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Chapitre 1 : 2D
Courbes Paramétrées et coordonnées polaires
Partie 2 : Courbes polaires
Un système de coordonnées représente un point du plan par un couple de nombres (réels en général) appelés coordonnées.
Systèmes de coordonnées dans un plan
Habituellement, on utilise des
coordonnées cartésiennes qui correspondent à des projections sur des axes perpendiculaires.
On peut également utiliser un système de
coordonnées introduit par Newton, appelé système de coordonnées polaires.
Pole et axe polaire
origine). Ontraceunrayon(demi-droite) partant deO, on l'appelle adže polaire. Cet axe est généralement tracé horizontalement vers la droite et correspond ă l'adže des abscisses (x) en coordonnées
Cartésiennes.
O poleaxe polaire
Coordonnées polaires
SiPestunpoint duplan(тO), soient :
rladistance deO àP.
radians) entrel'adže polaireetlaligne OP.
SiP =O, alorsr =0, onconvient que
(0, ș) representelepole pourtoute valeurdeș.
P estreprésentéparlecouple(r,ș).
r,șsontappeléscoordonnées polairesdeP. On étend la définition des coordonnées polaires(r,ș)au cas oùrest On convientque les points (-r,ș)et(r,ș)sont sur la même droite (radiale) passant par Oet à lamêmedistance | r | deO,maissur les côtés opposéspar rapport àO. Sir> 0, le point(r, ș) se trouve dansle mêmequadrant queș. Sir< 0,ilse trouvedansle quadrant situé du côtéopposépar rapport au pole.
Notonsque(r, ș)
représentele même point que(r, ș+ ʌ).
Coordonnées polaires
Exercice
Tracerlespoints de coordonnéespolaires:
a.(1, 5ʌ/4) b.(2, 3ʌ) c.(2, 2ʌ/3) d.(3, 3ʌ/4)
Solution
Le point (1, 5ʌ/4) :
Le point (2, 3ʌ):
Le point (2, 2ʌ/3) :
Le point (3, 3ʌ/4) :
Il estsituédansle 4èmequadrant.
angle 3ʌ/4 estdansle secondquadrant
etrestnégatif.
CARTÉSIENNES ET POLAIRES
En coordonnéesCartésiennes,chaquepointaune
représentationunique. Alorsque, encoordonnéespolaires,chaquepointa une infinité dereprésentations. Par exemple, le point (1, 5ʌ/4) deexercice précédentpeut : (1, 3ʌ/4), (1, 13ʌ/4), or(1, ʌ/4). Unpointde coordonnéespolaires(r, ș) (r, ș+ 2nʌ) et(-r, ș+ (2n + 1)ʌ)oùnestunentierrelatif quelconque. Lepassage descoordonnées polairesauxCartésiennes
Le pole correspond àorigine.
polairecoincide avecdes abscisses positives.
Sile point P a pour coordonnées
polaires (r, ș), sescoordonnées
Cartésiennes(x, y) sont :
cos sin xr yr T
CARTÉSIENNES ET POLAIRES
Pour trouverretșquandx etysont connus,onutilise les
équations:
Elle sont déduitesdeséquations
précédentesousimplement"lues» sur lafigure.
2 2 2tanyr x yx
CARTÉSIENNES ET POLAIRES
Exercices
1.Convertirles coordonnées polaires dupoint (2, ʌ/3) en
coordonnées Cartésiennes.
2.Représenterle point decoordonnées Cartésiennes(1, 1)
en termes de coordonnéespolaires.
Solution 1
Puisquer= 2etș= ʌ/3,
Donc,le point est(1, ) en coordonnées Cartésiennes.1cos 2cos 2 132
3sin 2sin 2. 332
xr yr T ST 3
Solution 2
Sionchoisitr> 0:
Commele point (1, 1) se trouve dansle 4èmequadrant, onpeutchoisirș= ʌ/4ouș= 7ʌ/4.
Aussi,uneréponsepossible est: ( , ʌ/4)
Uneautreréponsepossible est: ( ,7ʌ/4)
2 2 2 21 ( 1) 2
tan 1 r x y y x 22
Base comobile
Le vecteur position du point M dans R: OMest souvent noté r, on noteurle vecteur unitaire de même direction: r= rur= r (cosux+ sinuy), uvecteur unitaire orthogonal à ur(sens direct). (M, ur, u) forme un repère orthonormé direct comobile. u= cos(+/2) ux+ sin(+/2) uy= -sinux+ cosuy On voit facilement, en dérivant les coordonnées de uret upar rapport à que : O
Repère O, et de base
orthonormée directe (ux, uy). Le point Oest le pole et O,ux coordonnées polaires.
Les coordonnées cartésiennes xet yen
fonction des coordonnées polaires ret ș:
Courbespolaires
r= f(ș) [ou, plus généralement,
F(r, ș
moins une représentation polaire (r, ș), dont les coordonnées r =2 ?
cette courbe est constituée de tous les
points (r, ș) avec r = 2.
r représente la distance du point
au pole.
Donc, la courbe r = 2 est le cercle de
centre O et rayon 2.
En général, équation r = areprésente
un cercle de centre O et rayon |a|.
Exercice
Tracer la courbe polaire ș= 1.
Solution
Cettecourbe est constituéedetous lespoints (r, ș) tells que polaireșsoit1 radian. ladroitepassantparO et faisantun angle de1radian avec polaire.
Notonsque :
Lespoints (r, 1) de
cettedroiteavecr> 0 sont dansle 1erquadrant.
Les points (r, 1) avec r< 0 sont
dansle 3èmequadrant.
Exercice
a.Tracerlacourbe polairer= 2 cos ș. b.Trouver une équationCartésiennedecettecourbe.
Solution :
Pour commencer,nousindiquonslesvaleurs derpour certaines valeurs deș.
On traceles pointscorrespondantpour (r, ș).
Puis, on jointcespoints pourtracerla
courbecommesuit.
La courberessembleà un cercle.
On a seulementutilisé les valeurs deșcomprises entre0 et ʌsionlaisseșcroître au-delà deʌ, onretrouvelesmêmes points.
La courbesembleêtreun cercle.
Pourconvertirpolaire enCartésienne, onutilise:
x= rcos ș,donccos ș= x/r.
quation r= 2 cos șdevientr= 2x/r.
Ce qui donne: 2x =r2= x2+ y2oux2+ y2 2x= 0
En complétantlecarré, onobtiend: (x 1)2+y2=1
estcellecercle decentre(1, 0) et derayon1.
La figure montre que le cercle a
quationr =2 cosș.
angle OPQestun angle
droit, doncr/2 =cos ș.
Symétrie
Quandontrace une courbepolaire, ilest
quelquefoiscommode de tirer parti des symétries.
Sipolaireestinvariante
lorsqueșestremplacéparș, lacourbe estsymétriquepar rapportpolaire.
Lacourbeprécedentestsymétriquepar
polaire, puisquecos(ș)=cos ș. Cette propriété desymétrieaurait pu êtreutiliséepour tracerlacourbe. On a juste besoin de placer les points pour0 șʌ/2 et ensuite de faire une réflexion polaire pourobtenirle cerclecomplet.
Autressymétries
Siéquation estinvariantelorsquerest
remplacéparr, ou quandșestremplacé parș+ ʌ, lacourbe estsymétriquepar rapportaupole.
Ceci veut dire que lacourbe estinvariante
parrotationorigine.
Siéquation estinvariantequandșest
remplacéparʌș, lacourbe est symétriquepar rapport à laverticaleș= ʌ/2.
Exemple : parabole
Comme sinș= sin(ʌș), lacourbe estsymétriquepar rapport à la verticaleș= ʌ/2. Les valeursprisespar rsont:
Cecicorrespond à la courbetracéeau dessus
(paraboleverticale).
On le vérifieenpassant à cartésienne.
O r 01 /2 1
3/21/2
r(1 sin) =1, donc : r=1 + rsin En élevant au carré on a : r2=(1 + rsinsoit : x2+ y2= (1 + y) Après développement : x2+ y2=1 +2y+ yon voit que : x2=1 +2y= 2(1/2 + y) y sommet Sde la parabole. Si on note Y= y
Y= x2/2
Onretrouvedelaparabole.
S
Exercice
Tracerlacourbe r =1 +sinș.
Solution
On commence par tracer le graphedela fonction 1 +sinșen
Cartésiennes
haut.
rcorrespondant à
une valeur deș, et son sens de variation.
Par exemple, on voit que, lorsque
șaugmente de 0 à ʌ/2, r (la
distance de O) augmente de 1 à 2.
On en déduit la forme de la partie
correspondante de la courbe polaire.
Lorsque șaugmente de ʌ/2à ʌ,
la figure montre que rdécroit de 2
à 1.
On endéduitla formede la partie
suivantede la courbe.
Quandșcroitdeʌà3ʌ/2,r
décroitde1 à0.
Finalement, quandșpassede
3ʌ/2à2ʌ, rcroitde0 à1.
La courbe obtenue est appeléecardioïdeà cause de sa formede coeur.
Cettecourbe est symétriqueș= ʌ/2,du
fait quesin(ʌș) = sin ș
TANGENTES AUX COURBES POLAIRES
paramétriquesdelacourbe: vecteurtangentetlapente. x =r cos ș= f (ș) cos ș y =r sin ș= f (ș) sin ș dx/d=dr/dcos ș-rsin ș dy/d=dr/dsin ș+ rcos ș
Exemple
r= a(où a est une constante positive). Montrer que le vecteur unitaire tangent à la courbe au point Mest le vecteur que nous avons noté u.
Solution :
En remplaçant dans les équations de la page précédente on obtient : -à-dire ru, donc le vecteur tangent est de norme ret le vecteur unitaire tangent est u dx/d=-rsin ș dy/d=rcos ș Les tangenteshorizontalesse trouventaux points pour lesquelsdy/dș= 0 (pourvuque dx/dș0). De même, les tangentesverticalessontaux points où dx/dș= 0 (pourvuque dy/dș0).
TANGENTES AUX COURBES POLAIRES
sin cos cos sin dy drrdydd dx drdxrdd TTquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29
[PDF] Syst`emes de coordonnées