LE PRODUIT SCALAIRE ( En premi`ere S )

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 14 Soit le triangle ABCet Kle projeté orthogonal de Asur [BC] On donne : AB= 6, BK= 4 et KC= 7 1) Iest le milieu de [BC] et Gest le centre de gravité du triangle ABC

350re S - Produit scalaire - ChingAtome

2 Coordonnées et produit scalaire : Exercice 3018 Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; i; j), on considère les deux vecteurs u(x;y) et v (x′;y′) Le produit scalaire des vecteurs u et v est un nombre noté u v déﬁni par: u v = x x′ +y y′ Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit

PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques

PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I Définition et

1ère S Ex sur produit scalaire 1

1ère S Exercices sur le produit scalaire (1) • Pour les résultats des produits scalaires, on attend la valeur exacte • Pour les exercices 1 à 5 où l’on demande de calculer des produits scalaires, il n’y a pas de

Ch 11 Produit scalaire et applications 1 S 1

Remarque : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel et non un vecteur C’est bien pour cela que cette opération s’appelle produit scalaire car «scalaire» veut dire «nombre, par opposition à vecteur» (On verra plus loin le pourquoi du mot « produit » dans « produit scalaire » ) ♠ Exercice 2

Première S - Propriétés de calcul du produit scalaire

III) Projection orthogonale et produit scalaire: 1) Définition: (d) est une droite et M un point du plan Le projeté orthogonal de M sur la droite (d) est le point H intersection de la perpendiculaire à (d) passant par le point M et de (d) 2) Propriété • Les vecteurs et sont non nuls tel que et Alors

1ère S Ex sur le produit scalaire - Free

Il est impératif de mettre le chapeau car il s’agit d’un angle géométrique de vecteurs Si l’on ne met pas de chapeau, alors il s’agit d’un angle orienté de vecteurs ce qui n’est pas possible car le plan n’est pas orienté 4 3 2 cos 4 p a a 4 2 2 2 p a a 2 p a 4 2e méthode : p

Interrogation n°5: Produit scalaire (20 minutes) 1ère S 1

3) a) Déterminer au moyen du produit scalaire l'équation du cercle(c) de diamètre [AC] b) En déduire son centre et son rayon 4) Dans le triangle ABC, déterminer l'équation de la hauteur issue de B, que l'on appellera

LE PRODUIT SCALAIRE ( En premi`ere S ) - Vincent obaton

LE PRODUIT SCALAIRE ( En premi`ere S ) Derni`ere mise a jour : Jeudi 4 Janvier 2007 Vincent OBATON, Enseignant au lyc´ee Stendhal de Grenoble ( Ann´ee 2006-2007 )

wwwmathsenlignenet PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE

www mathsenligne net PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE EXERCICES 2D EXERCICE 2D 1 1 On considère un triangle ABC rectangle en A Ecrire la relation de Pythagore pour ce triangle 2 a On note u = AB et v = AC Démontrer que dans ce cas BC = v – u (Remarque : puisque le triangle est rectangle en A, on dit que les vecteurs

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LE PRODUIT SCALAIRE

( En premi`ere S )

Derni`ere mise `a jour : Jeudi 4 Janvier 2007VincentOBATON, Enseignant au lyc´ee Stendhal de Grenoble ( Ann´ee 2006-2007 )1

Table des mati`eres

1 Grille d"auto´evaluation3

2 D´efinition et Propri´et´es 4

2.1 D´efinition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.2 Produit scalaire et commutativit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.3 Produit scalaire et vecteurs colin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.4 Produit scalaire et vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

3 Interpr´etation g´eom´etrique 5

3.1 D´efinition g´eom´etrique du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3.2 Retour aux propri´et´es du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3.3 Remarques et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

4 Produit scalaire et op´erations 7

4.1 Distributivit´e du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

4.2 Lin´earit´e du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

4.3 Autres d´efinitions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

5 Expression analytique du produit scalaire 8

5.1 Coordonn´ees d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

5.2 Expression analytique d"un produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

6 Les diff´erentes expressions du produit scalaire 9

7 Applications9

7.1 Formule d"Al-Kashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

7.2 Equation cart´esienne d"une droite perpendiculaire `a une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

7.3 Equation cart´esienne d"un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

7.3.1 Connaissant le centre et le rayon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

7.3.2 Connaissant deux points diam´etralement oppos´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

7.4 Formule de la m´ediane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

7.5 Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

7.5.1 Lignes de niveau du typeMA2+MB2=k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

7.5.2 Lignes de niveau du typeMA2-MB2=k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

7.5.3 Lignes de niveau du type

--→MA·--→MB=k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

7.6 De nouvelles formules en trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

7.6.1 Formules d"addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

7.6.2 Formules de lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

7.6.3 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

7.7 Autres formules `a connaˆıtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

7.7.1 Aire d"un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

7.7.2 Formule des sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

1 Grille d"auto´evaluation

-CocherAsi vous pensez maˆıtriser parfaitement ce savoir ou ce savoir-faire.-CocherEAsi vous pensez maˆıtriser partiellement ce savoir ou ce savoir-faire.-CocherNAsi vous pensez ne pas maˆıtriser ce savoir ou ce savoir-faire.Savoir, Savoirs-faire et comp´etencesAEANA

AG101Connaˆıtre et savoir utiliser la d´efinition du produit scalaire AG102Connaˆıtre le produit scalaire pour deux vecteurs colin´eaires AG103Connaˆıtre le produit scalaire pour deux vecteurs orthogonaux

AG104Calculer le carr´e scalaire d"un vecteur

AG105Exprimer le produit scalaire `a l"aide d"un projet´e orthogonal AG106Savoir d´evelopper ou factoriser des expressions avec produits scalaires AG107Calculer la norme d"une somme ou d"une diff´erence de deux vecteurs AG108Calculer le produit d"une somme par la diff´erence de deux vecteurs AG109Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec leurs coordonn´ees AG1010Connaˆıtre et savoir utiliser les diff´erentes expression du produit scalaire AG1011Connaˆıtre et savoir utiliser la formule d"Al-Kashi AG1011Savoir calculer l"´equation cart´esienne d"une droite perpendiculaire `a une autre AG1012Savoir calculer l"´equation cart´esienne d"un cercle AG1013Savoir d´ecrire un cercle connaissant son ´equation cart´esienne AG1014Connaˆıtre et savoir utiliser les formules de la m´ediane

AG1015D´ecrire l"ensemble des pointsMv´erifiantMA2+MB2=kAG1016D´ecrire l"ensemble des pointsMv´erifiantMA2-MB2=kAG1017D´ecrire l"ensemble des pointsMv´erifiant--→MA·--→MB=kAG1018Connaˆıtre et savoir utiliser les formules d"addition trigonom´etrique

AG1019Connaˆıtre et savoir utiliser les formules de lin´earisation trigonom´etrique AG1020Connaˆıtre et savoir utiliser les formules de duplication trigonom´etrique AG1021Connaˆıtre et savoir utiliser les formules sur l"aire d"un triangle AG1022Connaˆıtre et savoir utiliser la formule des sinus 3

2 D´efinition et Propri´et´es

Le plan est muni d"un rep`ere orthonormal (O,-→i ,-→j). On note-→uet-→vdeux vecteurs non nuls.

2.1 D´efinition du produit scalaire

D´efinition1On appelleproduit scalairedes vecteurs-→uet-→vle nombre r´eelnot´e -→u·-→vd´efini par :-→ u·-→v=?-→u? × ?-→v? ×cos(?-→u ,-→v)Remarque : ?Si l"un des vecteurs est nul alors-→u·-→v= 0

2.2 Produit scalaire et commutativit´e

Propri´et´e1?

-→u ,?-→von a-→u·-→v=-→v·-→uD´emonstration : ?-→u ,?-→von a cos(?-→u ,-→v) = cos(?-→v ,-→u) donc

-→u·-→v=?-→u? × ?-→v? ×cos(?-→u ,-→v) =?-→v? × ?-→u? ×cos(?-→v ,-→u) =-→v·-→u

2.3 Produit scalaire et vecteurs colin´eaires

Propri´et´e2On note

-→uet-→vdeux vecteurs colin´eaires. Il existe doncλ?Rtel que

-→u=λ-→v.Siλ >0 (-→uet-→vdans le mˆeme sens ) alors-→u·-→v=?-→u? × ?-→v?Siλ <0 (-→udans le sens contraire de-→v) alors-→u·-→v=- ?-→u? × ?-→v?D´emonstration :

On note-→uet-→vdeux vecteurs colin´eaires. Il existe doncλ?R tel que-→u=λ-→v.

?Siλ >0 alors cos(?-→u ,-→v) = 1 donc-→u·-→v=?-→u? × ?-→v? ×cos(?-→u ,-→v) =?-→u? × ?-→v?

?Siλ <0 alors cos(?-→u ,-→v) =-1 donc-→u·-→v=?-→u? × ?-→v? ×cos(?-→u ,-→v) =- ?-→u? × ?-→v?

2.4 Produit scalaire et vecteurs orthogonaux

Propri´et´e3Soient

-→uet-→vdeux vecteurs non nuls, alors-→u?-→v?-→u·-→v= 04

D´emonstration :

Si -→u?-→valors (?-→u ,-→v) =π2 + 2kπaveck?Zdonc cos(?-→u ,-→v) = 0 alors-→u·-→v= 0 Si-→u·-→v= 0,?-→u??= 0 et?-→v??= 0 alors cos( ?-→u ,-→v) = 0 donc (?-→u ,-→v) =π2 + 2kπaveck?Zet donc-→u?-→v

Remarque :

Si -→u=-→valors cos(?-→u ,-→u) = 1 donc-→u·-→u=?-→u?2

D´efinition2On nommecarr´e scalaire de-→ule nombre r´eel not´e-→u2tel que-→

u2=-→u·-→u=?-→u?23 Interpr´etation g´eom´etrique

On note

-→uet-→vdeux vecteurs non nuls. SoientO,AetBtrois points du plan tels que-→u=-→OAet-→v=--→OB

3.1 D´efinition g´eom´etrique du produit scalaire

D´efinition3 (Autre d´efinition du produit scalaire )-→ u·-→v=-→OA·--→OHo`u --→OHest le projet´e orthogonal de--→OBsur (OA)D´emonstration : ?Premier cas :Figure 1 Dans le triangleOHBrectangle enHon a : cos(?-→OA,--→OB) = cos(?HOB) =OHOB d"o`uOB×cos(?-→OA,--→OB) =OH donc -→OA·--→OB=OA×OB×cos(?-→OA,--→OB) =OA×OH=-→OA·--→OH donc-→ ?Deuxi`eme cas :Figure 2 Dans le triangleHOBrectangle enHon a : cos(?--→OH,--→OB) = cos(?HOB) =OHOB or ?HOB=π-?AOBd"o`u cos(π-?AOB) =OHOB =-cos(?AOB) [Rappel : cos(π-α) =-cos(α)] doncOB×cos(?AOB) =-OH donc -→OA·--→OB=OA×OB×cos(?-→OA,--→OB) =OA×(-OH) =-→OA·--→OH

3.2 Retour aux propri´et´es du produit scalaire

3.3 Remarques et exemples

?Propri´et´e n°3 :

Si-→OA?--→OBalors le projet´e orthogonal deBsur (OA) est 0 donc-→OA·--→OB= 0

?Propri´et´e n°1 :Figure 3

OA·--→OB=-→OA·--→OHet--→OB·-→OA=--→OB·--→OKdonc d"apr`es la propri´et´e 1 on a-→OA·--→OH=--→OB·--→OKPremi`ere remarque :

Figure 4

OA·--→OB=-→OA·--→OH

=-→OA·--→OC =-→OA·--→OD =-→OA·--→EF =-→OA·-→GJ6

4 Produit scalaire et op´erations

4.1 Distributivit´e du produit scalaire

Propri´et´e4 ( A admettre )

On note-→u,-→vet-→wtrois vecteurs.(1) -→u·(-→v+-→w) =-→u·-→v+-→u·-→w(2) (

-→v+-→w)·-→u=-→v·-→u+-→w·-→u4.2 Lin´earit´e du produit scalaire

Propri´et´e5

On note-→u,-→vetαun r´eel(1)

-→u·(α-→v) =α-→u·-→v(2) (α-→u)·-→v=α-→u·-→vD´emonstration :

D´emontrons que-→u·(α-→v) =α-→u·-→v-→u·(α-→v) =?-→u? × ?α-→v?cos(-→u ,α-→v) =?-→u? ×|α| ?-→v?cos(-→u ,α-→v) =|α| ?-→u? × ?-→v?cos(-→u ,α-→v)

Il faut maintenant envisager trois cas :

?Siα >0 alors|α|=αet cos(-→u ,α-→v) = cos(-→u ,-→v) donc-→u·(α-→v) =α?-→u??-→v?cos(-→u ,-→v) d"o`u :-→u·(α-→v) =α-→u·-→v-→u·(α-→v)

?Siα <0 alors|α|=-αet cos(-→u ,α-→v) = cos(π+ (-→u ,-→v)) =-cos(-→u ,-→v)

donc-→u·(α-→v) =-α?-→u??-→v?[-cos(-→u ,-→v)] =α?-→u??-→v?cos(-→u ,-→v) =α-→u·-→v ?Siα= 0 alors|α|= 0 donc-→u·(α-→v) =-→u·-→0 = 0 etα-→u·-→v= 0×-→u·-→v= 0 donc-→u·(α-→v) =α-→u·-→v La d´emonstration de (α-→u)·-→v=α-→u·-→vest identique.

4.3 Autres d´efinitions du produit scalaire

Soient

-→uet-→vdeux vecteurs.

Propri´et´e57

(1)?-→u+-→v?2=?-→u?2+?-→v?2+2-→u·-→v(2)?-→u--→v?2=?-→u?2+?-→v?2-2-→u·-→v(3) (

-→u+-→v)·(-→u--→v) =?-→u?2- ?-→v?2D´emonstration : (1)

?-→u+-→v?2= (-→u+-→v)·(-→u+-→v) = (-→u+-→v)·-→u+ (-→u+-→v)·-→v

(2)

?-→u--→v?2= (-→u--→v)·(-→u--→v) = (-→u--→v)·-→u-(-→u--→v)·-→v

(3)

(-→u+-→v)·(-→u--→v) =-→u·-→u--→v·-→v=?-→u?2- ?-→v?2

A l"aide des formules (1) et (2) nous pouvons d´efinir le produit scalaire de deux vecteurs -→uet-→vde la fa¸con suivante :-→ u·-→v=12 ??-→u+-→v?2- ?-→u?2- ?-→v?2?-→ u·-→v=12 ??-→u?2+?-→v?2- ?-→u--→v?2?5 Expression analytique du produit scalaire

(O,-→i ,-→j) est un rep`ere orthonormal et les coordonn´ees des vecteurs-→uet-→vsont-→u(x,y) et-→v(x?,y?)

5.1 Coordonn´ees d"un vecteurFigure 5

On a

-→i·-→u=-→i·--→OH=-→i·x-→u-→i=x-→u-→i·-→i=x-→uet-→j·-→u=-→j·--→OG=-→j·y-→u-→j=y-→u-→j·-→j=y-→uConclusion :Les coordonn´ees du vecteur

-→usont (-→i·-→u;-→j·-→u)8

5.2 Expression analytique d"un produit scalaire

Propri´et´e6-→

u·-→v=x×x?+y×y?D´emonstration :

-→u·-→v= (x-→i+y-→j)·(x?-→i+y?-→j) =x-→i·x-→i+x-→i·y?-→j+y-→j·x?-→i+y-→j·y?-→j

or?-→i?=?-→j?= 1 et-→i·-→j= 0 car-→i?-→j donc-→u·-→v=xx?+yy?

6 Les diff´erentes expressions du produit scalaire

Voil`a donc les diff´erentes expressions que l"on peut utiliser pour exprimer le produit scalaire de deux

vecteurs-→uet-→v:(1) -→u·-→v=?-→u? × ?-→v? ×cos(?-→u ,-→v)(2) Si --→OHle projet´e orthogonal de--→OBsur (OA)(3) -→u·-→v=12 ??-→u+-→v?2- ?-→u?2- ?-→v?2?(4) -→u·-→v=12

??-→u?2+?-→v?2- ?-→u--→v?2?(5) Dans un rep`ere (O,-→i ,-→j) si les vecteurs ont pour coordonn´ees-→

u(x,y) et-→v(x?,y?) alors-→u·-→v=xx?+yy?7 Applications

7.1 Formule d"Al-KashiFigure 6

9 Th´eor`eme1 (Al-KashiXIVime)SiABCest un triangle et si on noteAB=c,AC=betBC=a,( --→AB,-→AC) =α, (--→BC,--→BA) =βet (-→CA,--→CB) =θa

2=b2+c2-2bccos(α)b

2=a2+c2-2accos(β)c

2=a2+b2-2abcos(θ)D´emonstration :

D´emontrons la premi`ere ´egalit´e :

2=BC2=--→BC·--→BC= (--→BA+-→AC)2= (-→AC---→AB)2=AC2+AB2-2-→AC·--→AB

donca2=b2+c2-2AC×AB×cos(-→AC,--→AB) =b2+c2-2bccos(α)

Conclusion :a2=b2+c2-2bccos(α)

7.2 Equation cart´esienne d"une droite perpendiculaire `a une autreFigure 7

Dans un rep`ere orthonorm´e (O,-→i ,-→j), on note (AB) la droite passant parA(xA,yB) etB(xB,yB).

On souhaite trouver une ´equation de la droite Δ passant parC(xC,yC) et perpendiculaire `a (AB).

SiM(x,y) est un point de la droite Δ alors--→CM?--→ABdonc--→CM·--→AB= 0M?Δ?--→CM·--→AB= 0

Il reste donc `a utiliser la formulation (5) du produit scalaire pour pouvoir trouver l"´equation de la droite Δ.

--→CM·--→AB= 0?(x-xC)(xB-xA) + (y-yC)(yB-yA) = 0

7.3 Equation cart´esienne d"un cercle

On noteCun cercle dans un rep`ere orthonorm´e (O,-→i ,-→j)et on souhaite trouver l"´equation du cercle. C"est

`a dire la relation entre les abscisses et les ordonn´ees de tous les points sur le cercle.

Il y a deux cas possibles :1.Connaissant le centre et le rayon deC2.Connaissant les coordonn´ees de deux points diam´etralement oppos´es surC10

7.3.1 Connaissant le centre et le rayon

Figure 8

SoitCle cercle de centreO(xO,yO) et de rayonr. On noteM(x,y) un point deC. SiM? Calors

OM=ret doncOM2=r2

On obtient donc (x-xO)2+ (y-yO)2=r2que l"on nomme une ´equation cart´esienne du cercleC.

7.3.2 Connaissant deux points diam´etralement oppos´esFigure 9

SoitCle cercle de diam`etre [AB] avecA(xA,yA) etB(xB,yB). On noteM(x,y) un point quelconque sur le cercle.

SiM? Calors (--→MA,--→MB) =±π2

+ 2kπdonc--→MA·--→MB= 0 d"o`u (xA-x)(xB-x) + (yA-y)(yB-y) = 0que l"on nomme une ´equation cart´esienne du cercleC.11

7.4 Formule de la m´ediane

Figure 10

Th´eor`eme( M´ediane )SiMABest un triangle etIle milieu de [AB] alors(1)MA2+MB2= 2MI2+12

AB2(2)MA2-MB2= 2--→MI·--→BA(3)

AB2D´emonstration :( Formule 1 )

2+MB2=--→MA2+--→MB2= (--→MI+-→IA)2+ (--→MI+-→IB)2=

2+IA2+ 2--→MI·-→IA+MI2+IB2+ 2--→MI·-→IB= 2MI2+IA2+IB2+ 2--→MI(-→IA+-→IB)

or-→IA+-→IB=-→0 doncMA2+MB2= 2MI2+IA2+IB2= 2MI2+ 2?12 AB? 2 = 2MI2+12 AB2 doncMA2+MB2= 2MI2+12

AB2D´emonstration :( Formule 2 )

2-MB2=--→MA2---→MB2= (--→MI+-→IA)2-(--→MI+-→IB)2

=MI2+IA2+ 2--→MI·-→IA-MI2-IB2-2--→MI·-→IB= 2--→MI·(-→IA--→IB) = 2--→MI·--→BA

doncMA2-MB2= 2--→MI·--→BAD´emonstration :( Formule 3 )--→MA·--→MB= (--→MI+-→IA)(--→MI+-→IB) =MI2+--→MI·-→IB+-→IA·--→MI+-→IA·-→IB

or--→MI?-→IBet-→IA?--→MIdonc--→MA·--→MB=MI2+-→IA·-→IB=MI2+IA×IB×cos(π+ 2kπ)

donc

AB??12

AB? =MI2-14

AB2d"o`u

MA·--→MB=MI2-14

AB212

7.5 Lignes de niveau

7.5.1 Lignes de niveau du typeMA2+MB2=k

On souhaite trouver l"ensemble des pointsMconnaissantA,Betk?Rtels queMA2+MB2=k.

Pour cela on utilise la formule (1) du th´eor`eme de la m´ediane. On nommeIle milieu de [AB] et donc

d"apr`es le th´eor`eme de la m´ediane on aMA2+MB2= 2MI2+12

AB2donc

2+MB2=k?2MI2+12

AB2=k ?2MI2=k-12

AB2?MI2=12

k-14 AB2 ?Premier cas : Si12 k-14 AB2<0 alors il n"y a aucun pointMpossible doncEM=∅ ?Deuxi`eme cas :Si12 k-14

AB2>0 on noteλ=12

k-14

AB2donc il faut trouverMtel que

2=λ?MI=⎷λouMI=-⎷λmais la deuxi`eme solution est impossible en g´eom´etrie donc

MI=⎷λ

L"ensemble des pointsMest donc le cercle de centreIet de rayon?1 2 k-14 AB2. ?Troisi`eme cas :Si12 k-14

AB2= 0 alorsMI2= 0 doncMI= 0. On a doncEM={I}

7.5.2 Lignes de niveau du typeMA2-MB2=k

On souhaite trouver l"ensemble des pointsMconnaissantA,Betk?Rtels queMA2-MB2=k.

Pour cela on utilise la formule (2) du th´eor`eme de la m´ediane. On nommeIle milieu de [AB] et donc

d"apr`es le th´eor`eme de la m´ediane on aMA2-MB2= 2--→MI·--→BAdoncMA2-MB2=k?2--→MI·--→BA=k

k?--→IM·--→AB=12 k On noteHle point de (AB) tel que-→IH·--→AB=12 k

On a alors

--→IM·--→AB=-→IH·--→AB?(--→IM--→IH)·--→AB= 0?--→HM·--→AB= 0

Donc l"ensemble des pointsMest sur la droite perpendiculaire `a (AB) et passant parH.

De plus `a l"aide de-→IH·--→AB=12

kon peut placer le pointHsur la droite (AB).

7.5.3 Lignes de niveau du type

--→MA·--→MB=k On souhaite trouver l"ensemble des pointsMconnaissantA,Betk?Rtels que--→MA·--→MB=k.

Pour cela on utilise la formule (3) du th´eor`eme de la m´ediane. On nommeIle milieu de [AB] et donc

d"apr`es le th´eor`eme de la m´ediane on a--→MA·--→MB=MI2-14

AB2donc

--→MA·--→MB=k?MI2-14

AB2=k?MI2=k+14

AB2 ?Premier cas : Sik+14

AB2<0 alors il n"y a pas de solution :EM=∅

?Deuxi`eme cas :Sik+14

AB2>0 alors on poseλ=k+14

AB2

On a doncMI2=λ?MI=⎷λouMI=-⎷λla deuxi`eme solution ´etant impossible en G´eom´etrie, on

obtientMI=⎷λ Donc l"ensemble des pointsMest le cercle de centreIet de rayon⎷λ. ?Troisi`eme cas :k+14

AB2= 0 alorsMI= 0 doncEM={I}13

7.6 De nouvelles formules en trigonom´etrie

7.6.1 Formules d"addition

Th´eor`eme3 ( Formules d"addition )?aRet?b?Ron a(1) cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) (2) cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)(3) sin(a-b) = sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a) (4) sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)D´emonstration :

Figure 11

?D´emontrons la formule (1) :

Calculons le produit scalaire-→OA·--→OBde deux fa¸cons diff´erentes :-A l"aide des coordonn´ees :

On a-→OA(cos(a);sin(a)) et--→OB(cos(b);sin(b))

donc-→OA·--→OB=x-→OA×x--→OB+y-→OA×y--→OB= cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)-A l"aide du cos(

-→OA,--→OB) :-→OA·--→OB=OA×OB×cos(-→OA,--→OB)

or (-→OA,--→OB) = (-→OA,-→i) + (-→i ,--→OB) = (-→i ,--→OB)-(-→i ,-→OA) =b-a+ 2kπ,k?Z

donc-→OA·--→OB=OA×OB×cos(a-b) = cos(b-a) Conclusion :?a?Ret?b?Ron a cos(b-a) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) ?D´emontrons la formule (2) : Il suffit de reprendre la formule (1) en rempla¸cantbpar-b. cos(a+b) = cos(a-(-b)) = cos(a)cos(-b) + sin(a)sin(-b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) ?D´emontrons la formule (3) : D"apr`es le chapitre pr´ec´edent, on a sin(a-b) = cos?π2 -(a-b)? = cos??π2 -a? +b? donc sin(a-b) = cos?π2 -a? cos(b)-sin?π2 -a? sin(b) = sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) ?D´emontrons la formule (4) : Il suffit de reprendre la formule (3) en rempla¸cantbpar-b. Alors sin(a+b) = sin(a-(-b)) = sin(a)cos(-b)-cos(a)sin(-b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)14

7.6.2 Formules de lin´earisation

Dans les formules (2) et (4) pr´ec´edentes, si on remplacebparaon obtient :1.cos(2a) = cos2(a)-sin2(a)2.sin(2a) = 2sin(a)cos(a)7.6.3 Formules de duplication

1.cos(2a) = cos2(a)-sin2(a) = cos2(a)-(1-cos2(a)) = 2cos2(a)-1

donc 2cos

2(a) = cos(2a) + 1 d"o`u cos2(a) =1 + cos(2a)2

2.cos(2a) = cos2(a)-sin2(a) = 1-sin2(a)-sin2(a) = 1-2sin2(a)

donc 2sin

2(a) = 1-cos(2a) d"o`u sin2(a) =1-cos(2a)2

7.7 Autres formules `a connaˆıtre

7.7.1 Aire d"un triangleFigure 12

On noteSla surface du triangle ci-dessus, alors :S=12 bcsin(α)S=12 acsin(β)S=12 absin(θ)D´emonstration : ?D´emontrons la trois`eme formule : Si ?ACHest aigu:

On sait queS=12

BC×AH

Or dans le triangleAHCrectangle enHon a AH=AC×sin(θ) doncS=12 absin(θ) Si ?ACHest obtu:

On a sin(

?ACH) = sin(π-θ) = sin(θ) donc on obtient la mˆeme formule.15

7.7.2 Formule des sinus

Propri´et´eDans le triangle ci-dessus, on a : abc

2S=asin(α)=bsin(β)=csin(θ)D´emonstration :

On sait d"apr`es le paragraphe pr´ec´edent que : S=12 bcsin(α) =12 acsin(β) =12 absin(θ)

En multipliant les ´egalit´es par

2abc puis en prenant l"inverse, on obtient les bonnes formules.16quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

[PDF] LE PRODUIT SCALAIRE ( En premi`ere S ) - Vincent obaton

LE PRODUIT SCALAIRE

Table des mati`eres

1 Grille d"auto´evaluation3

2 D´efinition et Propri´et´es 4

2.1 D´efinition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.2 Produit scalaire et commutativit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.3 Produit scalaire et vecteurs colin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.4 Produit scalaire et vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

3 Interpr´etation g´eom´etrique 5

3.1 D´efinition g´eom´etrique du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3.2 Retour aux propri´et´es du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3.3 Remarques et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

4 Produit scalaire et op´erations 7

4.1 Distributivit´e du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

4.2 Lin´earit´e du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

4.3 Autres d´efinitions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

5 Expression analytique du produit scalaire 8

5.1 Coordonn´ees d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

5.2 Expression analytique d"un produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

6 Les diff´erentes expressions du produit scalaire 9

7 Applications9

7.1 Formule d"Al-Kashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

7.2 Equation cart´esienne d"une droite perpendiculaire `a une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

7.3 Equation cart´esienne d"un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

7.3.1 Connaissant le centre et le rayon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

7.3.2 Connaissant deux points diam´etralement oppos´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

7.4 Formule de la m´ediane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

7.5 Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

7.5.1 Lignes de niveau du typeMA2+MB2=k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

7.5.2 Lignes de niveau du typeMA2-MB2=k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

7.5.3 Lignes de niveau du type

7.6 De nouvelles formules en trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

7.6.1 Formules d"addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

7.6.2 Formules de lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

7.6.3 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

7.7 Autres formules `a connaˆıtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

7.7.1 Aire d"un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

7.7.2 Formule des sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

1 Grille d"auto´evaluation

AG104Calculer le carr´e scalaire d"un vecteur

2 D´efinition et Propri´et´es

2.1 D´efinition du produit scalaire

2.2 Produit scalaire et commutativit´e

Propri´et´e1?

2.3 Produit scalaire et vecteurs colin´eaires

Propri´et´e2On note

2.4 Produit scalaire et vecteurs orthogonaux

Propri´et´e3Soient

D´emonstration :

Remarque :

On note

3.1 D´efinition g´eom´etrique du produit scalaire

3.2 Retour aux propri´et´es du produit scalaire

3.3 Remarques et exemples

Figure 4

OA·--→OB=-→OA·--→OH

4 Produit scalaire et op´erations

4.1 Distributivit´e du produit scalaire

Propri´et´e4 ( A admettre )

Propri´et´e5

On note-→u,-→vetαun r´eel(1)

Il faut maintenant envisager trois cas :

4.3 Autres d´efinitions du produit scalaire

Soient

Propri´et´e57

5.1 Coordonn´ees d"un vecteurFigure 5

5.2 Expression analytique d"un produit scalaire

Propri´et´e6-→

6 Les diff´erentes expressions du produit scalaire

7.1 Formule d"Al-KashiFigure 6

2=b2+c2-2bccos(α)b

2=a2+c2-2accos(β)c

2=a2+b2-2abcos(θ)D´emonstration :

D´emontrons la premi`ere ´egalit´e :

2=BC2=--→BC·--→BC= (--→BA+-→AC)2= (-→AC---→AB)2=AC2+AB2-2-→AC·--→AB

Conclusion :a2=b2+c2-2bccos(α)

7.2 Equation cart´esienne d"une droite perpendiculaire `a une autreFigure 7

7.3 Equation cart´esienne d"un cercle

7.3.1 Connaissant le centre et le rayon