Nombres complexes

Pour tout nombre complexe z, z est imaginaire pur si et seulement si z = −z Propriétés de calculs « Le conjugué marche bien avec tout » : Pour tous nombres complexes z et z′, z +z′ = z +z′ Pour tous nombres complexes z et z′, z ×z′ = z ×z′ Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, zn = zn

Résumé Nombres complexes: Niveau : Bac sciences

- Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées - Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( , ⃗ , ) Professeur : Benjeddou Saber 6/4 Bac Sc expérimentales – Résumé : Nombres complexes

NOMBRES COMPLEXES - AlloSchool

1)Soit z = x+iy un nombre complexe avec x et y le réel positif z x y zz ²² et on as’appelle le module du nombre complexe ???? 2) Pour tous complexes ???? et ????′ et pour tout dans ℕ on a : 1) z z z 2) z zz 2 3) z zz 11 4) zz 00 5) z z z zu ucc 6) 11 zz et z z zz c si zz0 7) zzn si et n 8) z z z z d cc 8)si M est l’image du nombre

Cours complet sur les nombres complexes - TS - Bacamaths

La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel 2 5 Définition Tout nombre complexe de la forme z = bi (où b ∈ ) s'appelle un imaginaire pur L'ensemble des imaginaires purs est noté i 2 6 Remarques : • Dans l'ensemble , il n'y a plus la notion d'ordre usuelle(1) On ne pourra pas, à ce niveau, comparer un

Les nombres complexes Prof Smail BOUGUERCH

Nombres complexes

Définition: On appelle nombre complexe, tout élément écrit a ib , dans lequel a et b deux réels et i un élément vérifiant i2 1 L’ensemble des nombres complexes est noté Vocabulaire : - L'écriture d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de - Le nombre a s'appelle la partie réelle et le nombre b s'appelle

RÉSUMÉ n°01 : LES NOMBRES COMPLEXES

P7Tout nombre complexe non nul z s’écrit sous la forme z r e i avec et r ]0, [ C’est la forme exponentielle (ou trigonométrique) du nombre complexe z Le nombre r est le module de z: r z D4Le nombre s’appelle un argument de z Il est donné modulo 2 On écrit alors Arg( )z [2 ]

Résumé Nombres complexes: Niveau : Bac sciences techniques

– Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées – Il est interdit d’utiliser la notation√???? pour exprimer une racine carrée d’un nombre complexe, car il ne s’agit pas d’une fonction sur ℂ

NOMBRES COMPLEXES

VI) FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 1) L’argument d’un nombre complexe non nul Définition : Le plan omplexe est menu d’un epèe ℛ( , ⃗⃗⃗1, ⃗⃗⃗2) Soit un nombre complexe non nul et (????) son image On appelle argument du nombre complexe une

Exo7 - Cours de mathématiques

2 1 Racines carrées d’un nombre complexe Pour z 2C, une racine carrée est un nombre complexetel que2 = z Par exemple si x 2R +, on connaît deux racines carrées : p x, p x Autre exemple : les racines carrées de 1 sont i et i Proposition 3 Soit z un nombre complexe, alors z admet deux racines carrées, et Attention

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Pr: BELKHYR ABDELAZIZ 2019/2020

25
Les nombres complexes prennent naissance au XVIème en Gerolamo

Cardano (1501 ; 1576), ci-contre, au nom francisé de Jérôme Cardan, introduit pour résoudre

des équations du troisième degré. En 1572, un autre italien, Rafaele Bombelli (1526 ; 1573) publie "Algebra, parte maggiore tre libri" dans lequel il présente des nombres de la forme et poursuit les travaux de Cardan sur la recherche de solutions non réelles pour des équations du troisième degré. on ne les considère pas

La notation i apparaît en 1777 siècle avec Leonhard Euler (1707 ; 1783) qui développe la théorie des nombres complexes

sans encore les considérer comme de " vrais » nombres. Il les qualifie de nombres impossibles ou de nombres imaginaires.

Au XIXe siècle, Gauss puis Hamilton semble des nombres complexes. Les nombres sans partie

imaginaire sont un cas particulier de ces nouveaux nombres. On les qualifie de " réel » car proche de la vie. Les complexes

I) Notion de nombre complexe.

1) Définition-Vocabulaire.

Définition : On appelle nombre complexe, tout élément écrit a ib , dans lequel a et b deux réels et i un élément vérifiant 21i
ensemble des nombres complexes est noté

Vocabulaire :

- L'écriture a ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z - Le nombre a s'appelle la partie réelle et le nombre b s'appelle la partie imaginaire, et on note aRe(z) et zbIm( )

Remarques :

Si 0b alors z est un nombre réel. Si 0a alors z est un nombre imaginaire pur, et on dit que z iIR Dans

, on définit une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans IR.

z z z z z z' Re( ) Re( ') et Im( ) Im( ')

0 0 0z z zRe( ) et Im( )

est un corps non ordonné.

2) Conjugué d'un nombre complexe.

Définition : Soit un nombre complexe

z a ib

On appelle nombre complexe conjugué de

z , le nombre, noté z , où z a ib

Propriétés : Soit

z a ib et z' deux nombres complexes et n entier naturel non nul. 22

1 2 3 4 5 0

6 7 2 8 2 9 10

nnzzz z z z z z z z z z z z zzz z z a b z z z z z z z iIR z z z IR z z ) ; ) Re( ) ; ) Im( ) ; ) ; )

Remarque : Si

z a ib et 0z alors z a ib a biz a b a b a bzz 1 (forme algébrique de z 1 II) Représentation géométrique d'un nombre complexe.

Définitions : Soient a et b deux réels. Et le plan est rapporté à un repère orthonormé direct

O u v( , , )

A tout nombre complexe

z a ib , on associe le point

M a b( , )

, le nombre complexe z a ib est appelé affixe du point M. Et le point M est appelé image ponctuelle de z a ib , et on note Mz() z a ib est le vecteur w OM , le nombre z a ib est appelé affixe du vecteur w OM . (Voir figure 1 p26) -15 a+b-1

Pr: BELKHYR ABDELAZIZ 2019/2020

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( figure 1)

III) Equations du second degré dans

20az bz c

, où a, b et c des réels avec 0a . Et soit

24b ac

le discriminant. Si 0 : L'équation

20az bz c

a deux solutions complexes conjuguées : 1222
bbz et zaa avec 2 Dans tout ce qui reste, le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

O u v( , , )

Soit Mz() un point du plan avec M différent du point O et z a ib Alors

22OM a b

22cos( , )au OMab

22sin( , )bu OMab

( , ) argu OM z

Pour tout réel

et tout entier n on a : ni n i ncos sin cos( ) sin( )

Formule de Moivre

Propriétés :

Mz() et

Mz'( ')

sont deux points du plan et wz() un vecteur. a) Le vecteur MM' a pour affixe zz' b) Le vecteur

OM OM'

a pour affixe zz' c) Le vecteur kw , k réel, a pour affixe kz. d) Le milieu I du segment MM' a pour affixe

2Izzz'

Définitions : On appelle module de

z a ib , noté z le réel 22ab

On appelle argument de

z a ib , noté zarg( ) tout réel tel que: 22
a abcos et 22
b absin

Si on pose

rz et zarg( ) , alors z r icos sin et cet écriture est dite écriture trigonométrique de z.

Propriétés des modules

Soient

z et z' deux nombres complexes, et n un entier naturel.

220z a b z;;

z z z z 0 nnzzz z z z z z et zzz' ' ; / ''' z z z z'' (Inégalité trigonométrique)

Propriétés des arguments

Si a et b deux réels non nuls

arg ' arg arg ' 2 arg arg 2 arg arg arg ' 2'

1arg arg 2

arg arg 2 arg arg 2 n zz z z z n z zzzz zz zz zz S S S S SS

0 arg 0 2

0 arg 2

0 arg 22

SS SS SS aa aa b ib b ib

Interprétation géométrique

AAz() BBz()

CDC z D z( )et ( )

des points , deux à deux distincts. 2CA BA BA zzz z AB et AB ACzz ( , ) arg

A , B et C sont alignés si et seulement si

CA BA zzIRzz

Le triangle

ABC est rectangle ssi CA BA zziIRzz

A , B , C et D sont circulaires si

CABD

B A C D

zzzzIRz z z z

Pr: BELKHYR ABDELAZIZ 2019/2020

V) Notation

ire. Pour des nombres complexes de module 1 x et y on peut démontrer que : x i x y i y x y i x ycos sin cos sin cos( ) sin( ) , Et par analogie avec la propriété x y x ye e e

Le nombre

x i xcos sin est noté ixe , notation compatible avec la formule de Moivre.

Donc tout nombre complexe non nul de module r

ire. Remarques : Ces formules permettent de linéariser ncos x et nsinx , c'est-à-dire d'exprimer ces quantités en fonction de sin px et cos px . La linéarisation des fonctions trigonométriques est souvent très utile en analyse, par exemple pour calculer des primitives de ces fonctions. La formule de Moivre permet par exemple d'exprimer sin nx et cos nx en fonction de puissances de cos x et/ou sin x

VI) Transformations planes.

Soient

Mz()

Mz'( ')

et trois point du plan complexe et ua() un vecteur .

VII) Ensembles de points .

ensemble des points M(z) tels que :

0Az z r avec r

est le cercle de centre A et de rayon r ensemble des points M(z) tels que :

ABz z z z

est la médiatrice du segment [AB] Parfois pour déterminer ensemble des points M(z) , On pose

2z x iy x y IR/( ; )

essaie de se ramener à une équation cartésienne.

Propriété : Pour tout réel

on a : 22
i i i ie e e eFormulesd Eulercos ; sin '

Propriétés : Soient

et deux réels et n un entier, alors :

1ini i i i i i in

iiee e e e e eMo veieree( ) ( ); ; ;

Translation

Si est M par

la translation t de vecteur ub() , alors : z' z a z' z a est appelé complexe de cette translation.

Donc :

t(M ) M' z' z a

Homothétie

Soit k un réel non nul.

Si M par

h de centre et de rapport k, alors : z' k z z' k z est appelé complexe de cette homothétie.

Donc :

h(M ) M' z' k z

Rotation

Soit un réel

Si M par la rotation R la

rotation de centre ., alors iz' e z iz' e z est appelé complexe de cette rotation, donc : iR(M ) M' z' e zquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] Nombres complexes

I) Notion de nombre complexe.

1) Définition-Vocabulaire.

Vocabulaire :

Remarques :

0 0 0z z zRe( ) et Im( )

2) Conjugué d'un nombre complexe.

Définition : Soit un nombre complexe

On appelle nombre complexe conjugué de

Propriétés : Soit

1 2 3 4 5 0

6 7 2 8 2 9 10

Remarque : Si

O u v( , , )

A tout nombre complexe

M a b( , )

III) Equations du second degré dans

20az bz c

24b ac

20az bz c

O u v( , , )

22OM a b

22cos( , )au OMab

22sin( , )bu OMab

Pour tout réel

Formule de Moivre

Propriétés :

Mz'( ')

OM OM'

2Izzz'

Définitions : On appelle module de

On appelle argument de

Si on pose

Propriétés des modules

Soient

220z a b z;;

Propriétés des arguments

Si a et b deux réels non nuls

1arg arg 2

0 arg 0 2

0 arg 2

0 arg 22

0 arg 22

Interprétation géométrique

CDC z D z( )et ( )

A , B et C sont alignés si et seulement si

Le triangle

A , B , C et D sont circulaires si

B A C D

V) Notation

Le nombre

Donc tout nombre complexe non nul de module r

VI) Transformations planes.

Soient

Mz'( ')

VII) Ensembles de points .

0Az z r avec r

ABz z z z

2z x iy x y IR/( ; )

Propriété : Pour tout réel

Propriétés : Soient

1ini i i i i i in

Translation

Si est M par

Donc :

Homothétie

Soit k un réel non nul.

Si M par

Donc :

Rotation

Si M par la rotation R la