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EXERCICES DU COURS
D"OPTIMISATION
Exercices du chapitre 1
Exercice 1:Soitf:R→Rd´efinie par
f(x) =? ex-1x six?= 0,1 six= 0.
fest-elle de classeC1surR?Exercice 2:Calculer la jacobienne de la fonction
f:R2-→R3 (x,y)?-→(ex+y3,y,3chx+ shy)T. Exercice 3:Soitf:R2→Rla fonction d´efinie par f(x,y) =? xyx2+y2si (x,y)?= (0,0),
0 si (x,y) = (0,0).
fest-elle de classeC1(R2,R)? Exercice 4:Soientf:R→R2etg:R2→R3d´efinies par f(t) = (t2-1,2t)Tetg(x1,x2) = (x2,x1)T.1. Calculerg◦fet en d´eduire sa diff´erentielle.
2. Retrouver le r´esultat de la premi`ere question `a l"aide de la formule de d´erivation
compos´ee. Exercice 5:Pour (x,y,z)?= (0,0,0), on posef(x,y,z) =1?x2+y2+z2.
D´eterminer le gradient et la hessienne def. Cette derni`ere est-elle semi-d´efinie positive, d´efinie positive? Exercice 6:SoientA?Mpn(R) etb?Rp. Calculer le gradient et la hessienne de la fonction : f:Rn-→R x?-→ ?Ax-b?2. Exercice 7:Soit la fonctionx?→y=f(x) donn´ee implicitement par la relation x3+y3=xy+ 1
au voisinage de (1,1). Calculerf?(1),f??(1),f???(1). 1Exercice 8:Soitfd´efinie deR3dansR2par
f(x,y,z) = (x2+y2-z2,yz-1)T. Montrer qu"il existeε >0 et des fonctions?,ψ: (-ε,ε)→Rde classeC1tels que ?x?(-ε,ε), f(x,?(x),ψ(x)) = (0,0). D´eterminer une relation entre??,ψ?et les d´eriv´ees partielles def.Exercices du chapitre 2
Exercice 1:Montrer que sif:Rn→Rposs`ede un minimum, alors celui-ci est unique. Exercice 2:Soitf:R→Rune fonction convexe, c"est-`a-dire : On suppose quefadmet un minimum relatif enx?. Montrer qu"il s"agit en fait d"un minimum absolu.On suppose quefest strictement convexe (i.e. l"in´egalit´e pr´ec´edente est stricte). Mon-
trer qu"alors le minimum defest atteint en un unique point.Exercice 3:Soit le probl`eme suivant :
(x?,y?) = argmin x≥0,y≥0x2. Quelles sont les solutions? Les contraintes sont-elles actives en ces points?Exercice 4:On veut savoir quelle est la boˆıte parall´el´epip´edique de volume maximum,
parmi toutes les boˆıtes de surface fix´ee.´Ecrire le probl`eme d"optimisation associ´e `a cette
situation concr`ete. Exercice 5:On cherche `a d´eterminer la distance entre deux droites de l"espaceR3.´Ecrire ce probl`eme sous la forme d"un probl`eme d"optimisation. Exercice 6:Mˆeme exercice avec la projection d"un point deR3sur un plan.Exercices du chapitre 3
Exercice 1:Soitfla fonction num´erique `a variable r´eelle d´efinie par : ?x?R, f(x) =?x4+ 1-x+ 3.
1. Montrer quefadmet un minimum surR.
2. D´eterminer les points critiques def.
3. Parmi les points critiques, lesquels correspondent `a des minima?
Exercice 2:SoientA?Mn(R) une matrice sym´etrique d´efinie positive etbun vecteur deRn. On d´efinit la fonctionf:Rn→Rpar ?x?R, f(x) =12 xTAx-bTx. 21. Montrer quefadmet un minimum absolu surRn.
2. D´eterminer ce minimum.
Exercice 3:D´eterminer les extrema, s"ils existent, des fonctions suivantes : a.f(x,y) =ax2+by2(a,b?R); b.f(x,y) =x2-3xy+y2; c.f(x,y) =x1/2y1/3-(x+ 2y); d.f(x,y) =xy(1 +x2)(1 +y2); e.f(x,y) =x1 +x2+y2; f.f(x,y) =x2y2+x2+y2+ 2axy(a≥0).Exercice 4:Soitf:R→Rd´efinie par
?x?R, f(x) =1⎷2πe-(x-μ)22 On fixex1,...,xn?R. R´esoudre le probl`eme suivant : ?= argmaxμ?R?
n? i=1f(xi)? [Indication :on pourra passer au logarithme.] Exercice 5:Soientn≥2 etf:Rn→Rla fonction d´efinie par f(x) = (1 +xn)3n-1? i=1x2i+x2n.
Montrer que 0 est le seul point critique def, quefy atteint un minimum local strict, mais pas global.Exercice 6:R´esoudre le probl`eme de la r´egression lin´eaire au sens des moindres carr´es