[PDF] Chapitre 1 Logique et raisonnements

Le raisonnement par labsurde - Sciencesconforg

Le raisonnement par l'absurde repose sur : le principe du tiers exclu le principe de non-contradiction Pour démontrer qu'une proposition A est vraie, un raisonnement par l'absurde consiste à démontrer que sa négation non( A) est fausse Cas 1 (non (A) =)C) et non ( C) où C est une proposition Cas 2 non (A) =)(C et non (C)) où C est une

- 1 - NIVEAU : 1 SM NOTIONS DE LOGIQUE PROPOSITION - FONCTION

Raisonnement par absurde : a Définition : Pour démontrer qu’une proposition Q (conclusion ou résultat) et on a parmi les données la proposition P On suppose que Q ( la négation du conclusion ) est vraie et au cour de la démonstration on obtient que P est vraie d’où P et sont vraies ce qui est impossible

Chapitre 1 Logique et raisonnements

M´ethode 1 3 — Comment d´emontrer une proposition par l’absurde Pour d´emontrer qu’une proposition P est vraie, on peut utiliser un raisonnement par l’absurde Pour cela, on suppose que P est fausse et on d´emontre que l’on aboutit alors `a une contradiction

1 Logique – Raisonnement 30

13 2=Q par un raisonnement par l’absurde Quel schéma de raison-nement est adapté? Je suppose que p 13 est rationnel et je cherche une contradiction Je suppose que p 13 est irrationnel et je cherche une contradiction J’écris 13 = p q (avec p,q entiers) et je cherche une contradiction J’écris p 13 = p

Différents types de raisonnement rencontrés au collège

Parfois on traite de raisonnement, par l'absurde, un simple raisonnement utilisant la contraposée Par exemple, on veut démontrer que est vraie, on suppose non , on finit par démontrer non et on se dit en contradiction avec mais ne nous a pas servi Il n'y a donc pas de contradiction mais une simple contraposée

Les différents modes de raisonnement Pour défendre une thèse

Le syllogisme est une forme de raisonnement inductif : Vrai Faux 3 Le raisonnement par l’absurde est en quelque sorte un faux raisonnement concessif : Vrai Faux 4 Le raisonnement de la pente glissante est basé sur les conséquences : Vrai Faux

Pour tous ces exercices , faire l’effort d’appliquer le

2) Reprendre la démonstration précédente mais en utilisant un raisonnement par l’absurde Exercice 3 Montrer par disjonction des cas que pour tout entier naturel n non nul, Exercice 4 1) Montrer en utilisant la contraposée que si pour tout n , alors x , y et z sont soit tous les trois impairs soit deux sont pairs

Logique et raisonnements - e Math

Par exemple : • « 9x 2R (x(x 1) n» est vraie (il y a plein de choix, par exemple n = 3 convient, mais aussi n = 10 ou même n = 100, un seul suffit pour dire que l’assertion est vraie) • « 9x 2R (x2 = 1)» est fausse (aucun réel au carré ne

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LOGIQUE ET RAISONNEMENTS3??

Le d'exposer théorie ?les incontournables ?manipuler les quantificateurs ?raisonner par implication ou par ´equivalence ?utiliser un raisonnement par l"absurde ou par contraposition ?effectuer un raisonnement par r´ecurrence simple ou double ?et plus si affinit´es ?appliquer une r´ecurrence forte ?raisonner par analyse-synth`ese ??4CHAPITRE 1

Manipulerȱlesȱquantificateurs.ȱ

R´esum´e de cours

?Notions de logique

D´efinition : Proposition -.Uneproposition(ou assertion) est un ´enonc´e math´ematique qui

peut prendre deux valeurs : vrai (V) ou faux (F). D´efinition : N´egation d"une proposition -.Soitune proposition. On appellen´egationde et on note la proposition d´efinie par : ? est vraie lorsqueest fausse; ? est fausse lorsqueest vraie. D´efinition : Conjonction de deux propositions -.Soitetdeux propositions. On appelle conjonction deetla proposition not´ee , et d´efinie de la mani`ere suivante : ? est vraie lorsqueetsont vraies; ? est fausse lorsque l"une au moins des deux propositions est fausse. D´efinition : Disjonction de deux propositions -.Soitetdeux propositions. On appelle disjonction deetla proposition not´ee , et d´efinie de la mani`ere suivante : ? est vraie lorsque l"une au moins des deux propositions est vraie; ? est fausse lorsqueetsont fausses. D´efinition : Implication -.Soitetdeux propositions. On appelle implication deparla proposition . Cette proposition se note.

Vocabulaire :la propositionse lit

impliqueou encoresialors Remarque :lorsqueest vraie, on dit queest unecondition suffisantepour avoir, ou queest unecondition n´ecessairepour avoir. D´efinition : R´eciproque -.Soitetdeux propositions. On appelle r´eciproque de l"implication.

D´efinition :

´Equivalence -.Soitetdeux propositions. On appelle ´equivalence deetla propositionet. Cette proposition se note.

Vocabulaire :la propositionse lit

si et seulement si. Remarque :lorsqueest vraie,est unecondition n´ecessaire et suffisantepour avoir . Ainsi, les ´equivalences sont les conditions n´ecessaires et suffisantes. Table de v´erit´e des connecteurs logiques : PQ

VVFVVVV

VFFFVFF

FVVFVVF

FFVFFVV

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS5??

Remarque :d"apr`es cette table de v´erit´e, sietsont vraies alorsest vraie. C"est le principe de d´eduction D´efinition : Contrapos´ee -.Soitetdeux propositions. On appelle contrapos´ee de l"implica- tionl"implication T h ´e o r `e m e 1 . 1 . -Soitetdeux propositions. L"implicationet sa contrapos´ee sont

´equivalentes. Autrement dit :

Proposition 1.2.-Soitetdeux propositions. Alors :

?Quantificateurs

D´efinition :Soit()une propri´et´e d´ependant d"un param`etre, o `uest un ´el´ement d"un en-

semble.

Quantificateur universel :Pour signifier que la propri´et´e()est vraie pour tous les ´el´ements

de, on ´ecrit : Le symboleest appel´equantificateur universelet se litquel que soit. Quantificateur existentiel -.Pour signifier que la propri´et´e()est vraie pour au moins un ´el´ementde, on ´ecrit : Le symboleest appel´equantificateur existentielet se litil existe. Proposition 1.3.- N´egation des propositions avec quantifi cateurs -. ?La n´egation de la proposition ()est: () ?La n´egation de la proposition ()est: () Remarque :attention, l"ordre des quantificateurs est tr`es important. Lorsque plusieurs quantifi- cateurs apparaissent dans une proposition, on ne peut pas intervertir leur ordre sans changer (en g´en´eral) le sens de la proposition. Pour s"en convaincre, on pourra consulter leVrai/Faux. ??6CHAPITRE 1 ?Raisonnement par r´ecurrence Th´eor`eme 1.4.- Propri´et´e fondamentale de-.Toute partie non vide deadmet un plus petit ´el´ement. Th´eor`eme 1.5.- Principe de r´ecurrence -.Soit() une proposition d´ependant de, et 0 . Si

Initialisation :la proposition(

0 ) est vraie,

H ´e r ´e d i t ´e :pour tout entier?

0 ,() implique(+ 1); alors la proposition() est vraie pour tout entier? 0 Th´eor`eme 1.6.- R´ecurrence double -.Soit() une proposition d´ependant de, et 0 . Si

Initialisation :les propri´et´es(

0 ) et( 0 + 1) sont vraies,

H ´e r ´e d i t ´e :pour tout entier?

0 ,(() et(+ 1)) implique(+ 2); alors la proposition() est vraie pour tout entier? 0 Th´eor`eme 1.7.- Principe de r´ecurrence forte (ou r´ecurr ence avec pr´ed´ecesseurs) -.Soit () une proposition d´ependant de, et 0 . Si

Initialisation :la proposition(

0 ) est vraie,

H ´e r ´e d i t ´e :pour tout entier?

0 0 ) et( 0 +1) etet()? implique(+1); alors la proposition() est vraie pour tout entier? 0

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS7??

M´ethodes

?D´emontrer une proposition M´ethode 1.1.- Comment d´emontrer une proposition par d´eduction Sietsont vraies, alorsest vraie. C"est leprincipe de d´eduction. C"est un principe tr`es simple que l"on utilise en permanence : si l"on sait qu"une propositionest vraie (propri´et´e du cours, r´esultat d"une question ant´erieu re...) et que l"on sait d´emontrer , alors on a d´emontr´e que la propositionest vraie.

Exemple :montrer que, pour tout,

2 4+50. On a 2 4+5= 2

4+4+1=(2)

2 +1. Or, (2) 2 ?0 (le carr´e d"un r´eel est positif) et 10. Par cons´equent, (2) 2 +10, c"est-`a-dire 2 4+50.

Mise en oeuvre : tous les exercices!

M´ethode 1.2.- Comment d´emontrer une proposition par disjonction de cas On est parfois amen´e `a distinguer plusieurs cas pour d´emontrer qu"une proposition est vraie. C"est le principe d"une d´emonstration pardisjonction de cas. En particulier, si l"on souhaite d´emontrer qu"une proposition() est vraie pour tous les ´el´ementsd"un ensemble, on peut prouver la proposition pour tous les ´el´ements d"une partiede, puis pour les ´el´ements den"appartenant pas `a.

Exemple :montrer que, pour tout,

(+1) 2 est un entier naturel.

Soit. On va d´emontrer que

(+1) 2 en distinguant les caspair ou impair.

Siest pair, on peut ´ecrire=2, o `u. Alors

(+1) 2

2(2+1)

2 =(2+ 1)

Siest impair, on a=2+ 1 , o `u. Alors

(+1) 2 (2+1)(2+2) 2 = (2+1)(+1)

Finalement, pour tout entier naturel,

(+1) 2

Mise en oeuvre : exercice 1.5, exercice 1.6.

M´ethode 1.3.- Comment d´emontrer une proposition par l"ab surde Pour d´emontrer qu"une propositionest vraie, on peut utiliser unraisonnement par l"absurde. Pour cela, on suppose queest fausse et on d´emontre que l"on aboutit alors `a une contradiction. Exemple :montrer qu"il n"existe pas d"entier naturel sup´erieur `a tous les autres. Nous allons d´emontrer cette proposition en raisonnant par l"absurde. Pour cela, on suppose qu"il existe un entier naturel 0 sup´erieur `a tous les autres. On a alors, pour tout,? 0 . La relation est donc vraie pour l"entier= 0 + 1, donc 0 +1? 0 ; d " o `u 1?0, ce qui est faux! Par cons´equent, il n"existe pas d"entier naturel sup´erieur `a tous les autres.

Mise en oeuvre : exercice 1.9, exercice 1.12.

??8CHAPITRE 1 ?D´emontrer une implication M´ethode 1.4.- Comment d´emontrer une implication par raisonnement direct Pour montrer directement l"implication, on suppose queest vraie et on d´emontre queest vraie. La d´emonstration commence par supposons queest vraie et se termine parest vraie.

Exemple :d´emontrer que, pouretr´eels,

2 2

Soitetdeux r´eels tels que

2 2 . On a donc 2 2 = 0, soit ()(+) = 0. Par cons´equent,= 0 ou+= 0. Ainsi,=ou=, ce qui signifie que=(et sont ´egaux ou oppos´es). On a donc d´emontr´e l"implication attendue. M´ethode 1.5.- Comment d´emontrer une implication par cont raposition Le raisonnement par contraposition est bas´e sur let h ´e o r `e m e 1 . 1: l"implicationest ´equivalente `a sa contrapos´ee Ainsi, pour montrer que l"implicationest vraie, on peut prouver que l"implication est vraie. En pratique, on suppose donc que est vraie et on montre que est vraie.

Exemple :soitun entier naturel. Montrer que, si

2 est pair, alorsest pair.

La proposition `a d´emontrer s"´ecrit :

2 est pairest pair. Nous allons raisonner par contraposition en d´emontrant la proposition (´equivalente) : n"est pas pair 2 n"est pas pair , c"est-`a-direest impair 2 est impair. Consid´erons un entier impair: il existe donctel que=2+ 1. On a alors 2 = (2+ 1) 2 =4 2 +4+ 1, ce qui s"´ecrit aussi 2 =2+ 1 , o `u=2 2 +2. Par cons´equent, 2 est un entier impair, ce qui d´emontre l"implication : siest impair, alors 2 est impair. Par contraposition, nous avons donc montr´e l"implication: si 2 est pair, alorsest pair.

Exemple :montrer l"implication

1+. Nous allons de nouveau utiliser la contrapos´ee en d´emontrant l"implication 1+. Soitun r´eel tel que 1+. On peut ´ecrire= (1+)1. Or 1+est un nombre rationnel (hypoth`ese), et 1 aussi. Par cons´equent, (1 +)1 est un nombre rationnel, ce qui montre que . Par contraposition, on a d´emontr´e l"implication 1+.

Mise en oeuvre : exercice 1.8

M´ethode 1.6.- Comment d´emontrer une implication par l"ab surde L"implicationest la proposition , sa n´egation est donc .

Pour d´emontrer par l"absurde l"implication:

on suppose queest vraie et queest fausse; on montre que cela aboutit `a une contradiction.

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS9??

Exemple :soit

. En raisonnant par l"absurde, montrer que, si 1+ 1+ , alors=.

On raisonne par l"absurde en supposant que

1+ 1+ et=(est vraie,est fausse). Il en r´esulte que(1 +)=(1 +)d"o`u l"on tire 2 2 =, soit ()(+)=, d " o `u ()(++ 1) = 0. Comme=, on en d´eduit que++ 1 = 0, donc+=1. Absurde vu queetsont positifs! leur somme ne saurait ˆetre n´egative. D"o`u le r´esultat. ?D´emontrer une ´equivalence M´ethode 1.7.- Comment d´emontrer une ´equivalence par dou ble implication

Par d´efinition, l"´equivalence

est la proposition . D´emontrer par double implication l"´equivalence, c"est d´emontrer que les implica- tionset. En pratique, pour d´emontrerpar double implication : on d´emontre; puis on d´emontre. Dans ce cas, il y a donc deux d´emonstrations `a faire pour obtenirl"´equivalence. Exemple :on pose()=+ 1. Montrer quegarde un signe constant sursi et seulement si= 0. Nous allons prouver cette ´equivalence en raisonnant par double implication. Si= 0,est constante et ´egale `a 1, elle garde donc un signe constant (positif) sur. R´eciproquement, montrons que, sigarde un signe constant sur, alors= 0. Pour cela, on raisonne par contrapos´ee en supposant que= 0. On a alors : ()=?+1 etchange de signe en 1 (du signe depour 1 , du signe depour 1 ). Ainsi, si= 0,change de signe sur. Nous avons montr´e les deux implications. Ainsi,garde un signe constant sursi et seulement si= 0.

Exemple :r´esoudre dansl"´equation 2=

2 + 1.

On va raisonner par double implication.

Siest solution de l"´equation, alors (2)

2 2 + 1, soit 4 2 2 + 1 , d " o `u 3 2 = 1. On obtient donc= 1 3 ou= 1 3

R´eciproquement,

1 3 et 1 3 sont-ils solutions de l"´equation? Siest ´egal `a 1 3 ou 1 3quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22