[PDF] Chapitre 1 Logique et raisonnements

Le raisonnement par labsurde - Sciencesconforg

Le raisonnement par l'absurde repose sur : le principe du tiers exclu le principe de non-contradiction Pour démontrer qu'une proposition A est vraie, un raisonnement par l'absurde consiste à démontrer que sa négation non( A) est fausse Cas 1 (non (A) =)C) et non ( C) où C est une proposition Cas 2 non (A) =)(C et non (C)) où C est une

Raisonnement par l’absurde - pagesperso-orangefr

Raisonnement par l’absurde Pour prouver qu’une proposition P est vraie, on suppose que P est fausse et on aboutit à une contradiction Exemple 1 Démontrons par l’absurde que 0 n’a pas d’inverse On suppose que 0 a un inverse a, alors a ×0 = 1 Or, 0×a = 0, on aboutit donc à 0 = 1, ce qui est absurde Donc 0 n’a pas d’inverse

Chapitre 1 Logique et raisonnements

M´ethode 1 3 — Comment d´emontrer une proposition par l’absurde Pour d´emontrer qu’une proposition P est vraie, on peut utiliser un raisonnement par l’absurde Pour cela, on suppose que P est fausse et on d´emontre que l’on aboutit alors `a une contradiction

68 Différents types de raisonnement en mathématiques

12 Leçon n°68 Différents types de raisonnement en mathématiques 68 5Raisonnement par l'absurde Dénition 68 10 Raisonnement par l'absurde Le raisonnement par l'absurde pour montrer l'im-plication « P ) Q » repose sur le principe suivant : on suppose à la fois que P est vraie et que Q est fausse et on cherche une contradiction

1 Logique – Raisonnement 30

13 2=Q par un raisonnement par l’absurde Quel schéma de raison-nement est adapté? Je suppose que p 13 est rationnel et je cherche une contradiction Je suppose que p 13 est irrationnel et je cherche une contradiction J’écris 13 = p q (avec p,q entiers) et je cherche une contradiction J’écris p 13 = p

Les différents modes de raisonnement Pour défendre une thèse

Le syllogisme est une forme de raisonnement inductif : Vrai Faux 3 Le raisonnement par l’absurde est en quelque sorte un faux raisonnement concessif : Vrai Faux 4 Le raisonnement de la pente glissante est basé sur les conséquences : Vrai Faux

Pour tous ces exercices , faire l’effort d’appliquer le

2) Reprendre la démonstration précédente mais en utilisant un raisonnement par l’absurde Exercice 3 Montrer par disjonction des cas que pour tout entier naturel n non nul, Exercice 4 1) Montrer en utilisant la contraposée que si pour tout n , alors x , y et z sont soit tous les trois impairs soit deux sont pairs

Feuille 3 : Bases de logique - Claude Bernard University Lyon 1

On veut d´emontrer par l’absurde la propri´et´e suivante : Il y a deux de ces r´eels qui sont distants de moins de 1 n 1 Ecrire a l’aide de quantificateurs et des valeurs xixi1 une formule logique ´equivalente a la propri´et´e 2 Ecrire la n´egation de cette formule logique 3

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LOGIQUE ET RAISONNEMENTS3??

Le d'exposer théorie ?les incontournables ?manipuler les quantificateurs ?raisonner par implication ou par ´equivalence ?utiliser un raisonnement par l"absurde ou par contraposition ?effectuer un raisonnement par r´ecurrence simple ou double ?et plus si affinit´es ?appliquer une r´ecurrence forte ?raisonner par analyse-synth`ese ??4CHAPITRE 1

Manipulerȱlesȱquantificateurs.ȱ

R´esum´e de cours

?Notions de logique

D´efinition : Proposition -.Uneproposition(ou assertion) est un ´enonc´e math´ematique qui

peut prendre deux valeurs : vrai (V) ou faux (F). D´efinition : N´egation d"une proposition -.Soitune proposition. On appellen´egationde et on note la proposition d´efinie par : ? est vraie lorsqueest fausse; ? est fausse lorsqueest vraie. D´efinition : Conjonction de deux propositions -.Soitetdeux propositions. On appelle conjonction deetla proposition not´ee , et d´efinie de la mani`ere suivante : ? est vraie lorsqueetsont vraies; ? est fausse lorsque l"une au moins des deux propositions est fausse. D´efinition : Disjonction de deux propositions -.Soitetdeux propositions. On appelle disjonction deetla proposition not´ee , et d´efinie de la mani`ere suivante : ? est vraie lorsque l"une au moins des deux propositions est vraie; ? est fausse lorsqueetsont fausses. D´efinition : Implication -.Soitetdeux propositions. On appelle implication deparla proposition . Cette proposition se note.

Vocabulaire :la propositionse lit

impliqueou encoresialors Remarque :lorsqueest vraie, on dit queest unecondition suffisantepour avoir, ou queest unecondition n´ecessairepour avoir. D´efinition : R´eciproque -.Soitetdeux propositions. On appelle r´eciproque de l"implication.

D´efinition :

´Equivalence -.Soitetdeux propositions. On appelle ´equivalence deetla propositionet. Cette proposition se note.

Vocabulaire :la propositionse lit

si et seulement si. Remarque :lorsqueest vraie,est unecondition n´ecessaire et suffisantepour avoir . Ainsi, les ´equivalences sont les conditions n´ecessaires et suffisantes. Table de v´erit´e des connecteurs logiques : PQ

VVFVVVV

VFFFVFF

FVVFVVF

FFVFFVV

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS5??

Remarque :d"apr`es cette table de v´erit´e, sietsont vraies alorsest vraie. C"est le principe de d´eduction D´efinition : Contrapos´ee -.Soitetdeux propositions. On appelle contrapos´ee de l"implica- tionl"implication T h ´e o r `e m e 1 . 1 . -Soitetdeux propositions. L"implicationet sa contrapos´ee sont

´equivalentes. Autrement dit :

Proposition 1.2.-Soitetdeux propositions. Alors :

?Quantificateurs

D´efinition :Soit()une propri´et´e d´ependant d"un param`etre, o `uest un ´el´ement d"un en-

semble.

Quantificateur universel :Pour signifier que la propri´et´e()est vraie pour tous les ´el´ements

de, on ´ecrit : Le symboleest appel´equantificateur universelet se litquel que soit. Quantificateur existentiel -.Pour signifier que la propri´et´e()est vraie pour au moins un ´el´ementde, on ´ecrit : Le symboleest appel´equantificateur existentielet se litil existe. Proposition 1.3.- N´egation des propositions avec quantifi cateurs -. ?La n´egation de la proposition ()est: () ?La n´egation de la proposition ()est: () Remarque :attention, l"ordre des quantificateurs est tr`es important. Lorsque plusieurs quantifi- cateurs apparaissent dans une proposition, on ne peut pas intervertir leur ordre sans changer (en g´en´eral) le sens de la proposition. Pour s"en convaincre, on pourra consulter leVrai/Faux. ??6CHAPITRE 1 ?Raisonnement par r´ecurrence Th´eor`eme 1.4.- Propri´et´e fondamentale de-.Toute partie non vide deadmet un plus petit ´el´ement. Th´eor`eme 1.5.- Principe de r´ecurrence -.Soit() une proposition d´ependant de, et 0 . Si

Initialisation :la proposition(

0 ) est vraie,

H ´e r ´e d i t ´e :pour tout entier?

0 ,() implique(+ 1); alors la proposition() est vraie pour tout entier? 0 Th´eor`eme 1.6.- R´ecurrence double -.Soit() une proposition d´ependant de, et 0 . Si

Initialisation :les propri´et´es(

0 ) et( 0 + 1) sont vraies,

H ´e r ´e d i t ´e :pour tout entier?

0 ,(() et(+ 1)) implique(+ 2); alors la proposition() est vraie pour tout entier? 0 Th´eor`eme 1.7.- Principe de r´ecurrence forte (ou r´ecurr ence avec pr´ed´ecesseurs) -.Soit () une proposition d´ependant de, et 0 . Si

Initialisation :la proposition(

0 ) est vraie,

H ´e r ´e d i t ´e :pour tout entier?

0 0 ) et( 0 +1) etet()? implique(+1); alors la proposition() est vraie pour tout entier? 0

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS7??

M´ethodes

?D´emontrer une proposition M´ethode 1.1.- Comment d´emontrer une proposition par d´eduction Sietsont vraies, alorsest vraie. C"est leprincipe de d´eduction. C"est un principe tr`es simple que l"on utilise en permanence : si l"on sait qu"une propositionest vraie (propri´et´e du cours, r´esultat d"une question ant´erieu re...) et que l"on sait d´emontrer , alors on a d´emontr´e que la propositionest vraie.

Exemple :montrer que, pour tout,

2 4+50. On a 2 4+5= 2

4+4+1=(2)

2 +1. Or, (2) 2 ?0 (le carr´e d"un r´eel est positif) et 10. Par cons´equent, (2) 2 +10, c"est-`a-dire 2 4+50.

Mise en oeuvre : tous les exercices!

M´ethode 1.2.- Comment d´emontrer une proposition par disjonction de cas On est parfois amen´e `a distinguer plusieurs cas pour d´emontrer qu"une proposition est vraie. C"est le principe d"une d´emonstration pardisjonction de cas. En particulier, si l"on souhaite d´emontrer qu"une proposition() est vraie pour tous les ´el´ementsd"un ensemble, on peut prouver la proposition pour tous les ´el´ements d"une partiede, puis pour les ´el´ements den"appartenant pas `a.

Exemple :montrer que, pour tout,

(+1) 2 est un entier naturel.

Soit. On va d´emontrer que

(+1) 2 en distinguant les caspair ou impair.

Siest pair, on peut ´ecrire=2, o `u. Alors

(+1) 2

2(2+1)

2 =(2+ 1)

Siest impair, on a=2+ 1 , o `u. Alors

(+1) 2 (2+1)(2+2) 2 = (2+1)(+1)

Finalement, pour tout entier naturel,

(+1) 2

Mise en oeuvre : exercice 1.5, exercice 1.6.

M´ethode 1.3.- Comment d´emontrer une proposition par l"ab surde Pour d´emontrer qu"une propositionest vraie, on peut utiliser unraisonnement par l"absurde. Pour cela, on suppose queest fausse et on d´emontre que l"on aboutit alors `a une contradiction. Exemple :montrer qu"il n"existe pas d"entier naturel sup´erieur `a tous les autres. Nous allons d´emontrer cette proposition en raisonnant par l"absurde. Pour cela, on suppose qu"il existe un entier naturel 0 sup´erieur `a tous les autres. On a alors, pour tout,? 0 . La relation est donc vraie pour l"entier= 0 + 1, donc 0 +1? 0 ; d " o `u 1?0, ce qui est faux! Par cons´equent, il n"existe pas d"entier naturel sup´erieur `a tous les autres.

Mise en oeuvre : exercice 1.9, exercice 1.12.

??8CHAPITRE 1 ?D´emontrer une implication M´ethode 1.4.- Comment d´emontrer une implication par raisonnement direct Pour montrer directement l"implication, on suppose queest vraie et on d´emontre queest vraie. La d´emonstration commence par supposons queest vraie et se termine parest vraie.

Exemple :d´emontrer que, pouretr´eels,

2 2

Soitetdeux r´eels tels que

2 2 . On a donc 2 2 = 0, soit ()(+) = 0. Par cons´equent,= 0 ou+= 0. Ainsi,=ou=, ce qui signifie que=(et sont ´egaux ou oppos´es). On a donc d´emontr´e l"implication attendue. M´ethode 1.5.- Comment d´emontrer une implication par cont raposition Le raisonnement par contraposition est bas´e sur let h ´e o r `e m e 1 . 1: l"implicationest ´equivalente `a sa contrapos´ee Ainsi, pour montrer que l"implicationest vraie, on peut prouver que l"implication est vraie. En pratique, on suppose donc que est vraie et on montre que est vraie.

Exemple :soitun entier naturel. Montrer que, si

2 est pair, alorsest pair.

La proposition `a d´emontrer s"´ecrit :

2 est pairest pair. Nous allons raisonner par contraposition en d´emontrant la proposition (´equivalente) : n"est pas pair 2 n"est pas pair , c"est-`a-direest impair 2 est impair. Consid´erons un entier impair: il existe donctel que=2+ 1. On a alors 2 = (2+ 1) 2 =4 2 +4+ 1, ce qui s"´ecrit aussi 2 =2+ 1 , o `u=2 2 +2. Par cons´equent, 2 est un entier impair, ce qui d´emontre l"implication : siest impair, alors 2 est impair. Par contraposition, nous avons donc montr´e l"implication: si 2 est pair, alorsest pair.

Exemple :montrer l"implication

1+. Nous allons de nouveau utiliser la contrapos´ee en d´emontrant l"implication 1+. Soitun r´eel tel que 1+. On peut ´ecrire= (1+)1. Or 1+est un nombre rationnel (hypoth`ese), et 1 aussi. Par cons´equent, (1 +)1 est un nombre rationnel, ce qui montre que . Par contraposition, on a d´emontr´e l"implication 1+.

Mise en oeuvre : exercice 1.8

M´ethode 1.6.- Comment d´emontrer une implication par l"ab surde L"implicationest la proposition , sa n´egation est donc .

Pour d´emontrer par l"absurde l"implication:

on suppose queest vraie et queest fausse; on montre que cela aboutit `a une contradiction.

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS9??

Exemple :soit

. En raisonnant par l"absurde, montrer que, si 1+ 1+ , alors=.

On raisonne par l"absurde en supposant que

1+ 1+ et=(est vraie,est fausse). Il en r´esulte que(1 +)=(1 +)d"o`u l"on tire 2 2 =, soit ()(+)=, d " o `u ()(++ 1) = 0. Comme=, on en d´eduit que++ 1 = 0, donc+=1. Absurde vu queetsont positifs! leur somme ne saurait ˆetre n´egative. D"o`u le r´esultat. ?D´emontrer une ´equivalence M´ethode 1.7.- Comment d´emontrer une ´equivalence par dou ble implication

Par d´efinition, l"´equivalence

est la proposition . D´emontrer par double implication l"´equivalence, c"est d´emontrer que les implica- tionset. En pratique, pour d´emontrerpar double implication : on d´emontre; puis on d´emontre. Dans ce cas, il y a donc deux d´emonstrations `a faire pour obtenirl"´equivalence. Exemple :on pose()=+ 1. Montrer quegarde un signe constant sursi et seulement si= 0. Nous allons prouver cette ´equivalence en raisonnant par double implication. Si= 0,est constante et ´egale `a 1, elle garde donc un signe constant (positif) sur. R´eciproquement, montrons que, sigarde un signe constant sur, alors= 0. Pour cela, on raisonne par contrapos´ee en supposant que= 0. On a alors : ()=?+1 etchange de signe en 1 (du signe depour 1 , du signe depour 1 ). Ainsi, si= 0,change de signe sur. Nous avons montr´e les deux implications. Ainsi,garde un signe constant sursi et seulement si= 0.

Exemple :r´esoudre dansl"´equation 2=

2 + 1.

On va raisonner par double implication.

Siest solution de l"´equation, alors (2)

2 2 + 1, soit 4 2 2 + 1 , d " o `u 3 2 = 1. On obtient donc= 1 3 ou= 1 3

R´eciproquement,

1 3 et 1 3 sont-ils solutions de l"´equation? Siest ´egal `a 1 3 ou 1 3 , alors 2 +1=?43= 2 3 . Par cons´equent, 1 3 est solution mais 1 3 ne l"est pas. Finalement, l"unique solution de l"´equation est 1 3 M´ethode 1.8.- Comment d´emontrer une ´equivalence par raisonnement direct Pour d´emontrer l"´equivalence, on peut ´egalement enchaˆıner les ´equivalences. On passe de`apar une succession d"´equivalences en s"assurant, `a chaque ´etape du raisonnement, que l"´equivalence est bien conserv´ee. ??10CHAPITRE 1quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14