serait inutile de corriger c ela auprès des élèves.E n revanche, il est intéressant d'explorer le terme division. D'après Stella Baruk, la d ivision, qu'elle définit comme étant l'inverse de la multiplication, recouvre deux aspects : la décision, l'intention d'un calcul,- l'action effectuée sur deux nombres afin d'en obtenir un troisième.A l'école élémentaire, on retrouve cette dualité : le sens de l'opération : quelle situation demande une division pour trouver la réponse ? la technique opératoire : comment utiliser une technique experte pour résoudre la situation ? S tella Baruk, dans son " Dictionnaire de Mathématiques élémentaires », met l'accent s ur le sens, en montrant que l'opération tient dans la décision d'effectuer une division et que l a technique, selon elle, n'est que secondaire.O n peut s'intéresser au concept de " nombre ». On peut émettre des critiques envers l e modèle de Stella Baruk quand elle entend dissocier nombre et quantité à l'école

lémentaire. A mon sens, il faut lier nombre et quantité. Pour Rémi Brissiaud, la quantité est

l a mesure de l'extension d'une collection. Le nombre est une représentation non analogique d

e la quantité grâce à un " mot nombre ». Une représentation analogique serait une collection

t émoin : cailloux, doigts ou constellations (" Comment les enfants apprennent à calculer » p 2

6, 27).L

a définition de Newton va dans le même sens et souligne le rôle de l'unité et de l

'équivalence, de la correspondance terme à terme entre deux collections de même quantité.P

ar nombre, nous entendons non pas une multitude d'unités, mais plutôt le rapport d'une q uantité quelconque à une autre quantité de même sorte, que nous prenons comme unité.N ewton - Universal Arithmetic - 1728D ans le modèle piagétien, le nombre n'est pas une propriété des objets qu'on c

onsidère, " le nombre est construit par le sujet par l'abstraction de l'organisation que le sujet

a introduite au sein des objets. » (Enseignement et apprentissages des mathématiques, Crahay, V erschaffel p 58, 59). En revanche, Jean Piaget insiste sur l'importance de la conservation du n ombre, lorsqu'un enfant " conservant » déduit l'invariance du nombre d'objets d'une c ollection après changement de forme de la disposition des objets.4 Enfin, on va s'intéresser à la technique opératoire de la division. Celle qui était p réconisée dans les documents d'application de 2002, la division " française », garde les s

oustractions posées sans écrire tous les zéros des multiples successifs. On prendra celle-ci

c omme référence.780527 -54

240289

-216cdu 245
-243 2 E t le résultat sera exprimé par l'égalité : 7

805 = (27 x 289) + 22

.2 Les programmes, vision historiqueJ

usque dernièrement, l'enseignement des opérations dans la scolarité élémentaire était

r ythmé par niveau : l'addition au CP, la soustraction au CE1, la multiplication au CE2 et la d ivision aux CM1 et CM2 (Gérard Morin, article de 2006 " la division » dans Les Cahiers P édagogiques). Il n'en a pas toujours été le cas et les nouveaux programmes de 2008 v iennent de modifier le niveau d'introduction des diverses opérations. Il conviendra d'ailleurs d e distinguer, comme le souligne Roland Charnay dans un article du bulletin de l'APMEP bull. 469, 2007), l'introduction de l'apprentissage de la technique opératoire, dont il d

éconseille l'introduction trop hâtive, et l'introduction de situations de partage et groupement,

q

ui peuvent être résolues dès le CP avec les outils mathématiques disponibles pour des enfants

d

e 6 à 7 ans, qui lui semble bénéfique. Regardons les programmes et les activités proposées

p our aborder la division.D ans les programmes de 1882, il est écrit : P

our utiliser un langage actuel, il s'agit de rendre l'élève " acteur de ses apprentissages ».

E

ntretenant avec les élèves " un continuel échange d'idées, le maître doit partir de ce que les

e nfants savent et les amener à découvrir de nouvelles notions en procédant " du connu à l

'inconnu ». La démarche préconisée - observer, comparer, généraliser -, participe de la

c onstruction d'une véritable culture primaire où la pratique fait partie intégrante de la f ormation générale. Dans les premières leçons de calcul, le maniement et l'observation d

'objets matériels tels que bûchettes, boulier, etc., visent à réduire l'usage souvent trop

e xclusif de la mémoire au profit des capacités d'intuition des élèves. O bserver, comparer, généraliser sont les fondements de la démarche utilisée. On part d

e la réalité avec des exemples issus de la vie de tous les jours ou on utilise des médiateurs

c omme point de départ de la réflexion.L 'enseignement des années 1920 est dit " concentrique ». On revient chaque année sur l es acquisitions des années antérieures. Le retour annuel sur les notions enseignées a pu v ouloir garantir ces acquisitions. Cela fait place à un enseignement plus progressif avec les p rogrammes de 1923. La manipulation en mathématiques (découpage, pliage, utilisation de b

ûchettes) est le point de départ des apprentissages (article de Renaud d'Enfert). L'expérience

d es élèves est mise en avant.5 Dans les manuels d'après-guerre, on trouvait l'introduction de la division au cycle m oyen par des exercices de réflexion dont le moteur principal était la multiplication. Les p

rogrammes de l'époque asseyaient la partie " calcul » de l'arithmétique sur la maîtrise des

t

echniques opératoires des 4 opérations. Les problèmes de réinvestissement allaient croissant

e

n difficulté mais n'étaient souvent que des exercices d'application dont les énoncés, centrés

s ur la vie quotidienne et notamment campagnarde, se répétaient. Les mathématiques étaient u tilitaires et les problèmes portaient sur des sujets de la vie courante (revue de l'Inspection G

énérale 2003). J'ai trouvé cet exercice, introduisant l'étude de la division, présenté dans un

m anuel de 1956 (Cours d'Arithmétique Ch. Pugibet, Annexe I) : U

ne maîtresse donne 8 cahiers à chacune de ses 6 élèves du Cours Supérieur. Combien a-t-e

lle distribué de cahiers ? U ne maîtresse distribue 48 cahiers à 6 élèves. Quelle est la part de chacune ? U ne maîtresse qui a 48 cahiers doit en donner 8 à chacune de ses élèves. Combien a-t-elle d 'élèves ? I l est expliqué ensuite qu'on calcule la valeur d'une part ou le nombre de parts, et il est i ntroduit les termes dividende, diviseur et quotient sans autre forme de procès. On peut i maginer qu'avec un peu de bonne volonté, on pouvait obtenir les réponses attendues aux q

uestions posées, tant la réflexion paraît limitée. Le risque est grand que des élèves ne créent

q ue peu de sens aux mots introduits et ne conçoivent comme notion de ce qu'est une division q

u'un vague inverse de la multiplication, de manière opératoire, sans bien faire le lien avec la

s ituation de partage ou de groupement sous-jacente. La technique opératoire est ensuite i ntroduite de manière abrupte, au travers d'un exemple de soustraction de multiples qui laisse p

lace immédiatement à la potence dont les soustractions auront été gommées. On peut parier

q

ue, si les élèves arrivent à construire le sens du partage, ils ne verront la technique opératoire

q ue comme une recette pour venir à bout de l'opération, sans lien aucun avec le sens de l 'opération.L es programmes des années 1970 avec les " mathématiques modernes » vont balayer l

es pratiques précédentes. La pertinence de l'introduction de la théorie ensembliste dès les

p etites classes n'est pas le propos du présent mémoire, mais nous retiendrons que cette r éforme a eu le mérite de poser la question de la didactique des mathématiques. (R. Charnay, P

ourquoi des mathématiques à l'école ?). La manière de considérer les mathématiques à

l 'école va changer radicalement : L a massification de l'enseignement amène à repenser la manière d'enseigner les m athématiques, on ne veut pas seulement former des citoyens aptes à faire face aux p roblèmes de la vie courante mais l'ambition est bien que l'enseignement contribue à un m

eilleur développement des élèves par une compréhension réelle des notions abordées.

L'enseignement mathématique à l'école primaire de la Troisième République aux années

1

960 : enjeux sociaux et culturels d'une scolarisation " de masse » Renaud d'Enfert)I

l s'ensuit un allègement des programmes, au CP on n'apprend plus que l'addition de d eux nombres entiers. Les pourcentages et intérêts, au CM, n'apparaissent plus explicitement.L a division prend place au CM. L'apport de la psychologie de l'enfant va s'exprimer p leinement et la construction des savoirs va devenir un enjeu important de l'enseignement.6 Les programmes de 1985 positionnent la division au Cours Moyen, attribuent la m aîtrise de la multiplication au Cours Elémentaire et soulignent la volonté d'appliquer des t héories didactiques de construction active des savoirs.L ors de l'introduction de notions nouvelles, les élèves sont mis en situation d 'apprentissage actif : ils découvrent les notions comme des réponses à des problèmes.O n peut répartir ces problèmes en trois groupes :- ceux qui permettent la construction de nouveaux outils mathématiques (par exemple l 'introduction de la soustraction, de la multiplication, des nombres décimaux);- ceux qui invitent à utiliser des acquis, à en percevoir éventuellement les limites d 'utilisation ; problèmes relevant de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division ; laboration, dans l'ensemble des décimaux, des techniques opératoires, mentales ou écrites, e t des procédés de calcul approché(ordre de grandeur et encadrements).L es programmes de 1995 continuent en droite ligne de ceux de 1985 en mentionnant l

es techniques opératoires des 4 opérations, tout en laissant les élèves découvrir au collège la

d ivision de deux nombres à virgule.L es programmes de 2002 soulignent le fait que les élèves doivent comprendre les t

echniques opératoires : " le sens des opérations doit être au centre des préoccupations », " les

t echniques opératoires usuelles sont mises en place sur des nombres d'usage courant, en s 'attachant à assurer une bonne compréhension des étapes ».L es nouveaux programmes de 2008 mettent l'accent sur la maîtrise des opérations, et n otamment des techniques opératoires : " [calcul] posé : la maîtrise d'une technique o pératoire pour chacune des quatre opérations est indispensable. » L a division apparaît maintenant au CE1 par 2 et par 5 pour les nombres inférieurs à 1

00, il faut " approcher de la division de deux nombres entiers à partir de partage ou de

g roupement ».U ne maîtrise de la technique opératoire est exigée en CE2 pour la division à un chiffre. L

e changement est conséquent et a suscité de vives réactions de la part de pédagogues. Il faut

m

odifier en profondeur nos approches pour suivre les orientations préconisées. Il est répété en

p

réliminaire aux progressions des cycles 2 et 3 : " La résolution de problèmes joue un rôle

e

ssentiel dans l'activité mathématique. Elle est présente pas tous les domaines et s'exerce à

t ous les stades des apprentissages. » 2 .3 Champ d'expérimentation, options d'enseignementL es nouveaux programmes entrant en vigueur à cette rentrée 2008, les élèves de CM1 q ue j'ai cette année ont suivi les programmes de 2002 jusqu'à présent et entrent dans ce n iveau en n'ayant eu ni en CE1 ni en CE2 d'initiation à la technique de la division et qu'une b rève introduction aux situations de partage. L'introduction de la notion est donc à faire c omplètement.D ès cette année, dans les classes de CE1, les situations de groupements et partages s eront introduites et dans deux ans seulement les CM1 auront suivi le cursus prévu dans les n ouveaux programmes pour ce qui est de l'opération qui nous occupe.I l est donc délicat de parler de niveau actuellement et je situerai l'expérimentation quequotesdbs_dbs7.pdfusesText_13