[PDF] [PDF] DÉRIVATION - maths et tiques

L est appelé le nombre dérivé de f en a 2) Tangente à une courbe Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I



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[PDF] DÉRIVATION (Partie 1) - maths et tiques

Nombre dérivé 1) Rappel : Pente d'une droite Soit une fonction f définie sur un intervalle I Soit deux réels a et b appartenant à I tels que a < b Soit A et B deux 



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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques NOMBRE DERIVÉ I Limite en zéro d'une fonction Exemples : 1) Soit la fonction f définie sur 



[PDF] DÉRIVATION (Partie 2) - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques La fonction qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée 



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L est appelé le nombre dérivé de f en a 2) Tangente à une courbe Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I



[PDF] DÉRIVATION (Partie 1) - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques DÉRIVATION ( Partie Calculer le nombre dérivé de la fonction f en =2 - On commence 



[PDF] DÉRIVATION (Partie 3) - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques DÉRIVATION ( Partie 3) 1) Calculer la fonction dérivée de f 2) Déterminer le signe de f ' en 



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Comme nous allons le voir, une manière d'aborder le « nombre dérivée » se fait par le biais le coefficient directeur des précédentes tangentes s'appelle le nombre dérivé et son signe tique) : i∂tu + ∆u + f = 0 avec f une fonction donnée



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1

DÉRIVATION

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/XAgdHblbajE

Partie 1 : Rappels sur la dérivation

Playlist https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoY7qihLa2dHc9-rBgVrgWJ

Formules de dérivation :

Fonction Dérivée

0

2

≥1 entier 1 ≥1 entier +1

Propriété : Une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse

est : =′ Théorème : Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle . - Si ′()≥0, alors est croissante sur . Méthode : Étudier les variations d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/23_Ba3N0fu4

Soit la fonction définie sur ℝ par 9 2 -12+5. a) Calculer la fonction dérivée ' de . b) Déterminer le signe de ' en fonction de . c) Dresser le tableau de variations de .

Correction

a) =3 9 2

×2-12=3

+9-12.

Fonction Dérivée

1 2 b) On commence par résoudre l'équation ()=0 :

Le discriminant du trinôme 3

+9-12 est égal à D=92-4×3×(-12)=225

L'équation possède deux solutions :

= -4 et = 1 Comme =3>0, les branches de la parabole représentant la fonction dérivée sont tournées vers le haut (position " »). La dérivée est donc d'abord positive, puis négative, puis positive. c) On dresse le tableau de variations : -4 =(-4) 9 2 (-4) -12× -4 +5=61 1 =1 9 2 ×1 -12×1+5=- 3 2 Partie 2 : Dérivée d'une fonction composée

1) Définition d'une fonction composée

Méthode : Identifier la composée de deux fonctions

Vidéo https://youtu.be/08HgDgD6XL8

On considère la fonction définie par -3. Identifier la composée de deux fonctions dans la fonction .

Correction

On peut décomposer la fonction en deux fonctions et telles que : -3 Les fonctions et sont définies par : =-3 et On dit que la fonction est la composée de par et on note : =F G= -3

-∞ -4 1 +∞

61
3

Définition :

On appelle fonction composée des fonctions par la fonction notée ∘ définie par :

=F G.

Méthode : Composer deux fonctions

Vidéo https://youtu.be/sZ2zqEz4hug

a) On considère les fonctions et définies par : et Exprimer les fonctions ∘ et ∘ en fonction de . b) Même question avec + et

Correction

a) On a : et =F G= J 1 =F G= b) On a : + et =F G= ++1 =F G= K +1 L +1

2) Dérivation d'une fonction composée

Méthode : Déterminer la dérivée d'une fonction composée (cas général)

Vidéo https://youtu.be/lwcFgnbs0Ew

Déterminer la dérivée de la fonction définie sur ℝ par

Correction

On considère les fonctions et définies par : +1 et

Alors :

=F G

On a : ′

=2 et ′

Fonction Dérivée

ou F G ou ′F

G×′

4

Donc : ′

F

G×′

×2

=2

3) Cas particuliers de fonctions composées

Fonction Dérivée

2

Démonstrations :

N ()=∘() avec

Donc F

N ()G =′F

G×′()=

0(") ×′(), car ′()=

Soit F

N ()G 2 =∘() avec Donc =′F

G×′()=F

G ×′(), car ′()= Soit =′()F G - Démonstration analogue pour " Méthode : Déterminer la dérivée de fonctions composées (cas particuliers)

Vidéo https://youtu.be/kE32Ek8BXvs

Vidéo https://youtu.be/5G4Aa8gKH_o

Déterminer la dérivée des fonctions définies par : a)

3

+4-1 b)

2

+3-3 c) ℎ =2

Correction

a) On pose : N () avec =3 +4-1 ® ′ =6+4

Donc : ′

0 0(") ".5 .5")! .5")! 5 b) On pose : avec =2 +3-3 ® ′ =4+3

Donc : ′

=4′() =4(4+3)

2

+3-3 c) On pose : ℎ =2 avec

Donc : ℎ′

=2′() =2×Q- 1

R

2

Partie 3 : Étude d'une fonction composée

Méthode : Étudier une fonction composée

Vidéo https://youtu.be/I4HkvkpqjNw

Vidéo https://youtu.be/Vx0H1DV3Yqc

Vidéo https://youtu.be/2RIBQ1LiNYU

Soit la fonction définie sur ℝ par a) Étudier les limites de à l'infini. b) Calculer la dérivée de la fonction . c) Dresser le tableau de variations de la fonction . d) Tracer la courbe représentative de la fonction .

Correction

a) Limite en -∞ : Comme limite d'une fonction composée : lim %→#1 =lim

2→)1

2 En effet, lorsque →-∞, on a : =- 2 Or, lim %→#1 Donc, limite d'un produit : lim %→#1

Limite en +∞ :

On reconnait une forme indéterminée du type " ∞×0 ».

Levons l'indétermination :

=2 6

Par croissance comparée, on a : lim

%→)1 3

En effet, lim

2→)1

3 2 =+∞, en considérant que = 2

Donc, lim

%→)1 3 =0, comme inverse de limite.

Et donc : lim

%→)1 2 3 =0

Soit : lim

%→)1 =0. =1× +×K- 1 2

L

, en effet : K L =K- 1 2

L

2 =K1- 2

L

c) Comme >0, est du signe de 1- 2 est donc positive sur l'intervalle -∞;2 et négative sur l'intervalle

2;+∞

On dresse le tableau de variations :

En effet :

2 =2 =2 2 d) -∞ 2 +∞ + 0 - -∞ 0quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32