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EXERCICES CORRIGÉS

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

L3M1

Optimisation

et analyse convexeOptimisation et analyse convexe

OPTIMISATION

ANALYSE CONVEXE

Exercices et problèmes corrigés,

avec rappels de cours

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar

Parc d"activités de Courtabœuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, France

Illustration de couverture: un corps convexe d"épaisseur presque constante et son ombre; reproduit avec la gracieuse permission de Christof Weber (université de

Zurich).

Imprimé en France

ISBN: 978-2-7598-0373-6

Tous droits de traduction, d"adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous

pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des

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être réalisées avec l"accord de l"éditeur. S"adresser au : Centre français d"exploitation du droit de copie,

3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

?2009, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d"activités de Courtabœuf,

91944 Les Ulis Cedex A

TABLE DES MATIÈRES

Introductionv

Abréviations et notationsix

I Révision de bases : calcul diérentiel, algèbre linéaire et bilinéaire I.1Algèbre linéaire et bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2Calculdiérentiel ......................... 2

I.3Fonctionsconvexes ........................ 3

II Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité41 II.1Conditionsdeminimalitédupremierordre........... 41 II.2Conditions de minimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . 42 III Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité63 III.1Conditionsdeminimalitédupremierordre........... 63 III.2Cône tangent, cône normal à un ensemble . . . . . . . . . . . . 65 III.3Priseencomptedelaconvexité ................. 66 III.4Conditions de minimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . 66

IV Mini-maximisation. Dualisation de problèmes

de minimisation convexe 127
IV.1Points-selles (ou cols); problèmes de mini-maximisation . . . . 127 IV.3Premiers pas dans la théorie de la dualité . . . . . . . . . . . . 129

Optimisation et analyse convexe

V Polyèdres convexes fermés. Optimisation à données affines (Programmation linéaire) 165
V.1Polyèdresconvexesfermés ....................165 V.2Optimisation à données anes (Programmation linéaire) . . . 168 V.2.1Dé“nitionsetnotations .................168 V.2.2Résultatsfondamentauxdexistence ..........170 V.3Ladualitéenprogrammationlinéaire ..............171 V.3.1Formulations de problèmes duaux . . . . . . . . . . . . 171

V.3.2Relations entre les valeurs optimales et les solutionsde programmes linéaires en dualité . . . . . . . . . . . 172

V.3.3Caractérisation simultanée des solutions du problème primal et du problème dual . . . . . . . . . . . . . . . 173 VI Ensembles et fonctions convexes. Projection sur un convexe fermé 217
VI.1.1Ensembles convexes associés à un convexe donné . . . 217 VI.1.2Enveloppe convexe, enveloppe convexe fermée . . . . . 218 VI.1.3Hyperplan dappui, fonction dappui . . . . . . . . . . 219 VI.1.4Théorèmes de séparation par un hyperplan ane . . . 219

VI.3Fonctionsconvexes ........................220

VII Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées de Legendre-Fenchel 271
VII.1La transformation de Legendre-Fenchel . . . . . . . . . . . . . 271 VII.1.1Dé“nitions ........................271 VII.1.2Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 272 VII.2Lesous-diérentieldunefonction ................273 VII.2.1Dé“nitions ........................273 VII.2.2Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 274

Sources323

Références générales325

Notice historique327

Index331

INTRODUCTION

"Good modern science implies good variational problems»

M.S. Berger (1983)

Le recueil d"exercices et problèmes corrigés que nous proposons ici concerne les domaines des Mathématiques répertoriées sous les vocables d"Optimisation etAnalyse convexe. L"Optimisation est traitée dans ses aspects suivants : la clé de voûte que constituent les conditions d"optimalité (chapitres II et III); le rôle (incontournable) de la dualisation de problèmes (chapitre IV); le monde particu- lier (et toujours en haut de l"affiche depuis ses débuts) de l"Optimisation linéaire (chapitre V). L"Analyse convexe (moderne) n"est pas traitée en tant que telle mais par l"utilisation qu"on peut en avoir en Optimisation; il s"agit en fait d"une initia- tion à la manipulation de concepts et de résultats concernant essentiellement : la projection sur un convexe fermé (au chapitre VI), le calcul sous-différentiel et de transformées de Legendre-Fenchel (chapitre VII). L"Analyse linéaire et bilinéaire (ou, plutôt, l"Analyse matricielle) ainsi que le Calcul différentiel interviennent de manière harmonieuse en Optimisation et Analyse convexe : un chapitre de revi- sion des bases leur est consacré (chapitre I). Près de 160 exercices et problèmes sont corrigés, parfois commentés et situés dans un contexte d"utilisation ou de développement historique, gradués dans leur difficulté par un, deux ou trois?: ?Exercices plutôt faciles (applications immédiates d"un résultat du Cours, vérification d"un savoir-faire de base, etc.);quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5