Multiplication de deux fonctions x d Une fonction f(x) est une fonction convexe si, pour tous points x1, x2 de son Fonctions à deux ou plusieurs variables
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MAT2.1
Rappel Mathématique Microéconomie 3-851-84
I. Fonctions à une seule variable
· QUELQUES RÈGLES DE DÉRIVATION (rappel)
1. Multiplication de deux fonctions
x du d v + x dv du = ) v u ( x ddExemple: x = u2
1+ x 2 = v
] x 2 x [ x dd2 )1(+· = x 2 x 2 + 2 x2 ·+·)1(
= xx 6 = x x 4 + x 22 2 2 22++2. Division de deux fonctions
. vdxdv u - dxdu v = vu dxd2 ··
Exemple: x = u2
1+ x 2 = v
+ x 2x dxd2 1 + x 2 () 2 ( x - x 2 ) + x 2 ( 2 211·
MAT2.2
) + x 2 ( x 2 + x 2 = ) + x 2 (x2 - x 2 + x 4
2 2 2 2 2 113. Règle de chaîne
] ) u ( f [ dxd = dxdu ] )u ( f [ u ddExemple: u = )u ( f , + x 2 =u 2 1
] ) + x 2 ( [ x dd2 1 = ) + x 2 ( 4 = 2 ) + x 2 ( 211·
· OPTIMISATION (sans contrainte)
Soit )(xfla fonction que l'on cherche à optimiser.Condition de premier ordre (CPO) : 0)]([*=xfdxd
(condition nécessaire)Condition de second ordre (CSO) : 0)]([*
22Les théories du consommateur et du producteur que nous allons étudier font référence à des fonctions
d'utilité et de production sur lesquelles certaines hypothèses sont faites. Ces hypothèses reposent, entre autres,
MAT2.3
sur les notions de concavité et de convexité des fonctions.Définition:
Une fonction f(x) est une fonction convexe si, pour tous points x1, x2 de son domaine et pour tout , 1 < < 0 , ll . ) x ( f ) - 1 ( + ) x ( f ) x ) - 1 ( + x ( f2 1 2 1 llll£ (Une fonction est strictement convexe si la dernière inégalité est stricte, à savoir, ) x ( f ) - 1 ( + ) x ( f < ) x ) - 1 ( + x ( f2121llllet ) x x 21¹.Similairement, une fonction concave est définie de la même manière mais le sens de l'inégalité est
renversé.Exemples:
x 1 lx1 + (1 - l)x
2 x2 f(x
1) f(x
2) f(x) x x
1 lx1 + (1 - l)x2 x2 x f(x
1) f(x
2) f(x) lf(x1)+(1-l)f(x2) f(lx
1+(1-l)x
2) f(lx1+(1-l)x2) lf(x
1)+(1-l)f(x
2) Fonction convexe Fonction concave
MAT2.4
Définition:
Une fonction f(x) est quasi convexe si, pour tous points x1 , x2 de son domaine, on a 0MAT2.5
Exemples:
· DIFFÉRENTIELLE TOTALE
Soit . ) x ( f =y
Alors dx ) x ( ' f =dy est la différentielle totale et on a y dy D¹ , i.e. dy est une approximation de . ) x ( f - )x + x ( f =y DD
x1 lx1 + (1 - l)x2 x
2 f(x1) f(lx1 + (1 - l)x2) f(x
2) f(x) x x
1 lx1 + (1 - l)x2 x
2 x f(lx
1 + (1 - l)x
2) f(x
1) f(x
2) f(x)
Fonction Quasi Concave Fonction pas Quasi Concave
MAT2.6
Graphiquement:
dy = dx ) x ( ' f = pente de la tangente en x · dx = AB = CB CBAB· AB = .y dy D»
II. Fonctions à deux ou plusieurs variables· DÉRIVÉES PARTIELLES
Les fonctions avec lesquelles nous allons travailler sont, en général, continues, dérivables et
ont des dérivées partielles de premier ordre et de second ordre qui sont continues. Il faut
donc savoir les calculer leurs dérivées partielles et aussi les interpréter® Exemples de fonctions usuelles :
3/2 23/11xxu= y= f(x) x x X+Dx f(x) f(x+Dx) A
B C dy Dy Dx
dxMAT2.7
nynxull32+=® Calcul des dérivées partielles
Exemple : Soit la fonction de production :
223236LKKLQ--= LQ
= LK636- (dérivée partielle de premier ordre par rapport à L) KQ 2LQ LQ L = - 6 (dérivée partielle de second ordre par rapport à L) 2 2KQ KQ K = - 4 (dérivée partielle de second ordre par rapport à K) KLQ 2 KQL =÷
LQK = LKQ
2 = 36 (dérivée partielle croisée de second ordre) ® Les principales règles de dérivation s'appliquent :1. Produit de deux fonctions
= xu vxvExemple: 2xu=
yxv+=2MAT2.8
= xyxx2)2(22·++· = xyxx24222++ = xyx262+2. Quotient de deux fonctions
vu x = 2vx vu y = 2vyExemple: 2xu=
yxv+=2èae
yxx x22 = 2 2 )2(22)2( yxxxyx = 2 22)2(224 yxxxyx +-+ = 2 2 )2(22 yxxyx
èae
yxx y22 = 2 2 )2(10)2( yxxyx +·-·+ = 2 2 )2(yxx3. Règle de chaîne
ufdud uufdudMAT2.9
Exemple: ,2yxu+=
2)(uuf= []2
= 2)2(2·+yx = 4(2x+y) []2· DIFFÉRENTIELLE TOTALE
Soit )y ,x ( f = Z.ZD = ) y ,x ( f - ) y + y ,x + x ( fooooDD,
i.e., dZ @ ZD Évidemment, plus les variations Dx et Dy seront petites, meilleure sera l'approximation. Exemple : xxyyxfz+==3),( ; )2,2(),(00=yx ; 5,0=dx et 3,0=dy zD = ),(00dyydxxf++ - ),(00yxf5,2(f , )3,2 - 2(f , 2)
= (3 )5,23,25,2+·· - (3)222+·· = 19,75 - 14 = 5,75MAT2.10
yxf = []),()13(00yxy+ dx + []),(300yxx dy = 7 · 0,5 + 6 · 0,3 = 3,5 + 1,8 = 5,3· HOMOGÉNÉITÉ DES FONCTIONS
Définition:
Une fonction ) x , ... , x , x ( fn21 est homogène de degré r si et seulement si pour tout . ) x , ... , x , x ( f = ) x , ... , x , x ( f , 0 > n21r n21lllllExemple: ) z , y , x ( f = z - z y + x 23 2 3
) z ,y ,x ( flll = ) z ( - ) z ( )y ( + ) x ( 23 2 3 llll = z - z y + x 23 32 33 3 lll = ) z - z y + x 2 ( 3 2 3 3 l = ) z , y , x ( f 3 l f est homogène de degré 3.Théorème d'Euler:
Une fonction ) x , ... , x , x ( fn21 est homogène de degré r ssi . x x ) x , ... , x ( f = ) x , ... , x ( f ri
in1nMAT2.11
Exemple: z - z y + x2 = ) z , y , x ( f32 3
y ) z , y , x ( f ; x6 = x) z , y , x ( f 2 = z 3 - z y 3 + x 63 2 3 = ) z - z y + x 2 ( 33 2 3 = ) z , y ,(x f 3 f est homogène de degré 3.· FORMES QUADRATIQUES
On peut déterminer si une fonction est convexe ou concave grâce au comportement de la formequadratique associée à sa matrice hessienne (la matrice des dérivées secondes de la fonction). Voyons
tout d'abord quelques définitions et quelques exemples.Une forme quadratique est une fonction de n variables qui peut être écrite de la façon suivante :
où les aij sont des constantes.åå===n
in i jiijxxaxf11)(MAT2.12
En termes de matrices, la forme quadratique s'écrit: .x'Ax où x est un vecteur de dimension n × 1 et A une matrice symétrique n × n .Exemple:
,x A xDéfinition:
Une forme quadratique Axx' est dite définie positive si Axx' > 0, "x ¹0Définition:
Une forme quadratique Axx' est dite semi-définie positive si Axx' > 0 et s'il existe x ¹0 pour lequel
Axx,= 0
Note : Pour des formes quadratiques définies négatives ou semi-définies négatives, les définitions sont
similaires sauf en ce qui concerne les inégalités qui doivent alors être renversées (< 0 ).
Théorème de Sylvester:
i) Une forme quadratique Axx' est définie positive si et seulement si tous les principaux mineurs successifs de la matrice A sont positifs (i.e. > 0). 2331212
132124),,(xxxxxxxxxf+++=[]ú
321321321
202005,025,01
xxx xxxxxxfMAT2.13
ii) Une forme quadratique Axx' est définie négative si et seulement si tous les principaux mineurs successifs de la matrice A alternent en signe, le premier étant positif (i.e. > 0).Illustration du théorème :
Soit A la matrice 3 × 3 suivante:
Les principaux mineurs successifs de A sont les trois déterminants suivants: (les principaux mineurs successifs de A sont les déterminants des sous-matrices de A obtenues en enlevant successivement la dernière colonne de droite et la rangée d'en bas).La forme quadratique
Axx' est donc définie positive si chacun de ces trois déterminants est positif.Elle sera définie négative si ces déterminants alternent en signe, en commençant par : 11a< 0, puis 22211211
aaaa> 0, etc...Exemple:
333231232221131211
aaaaaaaaa502031212 =A33323123222113121122211211
11,, aaaaaaaaa aaaaaMAT2.14
Axx' est définie positive.
Remarque :
i) Cependant, pour déterminer si une forme quadratique est semi-définie positive, il ne suffit pas que
les principaux mineurs successifs soient non négatifs (i.e. ³ 0). Il faut que tous les mineurs principaux
soient non négatifs, ce qui implique le calcul de plusieurs déterminants. Par exemple, dans le cas de A
la matrice 33´ vue plus haut, il faut vérifier que : 11 a³ 0, ,022³a ;033³a 22211211 aaaa,0³33311311 aaaa,0³33322322 aaaa;0³333231232221131211
aaaaaaaaa .0³ii) Pour déterminer si une forme quadratique est semi-définie négative, il faut que tous les mineurs
principaux d'ordre impair soient non positifs (i.e. £ 0) et que tous les mineurs principaux d'ordre pair
soient non négatifs (i.e. ³ 0). Par exemple, dans le cas de A la matrice 33´ vue plus haut, il faut
vérifier que : 11 a£ 0, ,022£a ;033£a 22211211 aaaa,0³33311311 aaaa,0³33322322 aaaa;0³333231232221131211
aaaaaaaaa .0£Théorème:
i) Une fonction f(x1,x2,...,xn) est convexe si et seulement si sa matrice hessienne H(ou la formequadratique associée Hxx' ) est semi-définie positive. Si Hxx'est définie positive, f(x1,x2,...,xn) est
strictement convexe.ii) De la même manière, si Hxx'est semi-définie négative, la fonction f(x1,x2,...,xn) est concave (et
strictement concave si Hxx'est définie négative). 013502031212
;053112;0211>=>=>=aMAT2.15
Exemple 1: Soit 2
221212132),(xxxxxxf---=
=;2221xx-- 2 21),(xxxf
1212),(
xxxf2212),(
xxxf 1221221212
xxxxf xxxxf, de sorte que: la matrice hessienne =H 2 2212
1221221212
2 1212x xxf xxxxfxxxxf xxxf 6222
Or, -2 < 0 et =H6222
----= 8,0> ce qui implique que la forme quadratique Hxx'est définie négative et la fonction 2 221212132),(xxxxxxf---= est strictement convexe.
Exemple 2 : Soit 2
332222312
13213),,(xxxxxxxxxxxf+++-+=
3112xxf+=; 32221xxf++-=; 32136xxxf++=
;1;0;2131211===fff ;1;2;0232221===fff ,6;1;1333231===fff de sorte que la matrice hessienne H =333231232221131211
fffffffff611120102
On vérifie facilement que: 1
21),(xxxf
MAT2.16
;0211>=fet ffff04200222211211>==611120102
= 26112 - 06110 + 11120= 20 > 0. Ainsi, la forme quadratique est Hxx'est définie positive et la fonction 2 332222312
13213),,(xxxxxxxxxxxf+++-+=
est strictement convexe.· OPTIMISATION AVEC CONTRAINTE
Méthode de Lagrange (présentée à l'aide d'un exemple) Optimiser xxyyxf+=3),( sous la contrainte que =--=yxyxg28),(0, où ),(yxf mesure le rendement d'une terre, x : la quantité de fertilisant y : la quantité d'insecticide.1. On forme une nouvelle fonction appelée le Lagrangien de la façon suivante :
),,(lyxL= ),(yxf + l ),(yxg = fonction objectif + multiplicateur ´ fonction contrainte de Lagrange )28(3),,(yxxyyxL--+=ll Note : l'introduction du multiplicateur de Lagrange permet de transformer un problème d'optimisation avec contrainte à deux variables (x et y) en un problème d'optimisation sans contrainte à trois variables (x, y et l).2. On optimise cette nouvelle fonction à 3 variables, i.e. le Lagrangien ),,(lyxL. Les conditions de
premier ordre (CPO) s'écrivent :MAT2.17
On solutionne ce système d'équations et on trouve (),,***lyx : .6/39,6/11,6/26***===lyxNote : En principe, à ce stade-ci, on doit calculer les conditions de second ordre (CSO) et vérifier
si le point stationnaire (),,***lyxreprésente un minimum ou un maximum. Toutefois, en ce qui nousconcerne, ce sont les propriétés de la fonction objectif (concave ou convexe) ou encore le contexte
économique du problème posé qui déterminera la nature du point stationnaire.