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Le raisonnement par labsurde - Sciencesconforg

Le raisonnement par l'absurde D Gardes - ML Gardes Par dé nition de l'inverse, 0 a = 1 raisonnements qui s'e ectuent par contraposée ou par équivalence

Logique et raisonnement mathématique

1 1 3 Implication, équivalence Dé nition8 Soient P et Q deux proposition On peut alors former la proposition (P )Q) : " P implique Q" 1 2 Raisonnement par

Chapitre 1 - AlloSchool

Le raisonnement par ontrcaposition est basé sur l'équivalence suivante (voir la proposition 1 1) : L'assertion P =)Q est équivalente à :Q =):P Donc si l'on souhaite montrer l'assertion P =)Q , on montre en fait que si :Qest vraie

Logique et raisonnements

2 1 LOGIQUE Dans une même proposition, il ne faut pas mélanger du texte et des quanti cateurs Par exemple, il ne faut pas écrire 8x 2R;f(x) est plus petit que 2

Raisonnement et vocabulaire ensembliste

RAISONNEMENT ET VOCABULAIRE ENSEMBLISTE DéÀnition 1 2 Implication, équivalence Si P et Q sont deux assertions, on définit les assertions P =⇒ Q et P ⇐⇒ Q par : P =⇒ Q:(NonP)ouQ, P ⇐⇒ Q:(P =⇒ Q)et(Q =⇒ P) Les valeurs de vérité vérifient le tableau suivant : P Q P =⇒ Q P ⇐⇒ Q V V V V V F F F F V V F F F V V

Méthodologie

laquelle l'équation est vraie Par exemple, si on veut résoudre dans R;2x+7 = 10:Le raisonnement formel est le suivant : on introduit S= fx2R : 2x+ 7 = 10g on raisonne par équivalence : pour tout x2R; x2S,2x+ 7 = 10 ,x= 3=2 ,x2f3=2g on conclut alors que S= f3=2g(ceci est vrai uniquement car on a raisonné par équivalence)

Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications

raisonnement par contraposition,5 raisonnement par l'absurde,5 raisonnement par récurrence (faible ou forte),5 relation antisymétrique,10 Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2 0 ranceF

Fiche objectifs 1 2 : Logique et ensembles

La dé nition et la table de vérité du ou logique La dé nition et la table de vérité de l'implication La dé nition et la table de vérité de l'équivalence La dé nition d'une réunion, d'une intersection, d'ensembles La dé nition du complémentaire d'une partie La dé nition d'un produit cartésien 2 À savoir faire

01 Vocabulaire mathématiques

On dit que L'équivalence des propositions est commutative et associative 0 5 Lois logiques Dé nition 0 9 Une loi logique est une proposition ompcosée de plusieurs propositions, eliéres à l'aide de onneccteurs logiques et qui est toujours vraie Exemples 10 1 P()P 2 (P^Q) ()(Q^P) Commutativité 3 (P_Q) ()(Q_P) Commutativité 4

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Chapitre1

Raisonnement et vocabulaire ensembliste

1.1 Rudiments de logique

1.1.1 Assertions

Uneassertion(oupropriété) est un assemblage de mots dont la construction obéit à une certaine syntaxe et à laquelle on peut donner une valeur de vérité : V (vraie) ou F (faux). ?" 3 est un nombre impair » est une assertion vraie. ?"102 = 101 » est une assertion fausse. ?" 2 = 3+ » n"est pas une assertion.Dénition 1.1Connecteurs élémentaires SiPetQsont deux assertions, on définit les assertions : ?(Non

P)quiestvraielorsquePest fausse, et fausse sinon;

?(PetQ) qui est vraie lorsque les deux assertionsPetQsont vraies, et fausse sinon; ?(PouQ) qui est vraie lorsqu"au moins une des deux assertions est vraie, et fausse sinon. Les valeurs de vérité de ces nouvelles assertions satisfont aux tables suivantes :

PQPetQPouQ

VVVV VFFV FVFV FFFF 5

6CHAPITRE 1. RAISONNEMENT ET VOCABULAIRE ENSEMBLISTE

Dénition 1.2Implication, équivalence

SiPetQsont deux assertions, on définit les assertionsP=?QetP??Qpar : ?P=?Q:(NonP)ouQ, ?P??Q:(P=?Q)et(Q=?P). Les valeurs de vérité vérifient le tableau suivant :

PQP=?QP??Q

VVVV VFFF FVVF FFVV ?Par définition, l"assertionP=?Qest vraie dès quePest fausse. Elle peut donc être vraie même lorsqueQest fausse, par exemple l"assertion (2 = 3) =?(1 = 4) est vraie. ?SiPest vraie et siP=?Qest vraie, alorsQest vraie. ?L"implicationQ=?Ps"appelle la réciproque de l"implicationP=?Q. ?L"équivalenceP??Qestvraiesi,etseulementsi,PetQsont logiquement

équivalentes.

?la négation deP=?Qest donnée par : Non(P=?Q)??(Pet Non(Q)). ?On a également : (P=?Q)??(Non(Q)=?Non(P)).

1.1.2 Modes de raisonnement

Raisonnement par récurrence

Théorème 1.1SoitPune propriété définie surN.Si: ?P(0)est vraie, ?pour toutn?N,

P(n)vraie entraîneP(n+1)vraie

Alors,P(n)est vraie pour toutn?N.?

0 ,n 0 +1,...}avecn 0 ?Z.Si: ?P(n 0 )estvraie, ?pour tout entiern≥n 0

P(n)vraie entraîneP(n+1)vraie

Alors,P(n) est vraie pour toutn≥n

0

1.2. ENSEMBLES7

0 ,n 0 +1,...}.Si: ?P(n 0 )etP(n 0 +1)sontvraies, ?pour tout entiern≥n 0

P(n)etP(n+1)

vraies entraînentP(n+2)vraie Alors,P(n) est vraie pour tout entier natureln≥n 0

Raisonnements pour montrer queP=?Q

Les trois types de raisonnements pour montrer queP=?Qsont : ?raisonnement direct : on suppose quePest vraie et on montre queQest vraie, ?raisonnement par contraposée : on suppose que Non(Q) est vraie et on montre que Non(P)estvraie, ?raisonnement par l"absurde : on suppose quePest vraie, et on suppose " par l"absurde » que Non(Q) est vraie. On cherche alors une contradiction.

1.2 Ensembles

?Un ensemble est une collection d"objets. La notationx?Esignifiexappar- tient àE; sa négation est notéex??E.Onnote∅l"ensemble vide, qui n"a aucun élément. ?Le quantificateur universel?se lit " pour tout » ou " quel que soit ». L"ex- pression (?x?E, P(x)) se lit pour tout élémentxappartenant àEon a P(x). ?Le quantificateur universel?se lit " il existe au moins un élément ». La notation?! signifie " il existe un et un seul élément ». L"expression (?x? E, P(x)) se lit il existe au moins un élémentxappartenant àEtel que l"on aitP(x). ?Négation d"une phrase quantifiée : on a

Non(?x?E, P(x)

?x?E,NonP(x)

Non(?x?E, P(x)

?x?E,NonP(x) ?Limite d"une suite réelle.Soit (x n n≥0 une suite réelle. On dit quel?R est limite de (x n n≥0 lorsque : ?ε>0,?p?N,?n?N,n≥p=?|x n

8CHAPITRE 1. RAISONNEMENT ET VOCABULAIRE ENSEMBLISTE

La phrase exprimant qu"un réelln"est pas limite de (x n n≥0 est alors : ?ε>0,?p?N,?n?N,n≥pet|x n -l|>ε. ?Continuité.Une applicationf:R-→Rest continue ena?Rlorsque : La phrase exprimant quefn"est pas continue enaest alors : ?ε>0,?η>0,?x?R, |x-a|<ηet|f(x)-f(a)|>ε

Dénition 1.3Inclusion

SoientEetFdeux ensembles. On dit queEest inclus dansF(ouEest une partie de

F), et on noteE?F,si:?x?E, x?F.

On noteP(F) l"ensemble des parties deF.?

Dénition 1.4Opérations dansP(E)

SoitEun ensemble etA,B?P(E). On définit les parties suivantes deE: ?complémentaire deAdansE:? E

A={x?E;x??A},

?réunion deAetB:A?B={x?E;x?Aoux?B}, ?intersection deAetB:A∩B={x?E;x?Aetx?B}, ?différence deAmoinsB:A-B={x?E;x?Aetx??B}, ?différence symétrique deAetB:AΔB=(A-B)?(B -A).? ?Couples, produit cartésien : en partant de deux élémentsxety,onpeut construire le couple (x,y) avec la propriété suivante : (x,y)=(x ,y )??(x=x ety=y Étant donnés deux ensemblesAetB, l"ensemble des couples de la forme (x,y) avecx?Aety?Best appelé produit cartésien deAparBet se noteA×B.

On a donc :

A×B={(x,y):x?Aety?B}.

1.3. APPLICATIONS ET RELATIONS9

1.3 Applications et relations

Dénition 1.5Une applicationfest un triplet (E,F,G)oùEetFsont des ensembles non vides, etGun sous-ensemble deE×Ftel que, pour toutx?E,ilexisteunélément yet un seul deFtel que (x,y) appartienne àG. L"élémentyest notéf(x). On dit alors quefest une application définie surEàvaleurs dansF.

L"ensemble des applications deEdansFest notéF

E ?Une application deEdansFassocie à tout élément deEun et un seul

élément deF.

?L"ensembleEs"appelle l"ensemble de départ def. L"ensembleFs"appelle l"ensemble d"arrivée deF, l"ensembleGest le graphe def. ?Six?E, on appellef(x) l"image dexparf,etsiy=f(x) on appellexun antécédent deyparf. ?Deux applicationsfetgsont égales si elles ont même ensemble de départE, même ensemble d"arrivéeFet pour toutx?Eon af(x)=g(x). Dénition 1.6Composée de deux applications.SoientE,F,Gtrois ensembles non vides,f:E-→Fetg:F-→Gdeux applications. Alors on définit une application deE-→G,parg◦f:E f -→F g -→G, en posant pour toutx?E, (g◦f)(x)=g(f(x)). ?SoitEun ensemble non vide, on appelle application identité ou identité de

E, et l"on note Id

E , l"application deE-→Edéfinie par Id E (x)=x.En particulier, sif:E-→Fest une application, alorsf◦Id E =fet Id F ◦f=f. ?Généralement, même siE=G, on n"a pas nécessairementf◦g=g◦f.En prenant, par exemple, les applicationsf, g:N-→Ndéfinies parf(n)=2n etg(n)= n 2 sinest pair n-1 2 sinest impair,,alorsona:g◦f=Id N maisf◦g?=Id N ?Sif:E-→F,g:F-→Geth:G-→Hsont trois applications où E,F,G,Hsont quatre ensembles non vides. Alors, on a : (h◦g)◦f=h◦(g◦f).

10CHAPITRE 1. RAISONNEMENT ET VOCABULAIRE ENSEMBLISTE

Dénition 1.7Soitf:E-→Fune application. SiAest une partie deE, la restriction defàA,notéef |A , est l"application deA-→Fdéfinie par :f |A (x)=f(x) pour tout x?A. On appelle prolongement deftoute applicationgdéfinie sur un ensembleBcontenant

Eet vérifiant :g(x)=f(x) pour toutx?E.?

Dénition 1.8Injectivité.On dit qu"une applicationf:E-→Fest injective si elle vérifie l"une des trois propriétés équivalentes suivantes : ?tout élément deFadmet au plus un antécédent parf, ?pour touty?F, l"équationf(x)=yadmet au plus une solution, ?pour tout (x,y)?E 2 on a :f(x)=f(y)=?x=y.? Dénition 1.9Surjectivité.On dit qu"une applicationf:E-→Fest surjective si elle vérifie l"une des trois propriétés équivalentes suivantes : ?tout élément deFadmet au moins un antécédent parf, ?pour touty?F, l"équationf(x)=yadmet au moins une solution, ?pour touty?F,ilexistex?Etel quey=f(x).? Dénition 1.10Bijectivité.On dit qu"une applicationf:E-→Fest bijective si elle

est injective et surjective, c"est-à-dire si elle vérifie l"une des trois propriétés équivalentes

suivantes : ?tout élément deFadmet un et un seul antécédent parf, ?pour touty?F, l"équationf(x)=yadmet une unique solution, ?pour touty?Fil existe un uniquex?Etel quey=f(x).?

Soientf:E-→Fetg:F-→Gdeux applications.

?Sifetgsont injectives, alorsg◦fest injective. ?Sifetgsont surjectives, alorsg◦fest surjective. ?Sifetgsont bijectives, alorsg◦fest bijective. Dénition 1.11Application réciproque.Sif:E-→Fest une application bi- jective, alors l"application deF-→Equi associe à tout élément deFson unique antécédent dansEs"appelle l"application réciproque defet se notef -1 .Autrement dit : ?(x,y)?E×F, y=f(x)??x=f -1 (y). ?Sif:E-→Fest une application bijective, alors on a :f -1 ◦f=Id E et f◦f -1 =Id F

1.3. APPLICATIONS ET RELATIONS11

?Sif:E-→Fetg:F-→Esont deux applications vérifiantf◦g=Id F etg◦f=Id E , alors elles sont toutes les deux bijectives et réciproques l"une de l"autre. ?Sif:E-→Fest une bijection, alorsf -1 :F-→Eest une bijection et on a : f -1 -1 =f. ?SoientE,FetGtrois ensembles. SiE f -→F g -→Gsont deux applications bijectives, alorsg◦fest bijective et on a : (g◦f) -1 =f -1 ◦g -1 Dénition 1.12Images directes, images réciproques.Soientf:E-→Fune application,Aune partie deEetBune partie deF. On appelle : ?image (directe) deAparfl"ensemble f(A)={y|?x?A:y=f(x)}={f(x):x?A}, ?image réciproque deBparf, l"ensemble : f -1 (B)={x?E|f(x)?B}. ?L"utilisation de la notationf -1 (B) ne suppose pas quefest bijective. ?Lorsquefest bijective,f -1 (B) représente aussi bien l"image directe deBpar l"applicationf -1 , que l"image réciproque deBparf. ?Une applicationf:E-→Fest : - injective si, et seulement si, pour touty?F, l"ensemblef -1 ({y})admet au plus un élément, - surjective si, et seulement si, pour touty?F, l"ensemblef -1 ({y})admet au moins un élément, - bijective si, et seulement si, pour touty?F, l"ensemblef -1 ({y})admet exactement un élément.

Proposition 1.1Soientf:E-→Fune application,B

1 etB 2 deux parties deF.Alors on a : ?B 1 ?B 2 =?f -1 (B 1 )?f -1 (B 2 ?f -1quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14