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Chapitre3

M´ethodesvariation nelles

3.1Exempl esdeprobl`emesvaria tionnels

3.1.1Leprobl `emedeDi richlet

SoitΩunouve rtborn´edeIR

d -Δu=f,dansΩ, u=0sur∂Ω, (3.1) o`uf?C( )etΔu=∂ 2 1 u+∂ 2 2 u,o`ul'ond´esignepar∂ 2 i ulad ´eriv´eepartielled'ordre2parrap ort`alai-`eme variable. D´efinition3.1Onap pellesolutionclassiq uede(3.1)unefonc tionu?C 2 )quiv´erifie(3.1).

Soitu?C

2 )unesol utionclassiquede(3.1), etsoit??C c ),o`uC c )d´esignel'ensembledesfonctions dec lasseC `as upp ort com pac tda nsΩ.Onmultiplie(3.1)par?eto nint`eg resurΩ(onappe lleraparlasuite? "fonctiontest"):onadonc: -Δu(x)?(x)dx= f(x)?(x)dx. deGr een),ona: -Δu(x)?(x)dx=- d i=1 2 i u(x)?(x)dx d i=1 i u(x)?(x)dx+ d i=1 i u·n i (s)?(s)dγ(s) o`un i

d´esignelai-`emecomposa nteduvecteurunitairenormal`al afront i`ere∂ΩdeΩ,etext´erieur`aΩ,etdγ

d´esignelesymboled'int´egrationsur∂Ω.Comme?estnull esur∂Ω,onobtient: d i=1 i u(x)∂ i ?(x)dx= f(x)?(x)dx. cequ is'´ecritenco re: ?u(x)·??(x)dx= f(x)?(x)dx.(3.2)

Donctoute solutionclassiq uede(3.1)satisfait(3.2)

Prenonsmaintenantc ommefonctiontest?,nonplusunefonctiondeC c ),maisunefonctiondeH 1 0 ).On rappellequel'espaceH 1 0 )estd´efi nicommel'adh´erencedeC c )dansH 1 )={u?L 2 );Du?L 2 o`uDud´esignelad´eriv´eefaib ledeu,voirparexemple[1].Onrappellequel'espaceH 1 )munidupro duit scalaire (u,v) H 1= u(x)v(x)dx+ d i=1 D i u(x)D i v(x)dx(3.3) 98

3.1.EXE MPLESCHAPITRE3.M

ETHODESVARIATIO NNELLES

estunesp acedeHil bert.Lesespaces H 1 )etH 1 0 )fontpartiedesespacesdits" deSobolev "(voir[1]pourune introduction). Si??H 1 0 ),pard´efinition,ilexiste(? n n?IN ?C c )telleque n →?dansH 1 lorsquen→+∞,

Soitencor e

n H 1=?? n 2 L 2+ ?D i n -D i 2 L

2→0lorsquen→+∞.

Pourchaqu efonction?

n ?C c )ona par( 3.2): N i=1 i u(x)∂ i n (x)dx= f(x)? n (x)dx,?n?IN.

Orl ai-`emed´eriv´eepartielle∂

i n n x i convergeversD i ?dansL 2 doncdans L 2 faiblelorsquentendvers∞, et? n tendvers?dansL 2 ).Onadonc: i u(x)∂ i n (x)dx→ i u(x)D i ?(x)dxlorsquen→+∞ et f(x)? n (x)dx→ f(x)?(x)dxlorsquen→+∞. L'´egalit´e(3.1.1)estdoncv´er ifi´eepourtoutefonctio n??H 1 0 ).Montronsmaintenantquesiuestsol ution classique(3.1)alorsu?H 1 0 ).Eneffet,siu?C 2 ),alorsu?C( )etdo ncu?L 2 );deplus∂ i u?C( donc∂ i u?L 2 ).Onadoncbienu?H 1 ).Ilreste`amontrerqueu?H 1 0 ).Pourcelaonrappelle(ouon Th´eor`eme3.2( Existenced el'op´erateurtrace)SoitΩunouvert(born´eounonborn´e)deIR d ,d≥1,defronti`ere ∂Ωlipschitzienne,alorsl'espaceC c )desfoncti onsdeclasseC et`asupportcompactdans

Ωestdens e

dansH 1 ).Onpeutdoncd´efinirparconti nuit´el'application"trace",quiestlin´eairecontinue deH 1 )dans L 2 (∂Ω),d´efiniepar:

γ(u)=u|

siu?C c etpa r

γ(u)=lim

n→+∞

γ(u

n )siu?H 1 ),u=lim n→+∞ u n ,o`u(u n n?IN ?C c Direquel' applicati on(lin´eaire)γestconti nueest´equivalent`adirequ'ilexisteC?IR telque ?γ(u)? L 2 H 1 pourt outu?Hquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39