Du dessin à la figure de géométrie (EG1)
Du dessin à la figure de géométrie (EG1) Dans cette leçon, nous allons définir trois objets géométriques importants en géométrie : – le point – la droite – la demi-droite 1) Qu’est -ce qu’un point ? En géométrie, le point est le plus petit objet On le dessine par une petite croix et on le note avec une lettre majuscule
GÉOMETRIE DESCRIPTIVE
2 6 Autres problèmes de géométrie dans l’espace 55 3 LES OMBRES 61 3 1 Ombres propres 61 3 2 Ombres portées sur les plans de projection 65 3 3 Ombres portées par la méthode du point de perte 70 4 LES POLYÈDRES 73 4 1 Représentation : 73 4 2 Ombres propres : 74 5 MÉTHODES 77 5 1 Changements de plans de projection 77 5 2 Rotations 83
La géométrie dans (presque) tous ses états
A résoudre dans quelle géométrie ? – G1 – Problème posé en G1, à résoudre dans G1 – Raisonnement dans G1 avec appui instrumental sur le dessin 2ème exercice A E B 4 cm 4cm D 7cm C Sur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm), on a représenté un rectangle
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIE GM 01 Objets et notations Le point La ligne et la droite Le segment Intersection GM 02 Les instruments de dessin La règle L'équerre Le compas Le calque Le gabarit GM 03 Tracer 2 droites perpendiculaires Définition Méthode de tracé avec la règle et l'équerre
Géométrie - La symétrie Nom : Date : Termine de dessiner les
Géométrie - La symétrie Nom : Date : Termine de dessiner les dessins Chaque dessin est symétrique par rapport au trait rouge exercicematernelle com -
MON géométrie compas - WordPresscom
Atelier géométrie au compas Pour faire le tapis de fleurs : Dessine le lotus jusqu’à l’étape 7 et ne change jamais l’écartement du compas Trace de nouveaux cercles en piquant le compas là où les cercles se coupent Tu peux prolonger ton tapis dans tous les sens
Exercices dirigés : Du dessin à la figure de géométrie (EG1
Exercices dirigés : Du dessin à la figure de géométrie (EG1) Exercice 1 Traduire en notation mathématique les phrases suivantes : a
Je sais faire des traits à la règle
Géométrie: La symétrie La symétrie est le fait d'avoir deux figures exactement de la même taille, disposées au même endroit et de la même couleur Un axe peut aussi coupé une figure en deux parties égales Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie
Exercice sur les polygones ce1 - uploadsstrikinglycdncom
Dessin de polygones selon des critères spécifiques Ce1 - Évaluation - Équilibre: Polygones 1 Couleur des Polygones 2 Colorie Triangles: bleu carré: rectangles rouges: autre vert: orange 3 Tracez un carré 4 Tracez un polygone à 5 faces Voir les documents de téléchargement rtf pdf Correction Correction -
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La géométrie dans (presque) tous ses états Géométrie : science qui s'intéresse à la mesure de la Terre I.Dans l'enseignement, une ou des géométries ?
Des exemples à tous les niveaux
-Le quadrilatère des milieux en collège ou CRPEExercice
On considère un quadrilatère convexe ABCD et les milieux des côtés :I milieu de AB
J milieu de BC
K milieu de CD
L milieu de DA
On étudie le quadrilatère IJKL
Quelles propriétés spécifiques a-t-il ?
I AB LJLe quadrilatère
des milieux DKCOn peut trouver :
Losange : quadrilatère qui a tous ses côtés de même longueur Parallélogramme : Deux côtés parallèles Carré : côtés de mêmes et angle à 90°Rectangle ...
On peut appeler cette figure un parallélogramme : côtés parallèles 2 à 2Le quadrilatère des milieux est ...
Enrichissement des cas Enrichissement de la preuve Un dessin, plus ou moins particulierUne conjecture De nombreux dessins autant que l'on veutLa confirmation de la justesse de la conjecture : fortement plausible, convictionQuel que soit le quadrilatère : sa forme, sa
taille...Le cas général : certitude mathématique → La conjecture devient théorème Besoin d'une définition théoriqueCertitude à l'intérieur d'une théorie : les maths actuelles → Emboitement de propriétés de figures> Pour les mathématiques théoriques : il faut une certitude à l'intérieur d'une théorie
> Pour les mathématiques d'écoles : il faut une certitude par des expériences répétées
➔Etape 1 : Pour construire des théorèmes il faut une définition théorique : Quadrilatère avec
des côtés opposés 2 à 2 ➔Etape 2 : Besoin de prouver que c'est toujours vrai → Donc il faut une démonstration-S'appuyer sur des choses décidées vraies dans un corpus de départ = liste de théorèmes et
définitions-A partir de cette figure il faut prouver que les côtés LI et KJ sont parallèles et que les côtés IJ
et et LK sont parallèles-Pour le montrer dans le cadre de la géométrie de concours, on va utiliser le théorème de
milieuxLe théorème des milieux dans un triangle
Enoncé : Si un segment joint les milieux de deux côtés d'un triangle, alors il est parallèle au troisième
côté, et sa longueur est égale à moitié de celle de ce troisième côté. (Wikipédia)
A IJ B CTracer une diagonale :
I AB LJ D KC3 Donc (LI) // (KJ)
(On recommence 1 2 3 avec les droites (LK) et (IJ). On trouve que les côtés de IJKL sont parallèles deux àdeux : c'est donc un parallélogramme)1 → Dans le triangle
ABD, (LI) est une
droite qui joint les milieux de 2 côtés : donc (LI) // (BD) le3ème côté 2 → Dans le triangle
BDC, (KJ) est une
droite qui joint les milieux de 2 côtés : donc (KJ) // (BD) le3ème côté
→ On a démontrer le théorème > 2nd colonne du tableau DEUX EXEMPLES D'EVALUATION EN TOUT DEBUT DE 6ème1er exercice
Voici une figure composée d'un carré et d'un cercle. Vous devez la reproduire, la figure est déjà commencée : deux côtés du carré sont déjà tracés. → Plusieurs façons de faireLes connaissances sollicitées :
-Pour le carré : L'élève sait que le carré à 4 côtés à angle droit -Pour le cercle : L'élève sait que les diagonales donnent le centreRésultats corrects (1997) :
-Pour le carré : 94,3% -Pour le cercle : 63,6% -L'élève n'arrive pas à savoir quelle distance prendre pour tracer le cercle -Qu'est-ce qui va donner la clef pour tracer le cercle ? Les diagonales donnent le centre -Il faut que l'élève construise quelque chose qui n'est pas donné, ait de l'imagination -Réussir le cercle passe par des connaissances Comment valider la production de l'élève ? -S'il n'y a pas de trait de construction mais que la figure est bonne : -1ère vérification : Faire un calque pour valider correctement -2ème vérification : S'interroger sur la manière de faire-Les moyens de faire la tâche : en discuter avec les élèves pour accéder aux connaissances
-Ne pas contester quand un élève réussit même sans les connaissances2ème exercice
AEB4 cm 4cm
D7cmCSur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm), on a représenté un rectangle
ABCD et un cercle de centre 1 qui passe par D.
Ce cercle coupe le segment AB au point E.
Trouve la longueur du segment EB : ...........................Explique ta réponse : ......................
Les résultats :
-3 ou 3cm avec ou sans explication : 10,3% -1,9 ou 2 ou 2,1 cm : 28% -3,5 cm (ou 4cm plus rare) : 52%-A la fin de l'école primaire les élèves sont attachés à l'analyse des figures, ils ne sont pas dans
une optique de démontrer. La démonstration va se construire dans les niveaux CM2 et 6ème. Cet exercice relève plus de la fin de 6ème que de l'école primaire.-On voit que l'élève est enclin à regarder les choses sur la figure, même quand la figure est
bancale. -La géométrie de l'école travaille sur la figure. -La géométrie du collège réclame de se libérer de la figure. -On valide le raisonnement, pas de raisonnement au calque.BILAN : Il y a 2 types de géométrie :
G1 : Valider avec les instruments G2 : Passer par des démonstrations.3ème exemple : Un exemple de détermination de longueur inaccessible
Un homme veut connaître la hauteur du gros poteau. Il a repéré les longueurs suivantes et les a
écrites sur un schéma. A vous de trouver la hauteur h de ce poteau.1,7 m4,1m
h3,6m9m
Stratégie 1 : Si vous avez une règle graduéeStratégie 2 : Si vous n'avez pas de règle graduée.
Faire un dessin à l'échelle (1m → 1cm)Mesurer la hauteur sur le dessin (Xcm)
Déduire la hauteur réelle (Xm)Raisonner sur le schéma : les deux poteaux sont parallèles et penser au Théorème de Thales Réponse : Environ 10 mètresRéponse : exactement 10,1 mètres II.Le cadre théorique des paradigmes géométriques G1 et G2...A) Trois types d'objets
Objets matériels de la vie
usuelleObjets déjà modélisés (épurés) : maquettes, solides en bois, formes plastiques, traces graphiques sur le papier ou l'écranObjets théoriques : connus par leurs définitions en texte B) Deux paradigmes géométriques pour produire des connaissances G1 G2Les objets sont
- les dessins 2D - Les maquettes 2D et 3D - Les actions sont liées à la perception (immédiate ou pas) et aux instruments (règle, équerre, compas, papier quadrillé, papier calque, pliage) - Les connaissances sont produites par confrontation au réel : on peut voir, vérifier aux instruments, déduire. - La source de validation est le monde réel et sensible. - G1 ne s'affranchit pas de la réalité.- Les objets existent par leurs définitions. - Les figures 2D en sont des illustrations imparfaites. - Les actions sur ces objets sont liées aux figures (pour chercher) et au verbal (oral ou écrit) pour produire des réponses. - Les connaissances sont produites par des règles fixées (raisonnement hypothético-déductif) à l'intérieur du systèmes d'axiomes : démonstration - La source de validation est externe au monde sensible : elle se fait par du texte, utilisation des théorèmes Ecole, début collègeCollège (5è, 4è, 3è) Lycée G1 et G2 dans la scolarité obligatoire : différences notables : G1G2MesurageLicite pour produire des
résultats (des nouvelles connaissances) Illicite pour la production, licite pour l'heuristique (le fait de chercher) Statut du dessin Objet d'étude et de validationOutil heuristique, support du raisonnementPreuve Evidence, contrôle par
instrument ou construction effective avec raisonnementAxiomatisation partielle " îlots de démonstration »III.... comme aide à penser la géométrie
1.Retour sur les deux exemples d'évaluation en tout début de 6ème
1er exercice
Voici une figure composée d'un carré et d'un cercle. Vous devez la reproduire, la figure est déjà commencée : deux côtés du carré sont déjà tracés.Résultats corrects (1997) :
-Pour le carré : 94,3% -Pour le cercle : 63,6%A résoudre dans quelle géométrie ?
-G1 -Problème posé en G1, à résoudre dans G1 -Raisonnement dans G1 avec appui instrumental sur le dessin2ème exercice
AEB4 cm 4cm
D7cmCSur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm), on a représenté un rectangle
ABCD et un cercle de centre 1 qui passe par D.
Ce cercle coupe le segment AB au point E.
Trouve la longueur du segment EB : ...........................Explique ta réponse : ......................
A résoudre dans quelle géométrie ?
-Problème posé en G2 et à résoudre en G2 -On ne peut que raisonner avec du texte -En G2 : Le dessin ne fournit plus toutes les informations2. Retour sur la hauteur à déterminer : 3ème exemple : Un exemple de détermination de
longueur inaccessibleUn homme veut connaître la hauteur du gros poteau. Il a repéré les longueurs suivantes et les a
écrites sur un schéma. A vous de trouver la hauteur h de ce poteau.1,7 m4,1m
h3,6m9m
Stratégie 1 : Si vous avez une règle graduéeStratégie 2 : Si vous n'avez pas de règle graduée.
Faire un dessin à l'échelle (1m → 1cm)Mesurer la hauteur sur le dessin (Xcm)
Déduire la hauteur réelle (Xm)Raisonner sur le schéma : les deux poteaux sont parallèles et penser au Théorème de Thales Réponse : Environ 10 mètresRéponse : exactement 10,1 mètresRésolution en G1
Domaine de proportionnalitéRésolution en G2
3.La copie d'Amélie
b- Est-ce un triangle rectangle ? Pourquoi ?Si l'on est correcteur :
-Amélie montre des connaissances (triangle rectangle, inscrit dans un cercle) de G2 (triangle rectangle inscrit dans un cercle), mais répond dans G1 car elle fonde son raisonnement sur le dessin. -En G2 : Pythagore est incontournable -Son texte n'est pas en G2 parce qu'elle s'appuie sur le dessin -Si l'on trouve un cercle qui passe par les 3 coins du triangle et dont le centre est au milieu du grand côté, on est sûr que le triangle est rectangle -Elle va expérimenter sur la figure-Elle a une idée non opérationnelle pour cet exemple car elle est obligée de s'appuyer sur la
figure