[PDF] Transformation adiabatique d’un gaz parfait

PCSI Thermodynamique Chap 19 Premier principe de la

Travail élémentaire : transformation Transformation isotherme La température du système est constante tout au long de la transformation

Licence Science de la Mer et de l’Environnement Physique Générale

Dans une transformation isotherme réversible finie, travail et chaleur sont égaux et de signe opposés Le travail fourni par la compression est perdu en chaleur Exercice On comprime isothermiquement 1m3 d’air de 1 à 200atm On suppose que l’air se comporte comme un gaz parfait Calculer le travail de compression, et la quantité de chaleur

Cours 2 : Travail

La transformation 1 - 2 est telle que la produit PV = C te 1 Tracer avec précision sur une feuille quadriée, la courbe représentative de la transformation dans le plan P(V) 2 Calculez le travail échangé lors de cette transformation, d’une part graphiquement et d’autre part algébriquement 3

Transformations adiabatique, linéaire, isochore ou isobare d

Pour la transformation (1) isotherme, l’application de l’équation 1 donne : = → = =???? (2) = → = =???? (3) (2) (3) → = → = → = ( ) 2-) Travail mis en jeu pour la transformation (1) en fonction de T A et R Travail correspondant à la compression isotherme

Transformation adiabatique d’un gaz parfait

Ici on a un cycle tel que le travail effectue par´ le gaz (l’aire du cycle) est positif En allant de A a` B, un travail est produit par le gaz car son volume augmente (V B > V A) Sa temperature augmente (on passe d’une´ isotherme a une isotherme de temp` erature´ plus elev´ ee), donc´ U augmente, et Q AB est positif : une quantite de

CHAPITRE III : ECHANGES DE TRAVAIL ET DE CHALEUR

1 Calcul du travail lors d’une transformation isotherme d’un gaz parfait 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0 0,5 1 1,5 2 2,5 n Volume Travail d'une transformation isochore Etat initial Etat final Vi Vf P f P i 0 2 4 6 8 10 0 2 4 n Volume Travail lors d'une transformation isotherme Etat initial Etat final Vi Vf Pf Pi

cours n° 5 : Transformations réversibles 2 principe de la

Limite = transformation isotherme : transformation réversible 20 °C 20 °C 1 20 °C 4-400 J 20 °C 4 20 °C 1 +100 J Ce travail peut est représenté dans un

PCSI Thermodynamique Fiche Exercice n°19 Premier principe

• (1) = Transformation isotherme, suffisamment lente pour que le gaz soit à l’équilibre mécanique avec l’extérieur en chaque instant • (2+3) = Transformation → isochore puis → isobare 1 Calculer le volume 2 Déterminer et 3 Déterminer le travail 1 ainsi que le transfert thermique 1

Le premier principe de la thermodynamique

3 Travail d'un fluide en dilatation ou en compression 4 Détente ou compression réversible et isotherme 5 Premier principe 6 Transformation à volume constant 7 Transformation quand V varie 8 Relations entre les capacités calorifiques 9 Relations aux dérivées partielles 10

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Transformation adiabatique d"un gaz parfaitadiabatique=Aucune chaleur ne peut p´en´etrer ou s"´echapper du syst`eme.

C"est ce qui se produit dans le cas d"un syst

`eme extrˆemement bien isol´e ou d"un processus se d ´eroulant avec une telle rapidit´e que la chaleur -dont la pro- pagation se fait lentement- n"a le temps ni d"entrer ni de sortir. La dilatation des gaz dans un moteur `a combustion interne constitue un tel exemple. CommeQ= 0, on aΔU=-Wet si le gaz se d´etend (W >0),Udoit di- minuer et par cons ´equent la temp´erature baisse. Alors le produitPV(=nRT) prend une valeur moindre au pointCqu"au pointB(la courbeABest un pro- cessus isotherme). Au cours d"une compression adiabatique, du travail s"effec- tue sur le gaz si bien que son ´energie interne augmente et que sa temp´erature s" ´el`eve. Dans un moteur diesel, la compression adiabatique rapide de l"air par un facteur≂20 r´esulte en une´el´evation de temp´erature si consid´erable que, lorsque l"essence y p

´en`etre, le m´elange s"enflamme spontan´ement.On trouve que :PVγ=constanteo`uγest une constante qui vautCpCV=5/23/2≂1,67

pour les gaz monoatomiques,

7/25/2≂1,4pour les gaz

diatomiques et≂1,3pour les gaz polyatomiques.Universit´e de Gen`eve 14-18 C. Leluc

Transformation adiabatique : d´emonstrationSupposons que la transformation se fasse de telle sorte que le volume change

tr `es peu de mani`ere`a ce que la pression`a l"int´erieur du gaz reste constante : ceci nous permet d" ´ecrire que le travail fait par le gaz pendant l"augmentation de volume est

´egal`aPdV. On a donc :

dU=dQ-dW=dQ-P dV maisdQ= 0pour une tranformation adiabatique. D"autre partdU=nCVdT ainsi n C

VdT+P dV= 0

ExprimonsdTen fonction dePetVpour un gaz parfait :PV=nRT

P dV+V dP=nR dT dT=1nR(P dV+V dP)

n C

V1nR(P dV+V dP) +P dV= 0

CVR+ 1)P dV+CVRV dP= 0

MaisCP=CV+R, ce que l"on peut´ecrire comme :(CVR+ 1) =CPRUniversit´e de Gen`eve 14-19 C. Leluc

Transformation adiabatique : d´emonstration (suite)Remplac¸ant et simplifiant parR, on obtient :

C

PP dV+CVV dP= 0

Divisons les 2 membres parCVV P, on obtient :

C

PCVdVV+dPP=γdVV+dPP= 0

avecCP/CV=γ. En int´egrant : ?dVV+?dPP= 0

γlnV+ lnP=cteln(PVγ) =cteP Vγ=ctePour un gaz parfait (PV=nRT), on peut remplacerPparnRT/V, ce qui

donneT V(γ-1)=cteUniversit´e de Gen`eve 14-20 C. Leluc

Transformation adiabatique : libre expansionIl y a des processus adiabatiques dans lesquels aucun travail n"est fait ni rec¸u

par le syst `eme. AinsiQ=W= 0et d"`apr`es la 1ere loi de la Thermo, on a donc

ΔU= 0expansion libre

Ce processus diff

`ere des autres processus vus jusqu"a pr´esent car il ne peut pas ˆetre fait lentement, d"une mani`ere control´ee. Ce qui a pour cons´equence que le gaz n"est jamais en ´equilibre thermique. On peut mettre les valeurs initiales et finales dans un diagrammeP-V, mais on ne peut pas dessiner l"expansion elle-m

ˆeme.

D"autre part, commeΔU= 0, la temp´erature de l"´etat final doitˆetre´egale`a la temp ´erature de l"´etat initial,Ti=Tf.Si on a affaire`a un gaz parfait (PV=nRT), comme il n"y a pas de variation de temp

´erature, le produitPVdoitˆetre constant,

soit : P iVi=PfVfUniversit´e de Gen`eve 14-21 C. Leluc

Tableau r´ecapitulatif des transformationsR´esultats sp´eciauxCheminQuantit´eType de(ΔU=Q-WetconstanteprocessusΔU=n CVΔTpour tous chemins)1PIsobareQ=n CPΔT;W=PΔV2TIsothermeQ=W=n R Tln(Vf/Vi); ΔU= 03PVγ,TV(γ-1)adiabatiqueQ= 0;W=-ΔU4VIsochoreQ= ΔU=n CVΔT;W= 0Universit´e de Gen`eve 14-22 C. Leluc

Exemple 1 : dilatation adiabatique et isothermeOn laisse un gaz parfait monoatomique se dilater lentement jusqu"`a ce que sa

pression soit `a exactement la moiti´e de sa valeur initiale. Par quel facteur son volume varie-t-il s"il s"agit d"un processus (a) adiabatique, (b) isotherme? SOLUTION : (a) Pour un processus adiabatique,P1Vγ1=P2Vγ2, soit : V

2V1= (P1P2)1/γ= (2)3/5= 1,52

puisqueγ=CP/CV= (5/2)(3/2) = 5/3. (b) Lorsque la temp

´erature reste constante (T1=T2),P1V1=P2V2

conform ´ement`a la loi des gaz parfaits. Il en r´esulte que : V

2V1=P1P2= 2Universit´e de Gen`eve 14-23 C. Leluc

Exemple 2 : dilatation adiabatiqueL"argon`a l"´etat gazeux (monoatomique) est comprim´e tr`es lentement et adia-

batiquement, dans un cylindre bien isol

´e, jusqu"`a la moiti´e de son volume

initial de 0,100 m

3. S"il´etait initialement`a la pression atmosph´erique et`a

27,0
◦C, quelles seront sa temp´erature et pression finales? SOLUTION : La transformation est adiabatique et impliqueP,VetT. Pour un gaz monoatomiqueγ= 1,67, ainsi P f=Pi( (((V iVf) = (0,101MPa)(2)1,67= 0,322MPa

On trouve la temp

´erature`a l"aide de l"´equation des gaz parfaits que l"on´ecrit pour l"

´etat initial et final :

T f=Ti( ((PfPi) ((VfVi) ))= (300K)(3,19)( ((12) ))= 479KUniversit´e de Gen`eve 14-24 C. Leluc Cycles thermiquesNous ne consid´erons ici que des transformations r´eversibles et nous voulons qu"apr `es leur ex´ecution, le syst`eme revienne`a son´etat initial,soitΔU= 0. Le diagramme dans le planP-Vrepr´esente alors un cycle.Le cas le plus simple consiste`a enfermer un gaz parfait dans un cylindre ferm

´e par un

piston, le mettre en contact avec un bain `a temp

´erature constante et le d´etendre suivant

un isotherme. Une quantit

´e de chaleurQAC

est rec¸ue par le syst `eme entreAetC, le tra- vail effectu

´e par le syst`eme estWAC>0et

commeΔT= 0, on a aussiΔU= 0.Le travail fait par le gaz est l"aire au-dessous de la courbe.Si nous revenons au pointAen suivant le mˆeme isotherme mais en sens in-

verse, le gaz rec¸oit du travail et fournit de la chaleur, tels queQAC=-QCA etWAC=-WCA. Le syst`eme revient`a son point de d´epart. Si on ajoute ces 2 travauxWAC+WCA= 0, le travail total`a la fin du cycle est nul.

Le travail total est repr

´esent´e par l"aire`a l"int´erieur de la courbe ferm´ee repr

´esentant le cycle dans le planP-V. Ici cette surface est nulle.Universit´e de Gen`eve 14-25 C. Leluc

Cycles thermiques (suite)ΔU=Q-WIci on a un cycle tel que le travail effectu´e par le gaz (l"aire du cycle) est positif.

En allant deA`aB, un travail est produit par

le gaz car son volume augmente (VB> VA).

Sa temp

´erature augmente (on passe d"une

isotherme `a une isotherme de temp´erature plus

´elev´ee), doncUaugmente, etQABest

positif : une quantit

´e de chaleurQABentre

dans le syst `eme.

En allant deB`aC, aucun travail n"est fait et

la temp

´erature diminue, doncUdiminue et de

la chaleurQBCest c´ed´ee par le syst`eme. En allant deC`aAle long de l"isotherme (ΔU= 0), le gaz est comprim´e (VC> VA) et un travail n´egatif est effectu´e qui doitˆetre accompagn´e par une quantit ´e de chaleur´egale n´egative, donc sortante. CommeΔU= 0sur le parcours ferm ´e, le travail total effectu´e par le syst`eme est´egal`a la chaleur totale rec¸ue.

Ce cycle fait penser au fonctionnement d"un moteur thermique.Universit´e de Gen`eve 14-26 C. Leluc

Moteurs thermiquesUn moteur thermique est un dispositif cyclique qui convertit l"´energie thermique en travail, qu"il c `ede`a l"ext´erieur. On utilise un fluide moteur qui permet de transf ´erer la chaleur et qui subit des processus de d´etente et de compression.Processus cyclique qui ram`ene le fluide moteur dans son

´etat initial

U

2-U1= ΔU= 0 =Q-W→Q=W

Le moteur travaille entre un r

´eservoir`a haute

temp

´erature,TH, et un r´eservoir`a basse

temp

´erature,TL.

Q

H>0QL<0W >0

La chaleur nette absorb

´ee par cycle :

Q=QH+QL=|QH| - |QL|.

Le travail fourni par la machine :

W=Q=|QH| - |QL|

L"exp ´erience montre qu"il est impossible de transformer toute la chaleur Q Hen travail;QLn"est jamais nul.Universit´e de Gen`eve 14-27 C. Leluc Cycle de CarnotLe cycle de Carnot est un cycle id´eal ne correspondant`a aucun moteur r

´ealisable, mais permettant de calculer des rendements.Le moteur de Carnot est un simple cylindre ferm´e par

un piston, contenant un gaz et qu"on am `ene alter- nativement en contact avec une source de chaleur `a haute temp

´erature(vapeur) puis avec un r´eservoir de

chaleur (eau de refroissement) dans lequel la chaleur est rejet ´ee. Ce cycle est une suite de 4´etapes :1.A→B:d´etente isotherme(ΔU= 0,W >

0doncQ >0) dans laquelle le gaz rec¸oit une

quantit ´e de chaleurQH`a haute temp´eratureTH2.B→C:d´etente adiabatiquequotesdbs_dbs6.pdfusesText_11