Les nombres complexes - maths-francefr
Pour tout nombre complexe z, z est imaginaire pur si et seulement si z = −z Propriétés de calculs « Le conjugué marche bien avec tout » : Pour tous nombres complexes z et z′, z +z′ = z +z′ Pour tous nombres complexes z et z′, z ×z′ = z ×z′ Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, zn = zn
Résumé Nombres complexes: Niveau : Bac sciences
- Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées - Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( , ⃗ , ) Professeur : Benjeddou Saber 6/4 Bac Sc expérimentales – Résumé : Nombres complexes
NOMBRES COMPLEXES - AlloSchool
1)Soit z = x+iy un nombre complexe avec x et y le réel positif z x y zz ²² et on as’appelle le module du nombre complexe ???? 2) Pour tous complexes ???? et ????′ et pour tout dans ℕ on a : 1) z z z 2) z zz 2 3) z zz 11 4) zz 00 5) z z z zu ucc 6) 11 zz et z z zz c si zz0 7) zzn si et n 8) z z z z d cc 8)si M est l’image du nombre
Cours complet sur les nombres complexes - TS - Bacamaths
La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel 2 5 Définition Tout nombre complexe de la forme z = bi (où b ∈ ) s'appelle un imaginaire pur L'ensemble des imaginaires purs est noté i 2 6 Remarques : • Dans l'ensemble , il n'y a plus la notion d'ordre usuelle(1) On ne pourra pas, à ce niveau, comparer un
Nombres complexes
Définition: On appelle nombre complexe, tout élément écrit a ib , dans lequel a et b deux réels et i un élément vérifiant i2 1 L’ensemble des nombres complexes est noté Vocabulaire : - L'écriture d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de - Le nombre a s'appelle la partie réelle et le nombre b s'appelle
RÉSUMÉ n°01 : LES NOMBRES COMPLEXES
P7Tout nombre complexe non nul z s’écrit sous la forme z r e i avec et r ]0, [ C’est la forme exponentielle (ou trigonométrique) du nombre complexe z Le nombre r est le module de z: r z D4Le nombre s’appelle un argument de z Il est donné modulo 2 On écrit alors Arg( )z [2 ]
Résumé Nombres complexes: Niveau : Bac sciences techniques
– Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées – Il est interdit d’utiliser la notation√???? pour exprimer une racine carrée d’un nombre complexe, car il ne s’agit pas d’une fonction sur ℂ
NOMBRES COMPLEXES
VI) FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 1) L’argument d’un nombre complexe non nul Définition : Le plan omplexe est menu d’un epèe ℛ( , ⃗⃗⃗1, ⃗⃗⃗2) Soit un nombre complexe non nul et (????) son image On appelle argument du nombre complexe une
Exo7 - Cours de mathématiques
2 1 Racines carrées d’un nombre complexe Pour z 2C, une racine carrée est un nombre complexetel que2 = z Par exemple si x 2R +, on connaît deux racines carrées : p x, p x Autre exemple : les racines carrées de 1 sont i et i Proposition 3 Soit z un nombre complexe, alors z admet deux racines carrées, et Attention
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Nombres complexes A.KARMIM 1 FI Partie 1 I) LENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES 1) Approche historique : L'histoire des nombres complexes commence vers le milieu du XVIe siècle avec une première apparition en 1545, dans lure deCardan, d'une expression contenant la racine carrée d'un nombre négatif, nombre qu'il appelle sophistiqué. C'est Raphaël Bombelli qui met en place les règles de calcul sur ces quantités que l'on appelle alors impossibles avant de leur donner le nom d'imaginaires. Durant trois siècles, ces nombres sont regardés avec méfiance, n'en étant pas vraiment mais permettant des raccourcis intéressants tant en algèbre que dans la toute nouvelle branche du calcul infinitésimal. Les mathématiciens du XVIIIe siècle tentent avec audace de généraliser les fonctions de la variable réelle à la variable imaginaire, tantôt avec succès, comme pour l'exponentielle complexe, tantôt avec plus d'aléas, comme pour la fonction racine n-ième ou la fonction logarithme complexe. Durant la première moitié du XIXe siècle se succèdent les tentatives de légitimation des nombres complexes comme représentation du plan, ensemble de polynômes ou structure algébrique définie sur des couples de réels. Cependant leur utilité dans tous les domaines de l'algèbre et l'analyse et l'utilisation qu'en font les physiciens, tant en optique que dans le domaine de l'électricité, en avaient déjà fait des outils essentiels des sciences mathématiques et physiques. fr.wikipedia.org 2) Dfinition dun nombre complee. 2.1 Lensemble On admet uil eiste un ensemble not ses lments sappelles des nombres complexes qui vérifie : On dfinit dans lensemble deux opérations appelées la somme et le produit et qui prolonge la somme et le produit dans . Lensemble contient un nombre non réel noté et qui vérifie Tout nombre complexe scrit et de faon uniue comme : où et sont des réels o Le réel sappelle la partie réel du nombre complexe ; on écrit : o Le réel sappelle la partie imaginaire du nombre complexe ; on écrit : o Lcriture : sappelle lcriture algbriue du nombre complee . 2.2 Relations algébriques --- 2.3 Remarque : Lensemble est totalement ordonn, cest-à-dire : ) Lensemble des nombres complee nest pas ordonné. 2.3 Des sous-ensembles de Lensemble lensemble des nombres rels est une partie de ; - - Lensemble est une partie de , sappelle Lensemble des imaginaires purs ; - - ( veut dire strictement inclus strictement - -
Nombres complexes A.KARMIM 2 II) LES OPERATIONS DANS . 1) Laddition dans . 1.1 Définition Définition : Soient et deux nombres complexes. La somme des nombres complexes et est le nombre complexe noté définie par : On en déduit que : 1.2 Propriétés Laddition dans lensemble est : Associative : Commutative : 0 est llment neutre pour laddition dans : -- Chaque élément dans a un symétrique appel loppos de noté ; - On dit que muni de laddition est un groupe commutatif, on le note par : 1.3 La différence de deux nombres complexes. Soient et deux nombres complexes tels que : et La différence de et est la somme de avec le symétrique de cest-à-dire : uon la note : 2) La multiplication dans . 2.1 Définition : Comme la multiplication dans prolonge celle dans on peut définir la multiplication dans par : Soient et deux nombres complexes. Le produit des nombres complexes et est le nombre complexe noté définie par : ( 2.2 Propriétés La multiplication dans lensemble est : Associative : Commutative : 1 est llment neutre pour la multiplication dans : Chaque élément non nul dans a un symtriue appel linerse de noté : ou ; On dit que muni de la multiplication est un groupe commutatif, on le note par : En plus des 8 proprits ue rifient laddition et la multiplication dans lensemble il y a une propriété commune entre les deux opérations : La multiplication est distributie par rapport laddition dans : Définition : Puisque est un groupe commutatif et est un groupe commutatif et a multiplication est distributie par rapport laddition dans on dit que est un corps commutatif. 2.2 Le quotient de deux complexes. Soient et deux nombres complexes où - le quotient des nombres et est le produit de et de linerse de et se note ou
Nombres complexes A.KARMIM 3 2.3 Règles de calculs dans étant un corps commutatif ; toutes les rgles de calculs uon a connu dans sont vraies dans . -- - et Si somme des termes dune suite gomtriue formule de binôme 2.4 Applications Exercice 1: 1- Calculer et , en déduire en fonction de . 2- Calculer la somme ; écrire sous sa forme algébrique. Exercice 2 : 1- Factorise -( 2- Rsoudre luation -- Exercice 3 : 1- Effectuer la division Euclidienne de -- par - 2- - est il une racine de . III) INTERPRETATIONS GEOMETRIQUES. 1) Linterprtation gomtriue. Le plans est muni du repère ; et soit le plan vectoriel associé à . Soit un nombre complexe le couple est associé à un point unique dans le plan . Lapplication : où et est une bijection Le point sappelle limage du nombre complee dans le plan , et lapplication Le complexe sappelle laffie du point on écrit : on écrit Lapplication : où et est une bijection Le vecteur sappelle limage du nombre complee dans le plan , et lapplication Le complexe sappelle laffie ecteur on écrit : ) on écrit Le plan sappelle un plan complexe Lae sappelle lae des rels Lae sappelle lae imaginaire Dans tout ui a suire le plan complee est muni dun repre
Nombres complexes A.KARMIM 4 2) Les opérations sur les affixes. Propriété : Soient et deux vecteurs dans ; et deux points dans le plan et un réel ; On a : et Preuve : En exercice. Propriété : Soient un segment de milieu ; on a : . Si et alors : o Cas particuliers 2 points pondérés : on a : o Cas particuliers 3 points pondérés : on a : Preuve : En exercice. 3) Condition complexe dalignement de 3 points Soient et trois points distincts du plan daffies respectifs : , et On sait que : et sont alignés . Propriété : Soient et trois points distincts du plan daffies respectifs : , et ; les points et sont alignés si et seulement si Exercice : Soit les points ; et . 1- Montrer que les points et ne sont pas alignés. 2- Dterminer laffie de , milieu de . 3- Déterminer le barycentre de - 4- Dterminer laffie du point pour que le quadrilatère soit un parallélogramme. IV) LE CONJUGUE DUN NOMBRE COMPLEE. Définition : Soit le nombre complexe ( et sont des réels) ; le nombre complee uon note et qui est égale à sappelle le conjugué du nombre complexe Exemple : - son conjugué est - son conjugué est - son conjugué est -
Nombres complexes A.KARMIM 5 Propriété : (Règles de calculs) = Propriété : - - Si est limage de et alors et sont symtriue par rapport lae des rels. Exercice : Résoudre dans les équations suivantes : 1. - -- 2. -- 3. Déterminer les ensembles suivants : 1. 2. V) LE MODULE DUN NOMBRE COMPLEXE. 1) Définition et applications Définition : Soit un nombre complexe, le réel positif sappelle le module du nombre complexe et on le note Propriété : Soit un nombre complexe ; on a Preuve : en exercice Exercice : Déterminer les modules des complexes suivants : 1. - 2. 3. 4. où Ecrire sous la forme algébrique les complexes suivants puis déterminer leurs modules : 1. 2. 3. - - Dterminer lensemble des points tels que : et soit alignés.
Nombres complexes A.KARMIM 6 2) Règle de calculs Propriétés : Pour tous complexes et et pour tout dans on a : où - où - Remarque : Propriété : Pour tous points et daffies respectifs et on a : Applications : Déterminer les ensembles suivants : - - - -- VI) FORME TRIGONOMETRIQUE DUN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 1) Largument dun nombre complexe non nul. Définition : Le plan complee est menu dun repre Soit un nombre complexe non nul et son image. On appelle argument du nombre complexe une mesure (en radian) de langle , On le note par Exemples : - - - -- - (figure ci-contre) 2) Forme trigonomtriue dun nombre complee non nul Soit un complexe non nul, on a donc - et en suite : ; Or : si - alors : et et finalement
Nombres complexes A.KARMIM 7 Propriété : Tout nombre complexe non nul à une écriture de la forme ; où - Cette criture sappelle la forme trigonométrique du nombre complexe non nul Exercices : Donner la forme trigonométrique du nombre complexe dans les cas suivants : 1. 2. 3. 4. -- 5. 6. - 7. 3) Règles de calculs sur les arguments : Soit et deux nombres complexes non nuls tels que - et - On donc : et et par suite : Propriété principale : Soit et deux nombres complexes non nuls, on a : - Propriété Règles de calculs pour les arguments : Soit et deux nombres complexes non nuls : - - - - - Preuves (en exercice) Notations : Soit un nombre complexe dont la forme trigonométrique est : cest-à-dire - on écrit : Règles de calculs (en utilisant les formules de transformations)
Nombres complexes A.KARMIM 8 Ces propriétés ne sont ue lassemblage des proprits sur les calculs des modules et les calculs des arguments. 4) Applications : Exercice 1 : Dterminer le module et largument du nombre complee et placer le point dans le plan complee muni dun repère dans les cas suivants : 1. -- 2. 3. 4. Exercice 2 : Dterminer le module et largument du nombre complee dans les cas suivants : 1. 2. 3. Exercice 3 : 1. Ecrivez les nombres complexe -- et sous leurs formes trigonométriques. 2. En déduire une écriture trigonométrique des complexes : a) b) c) 3. Ecrire le complexe sous sa forme algébrique puis en déduire et 5) Les formes trigonométriques des racines carrées Définition On appelle racine carre dun complee tout complexe tel que Remarque Un complexe non nul admet deux racines carrées. Preuve dune proprit : Soit un complexe non nul et une racine de donc ce que se traduit par : -- - - Propriété : Soit un complexe non nul ; les racines carrées de sont les complexes : et Exercice : Soit le complexe 1. Calculer ( puis déterminer le forme trigonométrique de ( 2. En déduire la forme trigonométrique de
Nombres complexes A.KARMIM 9 VI) INTERPRETATIONS GEOMETRIQUES 1) Angles orientés et argument. On sait que si le nombre complexe est non nul alors - Soit et deux complexes non nuls dimages respecties et , on a : - - - - Soient deu points dans le plan complee daffies respectifs , on sait uil eiste un uniue point tel que et aura pour affixe le complexe Donc : - - Soient et trois points distincts dans le plan complee daffies respectifs et , on a : - - - - Soient , et quatre points distincts dans le plan complee daffies respectifs et , on a : - - - - - Propriété : Soit et deu complees non nuls dimages respecties et , on a : - - - - Exercice : On considère dans le plan complee muni dun repre orthonormé les points daffies respectifs : - et 1. Placer dans le repère les points 2. Dterminer le module et largument du nombre complee et dterminer une mesure de langle . 3. Montrer que la droite est la médiatrice du segment et en déduire que : - 4. Ecrivez le nombre sous sa forme algébrique puis en déduire et
Nombres complexes A.KARMIM 10 2) Applications 2.1 Alignement de 3 points. Corolaire : Trois points et sont alignés si et seulement si est un réel. Preuve : On sait que - et que où - et et sont alignés - - - ou Exercice : 1- Vérifier que les points et sont alignés 2- Les points et sont alignés. 2.2 Cocyclicité de 4 points. Rappelle : Soit le cercle qui circonscrit le triangle , le point appartient au cercle si et seulement si - ou - - Ceci se traduit par : - - - - - - Ceci se traduit par : - - - - - Théorème : Soit et quatre points dans le plan complexe. Les points et sont cocycliques si et seulement si : Exercice : 1- Montrer que les points : et 2- Montrer que est le centre du cercle qui circonscrit le quadrilatère
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