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Analyse numérique des EDP - TD1 1

Master MAPI

31ereannée Université Paul Sabatier - Toulouse 3 Année 2015-2016

Analyse numérique des EDP

TD 1

Avec certains corrigés

Les numéros de Théorèmes, Propositions, etc ... font référence aux notes de cours.

Exercice 1 (Défaut de coercivité dansC1)On considèreX=fv2 C1([0;1]); v(0) =v(1) = 0gmuni de sa norme usuelle et l"énergieEdéfinie par

E(v) =12

Z 1 0 jv0j2dxZ 1 0 fv dx; oùfest une fonction continue qui est identiquement nulle sur un intervalle non trivial[;][0;1]. Montrer qu"il existe une suite(vn)nd"éléments deXde la forme v n(x) =1pn '(n(xx0)); avec'etx0bien choisis, telle que(E(vn))nest bornée maiskvnkX!n!11.Corrigé :

On prendx0=+2

,'une fonctionC1c(R)à support dans]1;1[non identiquement nulle. Ainsi la fonctionvnest bien nulle en0et1pour toutnassez grand. On a immédiatement, pour nassez grand,kvnkL1=k'kL1pn etkv0nkL1=pnk'0k1. On a donc bienkvnkX!

1quandn! 1.

Calculons l"éner giede vn

E(vn) =k2

Z 1 0 jv0n(x)j2dxZ 1 0 f(x)vn(x)dx:

Par hypothèse surf, et par construction devn, les supports defet devnsont disjoints et donc le second terme est

nul. Il nous reste donc à évaluer la première intégrale. On utilise la définition devnet un changement de variable

y=n(xx0)

E(vn) =k2

Z R nj'0(n(xx0))j2dx=k2 Z R j'0(y)j2dy:

Ainsi la suite(E(vn))nest bien bornée (elle est même constante sur cet exemple!!).Exercice 2 (Défaut de complétude dansC1)On considère toujours l"espaceX=fv2 C1([0;1]); v(0) =v(1) = 0gmais muni, vette fois, de la norme

kvkH1=qkvk2L2+kv0k2L2.

Vérifier que la suite(un)ndéfinie par

u n(x) =s x12 2 +1n r1 4 +1n est une suite de Cauchy non convergente dans(X;k kH1).Corrigé :

Commençons par montrer que la suite (un)nn"est pas convergente dans(X;kkH1). Pour cela, on suppose qu"elle

converge vers un certainu2X. D"après le lemmeI.8 , ceci implique que,unconverge uniformément versusur

[0;1]. En particulier, on aurait la convergence simple deunversusur[0;1]. On voit alors immédiatement que cela impliqueu(x) =x12 12 . Or, cette fonctionun"est pas de classeC1sur [0;1]à cause de la singularité enx=12 . Ceci établit donc une contradiction.

F. BOYER- VERSION DU29JANVIER2016

2 Analyse numérique des EDP - TD1

Montrons maintenant que (un)nest de Cauchy dansH1. Pour cela on commence par utiliser le lemmeI.8 pour

établir que,unetun+pétant dansX, on a

Ainsi, pour montrer le critère de Cauchy dansH1pour(un)nil suffit de vérifier que(u0n)est de Cauchy dansL2.

Calculons doncu0nu0n+p

0n(x)u0n+p(x) =x1=2q

(x1=2)2+1n x1=2q (x1=2)2+1n+p = (x1=2)q(x1=2)2+1n+pq(x1=2)2+1nq (x1=2)2+1n q(x1=2)2+1n+p (x1=2)

1n+p1n

q (x1=2)2+1n q(x1=2)2+1n+p q(x1=2)2+1n +q(x1=2)2+1n+p

On prend la valeur absolue de cette expression et on essaie de majorer intelligemment les différents termes. Comme

on sait qu"il n"y a pas convergence uniforme de cette suite de fonctions (car sinon la limiteu0serait continue ...), la

majoration qu"on doit obtenir doit encore dépendre dex! De façon plus précise, on utilise les inégalités p(x1=2)2+ 1=(n+p) jx1=2j et p(x1=2)2+ 1=(n+p) +p(x1=2)2+ 1=np(x1=2)2+ 1=n:

Il vient ainsi

ju0n(x)u0n+p(x)j 1n (x1=2)2+1n 1n

1(x1=2)2+1n

18 1n 11 n 78

1jx1=2j14

=1n

1=81jx1=2j14

Si maintenant on élève l"inégalité au carré et qu"on l"intègre entre0et1, il vient Z 1 0 ju0nu0n+pj2dx1n 1=4Z 1

01jx1=2j12

dx:

Comme l"intégrale qui apparaît dans le membre de droite est convergente (c"est une intégrale de Riemann), on a

bien montré ku0nu0n+pkL2Cn 18

ce qui prouve bien que la suite(u0n)nest de Cauchy dansL2, et donc que(un)nest de Cauchy dans(X;k kH1)

d"après la remarque initiale.Exercice 3 (FonctionsC1par morceaux)SoitIun intervalle ouvert borné deRet2I. Montrer qu"il n"existe pas de fonctiong2L2(I)telle que

'() =Z I 'g dx;8'2 C1c(I): En déduire que sif:I!Rest une fonction de classeC1par morceaux, alors f2H1(I)()fest continue:

Que vaut la dérivée faible defdans le cas où elle appartient àH1(I)?F. BOYER- VERSION DU29JANVIER2016

Analyse numérique des EDP - TD1 3

Corrigé :

Il s"agit d"un raisonnement par l"absurde. On suppose qu"il existe une fonctiongqui vérifie l"égalité de l"énoncé

'() =Z I 'g dx;8'2 C1c(I):

On va construire une suite de fonctions'n2 C1c(I)telle que'n() = 1pour toutnet telle que les intégralesR

I'ng dx

tendent vers0.

Il s"agit de les choisir de plus en plus concentrée autour de. Plus précisément, on fixe unr >0tel que[r;+r]

Iet on va fixer une fonction 2 C1c(I)vérifant () = 1etSupp [r;+r](une telle fonction existe, voir le

lemme II.12 du cours).

On définit alors

n(x) = (n(x));8x2I:

On vérifie alors que

n() = 1;8n1

Supp'n[r=n;+r=n]I;

et donc ce sont bien des fonctions à support compact dansI. De plus, comme les supports se concentrent autour de,

nous avons n(x)!n!10;8x6=:

Comme par ailleurs, nous pouvons écrire

j'n(x)g(x)j k k1jg(x)j; et queg2L1(I), on peut appliquer le théorème de convergence dominée et en déduire que Z I ng dx!n!10; ce qui constitue bien une contradiction.

Pour la seconde partie du résultat, on se donne une fonctionfde classeC1par morceaux. Pour simplifier (mais cela ne

change rien en pratique) nous supposons que la fonctionfa un seul point de discontinuité. Ainsi siI=]a;b[, on suppose

qu"il existe2Ietfg;fdde classeC1surRtout entier tels que f=fg;sur[a;[; f=fd;sur];b]:

Ceci implique (voir la figure

1 ) en particulier quefadmet des limites à gauche et à droite ennotéesf()etf(+)et qui vérifient f(+) = limx!x>f(x) =fd(); f() = limx!x

Ix=f()f(+)f

gf df

FIGURE1 - Une fonction de classeC1par morceaux

F. BOYER- VERSION DU29JANVIER2016

4 Analyse numérique des EDP - TD1

On se donne maintenant une fonction test'2 C1c(I)et on calcule à l"aide de la relation de Chasles et d"une

intégration par parties sur chacun des deux intervalles : Z I f'0dx=Z a f'0dx+Z b f'0dx Z a f g'0dx+Z b f d'0dx = [fg']aZ a f0g'dx[fd']bZ b f0d'dx = [f()f(+)]'()Z b a (f0g1[a;]+f0d1[;b])'dx: On a utilisé ici que la fonction test's"annule aux bornes de l"intervalle'(a) ='(b) = 0.

Le second terme est bien de la forme recherchée (une intégrale d"une fonction deL2contre la fonction test'). Ainsi,

la fonctionfsera dansH1si et seulement si on peut mettre sous la même forme le premier terme. Or la première partie

de l"exercice nous dit que cela n"est possible que si ce terme est nul, c"est-à-dire si le saut defenest nul, c"est-à-dire

si et seulement si f(+) =f(): Cette condition est exactement la condition de continuité def. Ainsi, sifest continue elle est bien dansH1et sa dérivée faible vaut xf(x) =( f0g(x)six < f

0d(x)six > :

On constate que celle-ci n"est pas bien définie au pointce qui n"est pas surprenant car il s"agit d"une fonction deL2

(qui n"est donc bien définie qu"à un ensemble de mesure nulle près).Exercice 4 (Dérivation d"un produit)

SoitIun intervalle ouvert borné deR. Montrer que le produit de deux fonctionsu;v2H1(I)est encore un

élément deH1(I)et on a l"identité suivante (au sens faible) x(uv) = (@xu)v+u(@xv): En particulier, on peut intégrer par parties au sens faible Z b a (@xu)v dx= (uv)(b)(uv)(a)Z b a u(@xv)dx;8[a;b]I:

Corrigé :

Il s"agit ici d"utiliser les propriétés de densité des fonctions régulières dansH1. Ainsi, siu;vsont deux éléments de

1(I), le ThéorèmeI.12 nous dit qu"il e xistedeux suites de fonctions (un)n;(vn)n C1(I)qui convergent dansH1

versuetvrespectivement. D"après la définition de la normeH1, cela signifie kunukL2!n!10; k@xun@xukL2!n!10; kvnvkL2!n!10; k@xvn@xvkL2!n!10: Pournfixé, nous avons bien la formule de dérivation usuelle (unvn)0=u0nvn+unv0n;

et donc, pour une fonction test'2 C1c(I)fixée, nous pouvons intégrer par parties et obtenir la formule

Z I u nvn'0dx=Z I (u0nvn+unv0n)'dx=Z I (@xunvn+un@xvn)'dx: On souhaite maintenant justifier le passage à la limite dans cette égalité.

F. BOYER- VERSION DU29JANVIER2016

Analyse numérique des EDP - TD1 5

Pour le premier terme, on peut écrire par exemple, en utilisant l"inégalité de Cauchy-Schwarz,

Z I uquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Analyse numérique des EDP - TD1 1

Master MAPI

31ereannée Université Paul Sabatier - Toulouse 3 Année 2015-2016

Analyse numérique des EDP

Avec certains corrigés

E(v) =12

On prendx0=+2

1quandn! 1.

Calculons l"éner giede vn

E(vn) =k2

E(vn) =k2

Vérifier que la suite(un)ndéfinie par

F. BOYER- VERSION DU29JANVIER2016

2 Analyse numérique des EDP - TD1

établir que,unetun+pétant dansX, on a

Calculons doncu0nu0n+p

0n(x)u0n+p(x) =x1=2q

1n+p1n

Il vient ainsi

1(x1=2)2+1n

1(x1=2)2+1n

1jx1=2j14

1=81jx1=2j14

01jx1=2j12

Analyse numérique des EDP - TD1 3

Corrigé :

I'ng dx

On définit alors

On vérifie alors que

Supp'n[r=n;+r=n]I;

Comme par ailleurs, nous pouvons écrire

Ceci implique (voir la figure

Ix=f()f(+)f

FIGURE1 - Une fonction de classeC1par morceaux

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4 Analyse numérique des EDP - TD1

0d(x)six > :

Corrigé :

1(I), le ThéorèmeI.12 nous dit qu"il e xistedeux suites de fonctions (un)n;(vn)n C1(I)qui convergent dansH1

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Analyse numérique des EDP - TD1 5