Parties Convexes Fonctions Convexes d'une ou plusieurs Variables Ex 1 : Fonctions convexes Soit f : Ω → R une fonction sur un ouvert convexe Ω ⊂ RN
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[PDF] Parties Convexes & Fonctions Convexes dune ou plusieurs
Parties Convexes Fonctions Convexes d'une ou plusieurs Variables Ex 1 : Fonctions convexes Soit f : Ω → R une fonction sur un ouvert convexe Ω ⊂ RN
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Universit´e de Nice - Sophia Antipolis 2007-2008 Pr ´eparation Agr´egation - Analyse
Parties Convexes & Fonctions Convexes d"une ou plusieurs Variables. Ex. 1 : Fonctions convexes dansRN.Avec la norme¯¯¯¯x¯¯¯¯=NX j=1|xj|dansRN, on consid`eref:B2→Rconvexe.1)a)Montrer quefest born´ee sur la "sph`ere"{x,¯¯¯¯x¯¯¯¯= 1}en ´ecrivantxcomme barycentre de±e1, ... ,±eN,
avec (e1,...,eN) la base canonique deRN. b)Pourx?¯B1,x?= 0, on noteu=x ||x||, et?: [-1,1]?t→f(tu). V´erifier que?est convexe. En encadrant ?(t)-?(0) t pourt?[-1,1],t?= 0, en d´eduire quefest continue en 0. 2 }, et montrer quefest Lispchitzienne sur¯B1( on utilisera des accroissements dans les directions parall`eles aux axes de coordonn´ees ).2)G´en´eraliser pour montrer que si Ω?RNest un ouvert convexe etf: Ω→Rest convexe, alorsfest continue
sur Ω, et mˆeme localement Lipschitzienne dans Ω.Ex. 2 : Convexit´e : caract´erisations et extrema.Soitf: Ω→Rune fonction sur unouvertconvexe Ω?RN.
1)On supposefdiff´erentiable sur Ω.
a)Montrer quefest convexe si et seulement si pour tousx,y?Ω,f(y)-f(x)≥dfx(y-x). ?poserg(t) =f¡(1-t)x+ty¢,t?[0,1], montrer quegest convexe, et majorerg(t)-g(0) t?pourx,y?Ω ett?[0,1], faire une combinaison convexe des in´egalit´es obtenues avec (x,z) et (y,z).
b)En d´eduire que sia?Ω, alorsaest un point critique defsi et seulement siaest un minimum def, si et
seulement siaest un minimum local def. Est-il n´ecessairement un minimun strict ?c)Montrer que sif:RN→Rest strictement convexe et coercive (i.e.f(x)→+∞si||x|| →+∞), alorsfa un
unique minimum.Exemple :A,B,Csont dans le plan, etf(M) =||M-A||+||M-B||+||M-C||).2)On supposefdeux fois diff´erentiable sur Ω ( on peut envisager de classeC2pour simplifier ). Montrer quef
est convexe si et seulement si pour toutx?Ω, la forme quadratiqueh?→d2fx(h,h) est positive. ?appliquer une formule de Taylor `af¡x+th¢, et utiliser1)a). ?appliquer une formule de Taylor `ag(t) =f¡x+th¢, et utiliser1)a).3)VoirGourdon, Pb. 3 p. 339 pour un probl`eme de minimisation d"une fonction convexe coercive.
1)Justifier les caract´erisations ( de Courant-Fisher ), o`u||x||=||x||2:
1(A) = min||x||=1(Ax,x) etλn(A) = max||x||=1(Ax,x).
2)En d´eduire queλ1:Sn→R( resp.λn:Sn→R) est une fonction concave ( resp. convexe ).
Ex. 4 : Convexit´e et matrices.
1)Rappeler pourquoiS+netS++n( resp.H+netH++n) sont des ensembles convexes.
2)Montrer que l"application?:A?→¡det(A)¢-1
2 de l"ensembleS++ndes matricesn×nsym´etriques d´efinies positives dansR?+est strictement convexe ( on pourra songer `a consid´erer le logarithme ).Plusieurs indications possibles :
?Commencer par montrer l"in´egalit´e ln◦?¡tA1+(1-t)A0¢< tln◦?(A1)+(1-t)ln◦?(A0) lorsqueA0=In. On
se ram`enera `a ce cas grˆace `a : siA0? S++n, il existeB0? S++ntelle queA0=B-20.?Utiliser un r´esultat de r´eduction simultan´ee : siAetBsont des matricesn×nsym´etriques avecAd´efinie
positive, alors il existeP?GLn(R) etDdiagonale telles queA=tPPetB=tPDP.
3)A l"aide des mˆemes indications, d´emontrer le r´esultat suivant :
SiAetBsont des matrices r´eellesn×nsym´etriques et positives, alors¡det(A)¢
1 n +¡det(B)¢ 1 n 1 net qu"il n"y a ´egalit´e que siAetBsont positivement proportionnelles. En particulier,A?→¡det(A)¢
1 n est convexe surS+n.