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Exercices sur le Barycentre et lignes de niveaux

1°) Déterminer k pour que la ligne de niveau k de f passe par le barycentre I des points pondérés (A,1) ; (B,–3) 2°) Soit G le centre de gravité du triangle ABC

Lignes de niveau : exercices

Lignes de niveau : exercices Exercice 1 ABC est un triangle Quel est l’ensemble des points M du plan tels que : a) 2 2 1 AM

Réduction dendomorphismes (corrigé niveau 2)

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LANGAGE C Exercices corrigés 1

Exercice 3 : Ecrivez un programme qui calcule les solutions réelles d'une équation du second degré ax2+bx+c = 0 en discutant la formule Utilisez une variable d'aide D pour la valeur du discriminant b2-4ac et décidez à l'aide de D, si l'équation a une, deux ou aucune solution réelle Utilisez des variables du type int pour A, B et C

NOM : BARYCENTRES 1ère S

NOM : BARYCENTRES 1ère S Exercice 15 Soit ABCun triangle isocèle en Atel que BC= 8 cmet BA= 5 cm Soit Ile milieu de [BC] 1) Placer le point Ftel que BF= 1 3 BAet montrer que Fest le barycentre des points Aet Bpondérés par

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Exercice 4 : WBS Réaliser la numérotation WBS du projet en tenant compte de ce que le premier niveau correspond au nom du projet qui sera CRM, ensuite les niveaux suivants seront en fonction de l’indentation des tâches L’énonçé ainsi que la solution de l’exercice 4 se trouvent dans la vidéo qui est en ligne :

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Exercice 3 : code de Manchester On va étudier ici les deux formes de codage Manchester • On rappelle que pour le Manchester (normal), un signal partant de V1 au début du temps bit et finissant en V 0 correspond à un bit à 1, s’il part de V0 pour terminer en V1, il correspond à un bit à 0

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NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 1

ABCDest un quadrilatère etGest le barycentre de(A; 1),(B; 1),(C; 3)et(D; 3).

Construire le pointG. Expliquer.

IllustrationD. LE FUR 1/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 2

ABCest un triangle.

1)Gest le barycentre de(A; 1),(B; 2)et(C; 3). Construire le pointG. Expliquer.

2)G0est le barycentre de(A; 1),(B; 3)et(C;3). Construire le pointG0. Expliquer.

3)Démontrer que(AG0)est parallèle à(BC).

IllustrationD. LE FUR 2/ 50

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Exercice 3

Best le milieu de[AC].

Démontrer que le barycentre de(A; 1)et(C; 3)est confondu avec celui de(B; 2)et(C; 2).

IllustrationD. LE FUR 3/ 50

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Exercice 4

Dans le triangleABC,Eest le milieu de[AB]etGest le barycentre de(A;2),(B;2)et(C; 15).

Démontrer queG,CetEsont alignés.

IllustrationD. LE FUR 4/ 50

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Exercice 5

On considère un triangleABCet l"on désigne parGle barycentre de(A; 1),(B; 4)et(C;3).

1)Construire le barycentreIde(B; 4)et(C;3).

2)Montrer que!GA+!GI=!0.

En déduire la position deGsur(AI).

IllustrationD. LE FUR 5/ 50

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Exercice 6

ABCest un triangle. On noteGle barycentre de(A; 2),(B; 1)et(C; 1). Le but de cet exercice est de déterminer la position précise du pointG.

1)SoitIle milieu de[BC]. Montrer que!GB+!GC= 2!GI.

2)En déduire queGest le barycentre deAetImunis de coefficients que l"on précisera.

3)Conclure.

IllustrationD. LE FUR 6/ 50

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Exercice 7

Une balance est constituée d"une masseMet d"un plateau fixé aux extrémités d"une tige. Pour peser une masse

m, le vendeur place à une position précise un crochet sur la tige. Cette balance a l"avantage pour le commerçant

de ne pas manipuler plusieurs masses.

1)Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochetGsur le segment[AB]pour réaliser l"équilibre?

(M= 2kg)On pourra reproduire ces schémas à l"échelle de son choix.

2)Le pointGest tel que!AG=23

!AB. Quelle est la massempesée? (M= 2kg)D. LE FUR 7/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 8

ABCDest un quadrilatère. On noteGson isobarycentre. Le but de cet exercice est de préciser la position deG.

1)On noteIle milieu de[AB]etJle milieu de[CD].

Montrer queGest le barycentre deIetJmunis de coefficients que l"on précisera.

2)Conclure et faire une figure.

IllustrationD. LE FUR 8/ 50

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Exercice 9

1)Placer dans un repère les pointsA(1 ; 2),B(3 ; 4)etC(2 ; 5).

SoitGle barycentre des points pondérés(A; 3),(B; 2)et(C;4).

2)Quelles sont les coordonnées deG? PlacerG.

3)La droite(BG)passe-t-elle par l"origine du repère? Justifier.

IllustrationD. LE FUR 9/ 50

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Exercice 10

Étant donné un triangleABCetkun rél non nul donné, on définit les pointsDetEpar les relations :

!AD=k!ABet!CE=k!CA.

1)Faire une figure illustrant ces données lorsquek=13

, puis lorsquek=1.

2)Démontrer queDest le barycentre de(A; 1k)et(B;k).

3)Démontrer queEest le barycentre de(C; 1k)et(A;k).

4)En déduire que pour tout pointMdu plan, on a :

MD+!ME=!MA+!MC+k!CB= 2!MB0+k!B0C0

oùB0etC0sont les milieux respectifs de[AC]et[AB].

5)SoitIle milieu de[DE]. Déduire de la question précédente queI,B0etC0sont alignés.

IllustrationD. LE FUR 10/ 50

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Exercice 11

ABCest un triangle. SoitGle barycentre de(A; 1),(B; 3)et(C;3). Démontrer que les droites(AG)et(BC)sont parallèles.

IllustrationD. LE FUR 11/ 50

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Exercice 12

ABCest un triangle. On considère le barycentreA0de(B; 2)et(C;3), le barycentreB0de(A; 5)et(C;3) et le barycentreC0de(A; 5)et(B; 2). Démontrer que les droites(AA0),(BB0)et(CC0)sont concourantes. Indication : on pourra considérer le barycentreGde(A; 5),(B; 2)et(C;3).

IllustrationD. LE FUR 12/ 50

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Exercice 13

ABCest un triangle de centre de gravitéG. On noteI,J,M,N,RetSles points définis par :!AI=13 !AB;!AJ=23 !AB; AM=13 !AC;!AN=23 !AC; BR=13 !BC;!BS=23 !BC. Démontrer que les droites(IS),(MR)et(NJ)sont concourantes enG.

IllustrationD. LE FUR 13/ 50

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Exercice 14

SoitABCun triangle équilatéral de côté3cm.

1)Placer, en justifiant, le barycentreZde(A; 1),(B; 3)et(C;3).

2)Montrer que les droites(AZ)et(BC)sont parallèles.

IllustrationD. LE FUR 14/ 50

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Exercice 15

SoitABCun triangle isocèle enAtel queBC= 8cmetBA= 5cm. SoitIle milieu de[BC].

1)Placer le pointFtel que!BF=13

!BAet montrer queFest le barycentre des pointsAetBpondérés par des réels que l"on déterminera.

2)Pétant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :

12 !PB+12 !PC; !PA+ 2!PB; 2 !PB2!PA.

3)Déterminer et représenter l"ensemble des pointsMdu plan vérifiant :

12 !MB+12 !MC !MA+ 2!MB

4)Déterminer et représenter l"ensemble des pointsMdu plan vérifiant :

!NB+!NC

2!NB2!NA

IllustrationD. LE FUR 15/ 50

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Exercice 16

SoitABCun triangle.Yest le milieu de[BC].

1)Placer, en justifiant, le barycentreUde(A; 4)et(C; 1)puis placer le barycentreEde(A; 4)et(B; 1).

2)SoitGle barycentre de(A; 4),(B; 1)et(C; 1). Montrer queGest aussi barycentre de(E; 5)et(C; 1).

3)Démontrer que les droites(EC),(AY)et(BU)sont concourantes.

IllustrationD. LE FUR 16/ 50

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Exercice 17

Dans un repère(O;!i ;!j), placer les pointsA(2 ; 1),B(1 ; 5),C(5 ; 7)etG(1 ;52

1)Déterminer les coordonnés de l"isobarycentreIdes pointsBetC.

2)Déterminer les coordonnées du centre de gravitéHdu triangleABC.

3)Existe-t-il un réelktel queGsoit barycentre de(A; 1)et(B;k)? Justifier.

IllustrationD. LE FUR 17/ 50

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Exercice 18

SoitABCun triangle etGun point vérifiant :

!AB4!GA2!GB3!GC=!0: Le pointGest-il le barycentre des points pondérés(A; 5),(B; 1)et(C; 3)? Justifier.

IllustrationD. LE FUR 18/ 50

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Exercice 19

SoientAetBdeux points distincts etGle barycentre de(A;),(B;)avec+6= 0.

Démontrer l"équivalence :

G2[AB]()etsont de mêmes signes.

IllustrationD. LE FUR 19/ 50

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Exercice 20

SoitABCDun carré etKle barycentre des points pondérés(A; 2),(B;1),(C; 2)et(D; 1). On noteIle barycentre des points pondérés(A; 2)et(B;1), etJcelui de(C; 2)et(D; 1).

1)PlacerIetJen justifiant.

2)Réduire l"écriture des vecteurs suivants :

2!KA!KBet2!KC+!KD.

En déduire queKest le barycentre de(I; 1)et(J; 3).

3)PlacerKen justifiant.

IllustrationD. LE FUR 20/ 50

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Exercice 21

On considère un segment[AB]de médiatrice(d). SoientCetDdeux points de(d)etGl"isobarycentre deA,B,CetD.

Démontrer queGest sur(d).

IllustrationD. LE FUR 21/ 50

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Exercice 22

A B C DI J GABCDest un quadrilatère.Gest le centre de gravité du triangleABC.IetJsont les milieux respectifs de[AB]et[BC].

Lest le barycentre de(A; 1)et(D; 3)etKcelui de

(C; 1)et(D; 3). Le but de l"exercice est de démontrer que les droites (IK),(JL)et(DG)sont concourantes. Pour cela, on utilisera le pointHbarycentre de(A; 1), (B; 1),(C; 1)et(D; 3).

1)Placer, en justifiant, les pointsLetK.

2)Démontrer queHest le barycentre deGetDmu-

nis de coefficients que l"on précisera.

3)Démontrer queHest le barycentre deJetLmu-

nis de coefficients que l"on précisera.

4)Démontrer queHest le barycentre deIetKmu-

nis de coefficients que l"on précisera.

5)Conclure.

IllustrationD. LE FUR 22/ 50

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Exercice 23

ABCDEest une pyramide à base carréeBCDE.

SoitGl"isobarycentre deA,B,C,DetE.

On noteOle centre du carréBCDE, c"est-à-dire l"intersection des diagonales(CE)et(BD).

1)Démontrer queOest l"isobarycentre deBCDE.

2)Démontrer queGest le barycentre de(O; 4)et(A; 1).

3)SoitG1le centre de gravité du triangleABEetIle milieu de[CD]. Démontrer queGest sur(G1I).

Pour cet exercice, une figure est recommandée.

IllustrationD. LE FUR 23/ 50

NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 24

ABCest un triangle de centre de gravitéG.

On noteI,JetKles milieux respectifs de[BC],[AC]et[AB].

On définit les pointsP,Q,R,S,UetVpar :!AP=13

!AB;!AQ=23 !AB; AR=13 !AC;!AS=13 !AC; BU=13 !BC;!BV=23 !BC. On note :A0= (QU)\(SV);B0= (SV)\(RP);A0= (RP)\(QU).A B C P QR S U VG IJKA 0B

0C01)Démontrer queAQA0Sest un parallélogramme.

2)En déduire que!AA0= 2!AG, puis queGest le milieu de[AA0].

3)On démontre, de même, queGest le milieu de[BB0]et de[CC0]. Démontrer queGest le centre de gravité

du triangleA0B0C0

IllustrationD. LE FUR 24/ 50

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Exercice 25

ABCDest un tétraèdre etGest le barycentre de(A; 4),(B; 1),(C; 1)et(D; 1). On noteHle centre de gravité du triangleBCD, c"est-à-dire l"isobarycentre deB,CetD.

1)Démontrer queGest le barycentre de(H; 3)et(A; 4).

2)Situer le pointGsur la droite(AH).

Pour cette figure, une figure est recommandée.

IllustrationD. LE FUR 25/ 50

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Exercice 26

A B C P QR S U V

GABCest un triangle de centre de gravitéG.

On définit les pointsP,Q,R,S,UetVpar :!AP=13

!AB;!AQ=23 !AB; AR=13 !AC;!AS=13 !AC; BU=13 !BC;!BV=23 !BC.

1)Démontrer quePest le barycentre de(A; 2)et(B; 1)et queVest le barycentre de(C; 2)et(B; 1).

2)En déduire queGest le milieu de[PV].

3)On démontre, de même, queGest le milieu de[RU]et de[SQ](inutile de refaire les calculs). Démontrer

queRPUVest un parallélogramme.

IllustrationD. LE FUR 26/ 50

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