Théorème des résidus et applications

Théorème de Pythagore – 4ème ©DeepCoaching62, tous droits réservés Page 1/4 FICHE D'EXERCICES 2 – Utiliser le théorème de Pythagore Exercice 1 Citer l'hypoténuse de ce triangle rectangle puis écrire le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle : Exercice 2 Recopier et compléter :

I I A J J B

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Théorème des résidus et applications

4 Théorème des résidus pour les contours de Jordan Le théorème des résidus est le point culminant de toute la théorie des fonctions holo-morphes, le sommet d’où la vue sur la Mer est la plus belle Il «capture» les singularités isolées de fonctions holomorphes En voici la première version prototypique Théorème 4 1

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Théorème des résidus et applications

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1. Introduction

2. Raison d"être des résidus

Soitf2M!nfwgune fonction méromorphe dans un ouvert!Cqui a un pôle unique en un pointw2!, d"ordre>1quelconque. Dans un disqueDR(w)de rayon R>0assez petit, son développement de Laurent s"écrit : f(z) =a(zw)++a2(zw)2+a1(zw)1+1X n=0a nzwn; la convergence étant normale. Fait absolument remarquable : Toutes les intégrales sur les cerclesCr(w)DR(w)de rayon0< r Pour voir cela, écrivons : f(z) =1X n=a nzwn(z2D

R(w));

et intégrons surz=w+reiavecdz=rieid: Z C r(w)f(z)dz=Z C r(w) 1X n=a nzwn dz 1X n=a nZ C r(w)zwndz 1X n=a nZ 2 0 rneinireid R2

0eimd= 0sim2Znf0g]=a12 i:

Bien entendu, ce calcul - surprenant! - est vrai non seulement pour les fonc- tions méromorphes enw, mais aussi pour les fonctions holomorphes quelconquesf2 O!nfwg, puisqu"elles admettent un développement en série de Laurent centré au point w. 1

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-SudObservation 2.1.[F ondamentale!]Dans un ouvert!C, si une fonction holomorphe :

f2O!nfwg a une singularité isoléew2!, alors pour tout rayonR>0tel queDR(w)!, on a pour tout rayon intermédiaire0< r 1zwdz=12ia1Z 2 0ire ire id =a1; soustrayons-le : f(z)a1zw=X n2Z n6=1a nzwn =:g(z); et observons que cette nouvelle fonctiong2O!nfwgpossède la primitive 'évidente" dansD R(w):

G(z) :=X

n2Z n6=1a n1n+ 1zwn+1; avecG0(z) =g(z). Enfin, souvenons-nous qu"en présence d"une primitive, pour toute courbeC1pmfermée D

R(w)- par exemple

:=Cr(w)-, on a : 0 =Z

G(z)dz:

Ainsi, on ne conserve que le coefficient de Laurenta1, tous les autresan n2Znf1gdisparaissent. Le terme "résidu» désigne un reste, ce qui subsiste, un reliquat après une opération (al)chimique. On parle derésidude cannes à sucre après extraction de leur jus (bagasse), ou derésidusd"une calcination. Définition 2.2.Lerésiduen une singularité isoléew2!d"une fonction holomorphe f2O!nfwgayant pour développement de Laurent : f(z) =1X n=1a nzwn; dans un disque épointéD

R(w)!est le coefficient pourn=1, noté :

Res f(w) :=a1:

3. Calculs pratiques de résidus : recettes diverses 3Parce que c"est l"objet principal, il faut savoir le déterminer dans la pratique.

3. Calculs pratiques de résidus : recettes diverses

Tout d"abord, quandf2O!nfwga une singularité illusoire enz=w: f(z) =1X n=0a nzwn(z2DR(w)); il est clair que : Res f(w) = 0; mais la réciproque est fausse, comme le montre : a

2(zw)2+ 0 +1X

n=0a nzwn(a26=0): Proposition 3.1.Quandf2O!nfwgest méromorphe enw2!avec un pôle simple, i.e.d"ordre= 1, enw, on a : Res f(w) =limz!w(zw)f(z):

Démonstration.En effet, multiplions :

f(z) =a1zw+1X n=0a nzwn par(zw): (zw)f(z) =a1+1X n=0a nzwn+1: La série à droite est convergente dansDR(w), et elle admet0comme limite lorsquez! w. Proposition 3.2.Quandf2O!nfwgest méromorphe enw2!avec un pôle d"ordre >1quelconque enw, on a : Res f(w) =limz!w1(1)! ddz

1hzwf(z)i

Observons que la multiplication par(zw)'tue" le pôle d"ordredefenwet produit ainsi une fonction holomorphe au voisinage dew, que l"on peut dériver indéfiniment. Observons aussi que pour= 1, on retrouve la formule précédente.

Démonstration.Effectivement, en partant de :

f(z) =1X n=a nzwn; multiplions : zwf(z) =a+a+1(zw) ++a1zw1+1X n=a nzwn;

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Suddérivons(1)fois :

zwf(z) (1)= 0 ++ 0 + (1)!a1+1X n=n(n+ 2)anzwn+1 = (1)!a1+ Ozw; et prenons la limite quandz!w. Rappelons que lavaluation1< f(w)61d"une fonctionf2O!nfwgméro- morphe en un pointw2!est l"entier unique dans la factorisation naturelle : f(z) =zwf(w)g(z); avecgholomorphe au voisinage dewsatisfaisantg(w)6= 0.

Proposition 3.3.Dans un ouvert connexe

C, soit une fonction méromorphe globale

f2M( )non identiquement nulle. Alors le quotient : f 0f 2M( est aussi méromorphe dans , avec des pôles simples (d"ordre1) qui sont situés exactement aux zéros et aux pôles def, et ce quotientf0f y a pour résidus : Res f0f (w) =f(w)(8w2 Cette formule est en effet vérifiéeaussiaux pointsw2 oùfest holomorphe avec f(w)6= 0, puisquef0f y est holomorphe, d"où : Res f0f = 0 =f(w)(wni zéro ni pôle):

De plus, observons que l"hypothèsef60dans

connexe garantit, grâce au principe d"identité, que l"on a entoutpointw2

1< f(w)<1:

Démonstration.En effet, une factorisation locale avec=f(w): f(z) =zwg(z); où la fonctiong(z) =P1 n=0bn(zw)nest holomorphe près dewet satisfaitb0=g(w)6=

0, que l"on dérive :

0(z) =zw1g(z) +zwg0(z)

=zw1 g(z) + (zw)g0(z); permet d"écrire : f 0f (z) =(zw)1 g(z) + (zw)g0(z)(zw)g(z) zw+g0(z)g(z); la fonction-reste g0(z)g(z)étant holomorphe au voisinage dew, puisqueg(w)6= 0.

4.Théorème des résidus pour les contours de Jordan 5Clairement, dès que6= 0, ce quotientf0f

possède un pôle simple enz=wde résidu

égal à, le coefficient dezw1ci-dessus.

4. Théorème des résidus pour les contours de Jordan

Le théorème des résidus est le point culminant de toute la théorie des fonctions holo- morphes, le sommet d"où la vue sur la Mer est la plus belle. Il "capture» les singularités isolées de fonctions holomorphes.

En voici la première version prototypique.

Théorème 4.1.SoitCun cercle de rayon>0bordant un disque ouvertC, et soit

C[un ouvert. Si une fonction holomorphe :

f2O nfwg a une unique singularité isoléew2, alors :Z C f(z)dz= 2iResf(w): En fait, lorsquewest illusoire,fest holomorphe près dew, doncResf(w) = 0, ce qui redonne le théorème de Cauchy basique. Démonstration.Pour0< < ", introduisons un contour "trou de serrure»;"comme dans la démonstration de la formule de représentation intégrale de Cauchy. C C ww C"(w) Grâce à cet évitement dew, la fonctionfest holomorphe dans un voisinage ouvert : int; donc elle satisfait l"annulation de Cauchy : 0 =Z ;"f(z)dz!!0Z C f(z)dzZ C "(w)f(z)dz Z C f(z)dz2iResf(w);

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Suden nous souvenant que le résidu, le coefficienta1dans le développement de Laurent def

enw, se capture par intégration le long de cercles centrés enwde rayons assez petits. Pourquoi, alors, la formule de représentation de Cauchy : f(w) =12iZ

Cf(z)zwdz(f2O(

C[)) est-elle vraie? Ici, la fonction : z7!f(z)zw n"estpasholomorphe dans un voisinage ouvert deC[, puisqu"elle a une singularité isolée enz=w2, donc on n"a pas en général : 0 faux=12iZ

Cf(z)zwdz:

Toutefois, le résidu en le pôle simple (d"ordre= 1) de cette fonction méromorphe vaut, d"après la Proposition 3.1 : Res f(w) =limz!w(zw)f(z)zw =f(w); et donc le Théorème 4.1 donne : Z

Cf(z)zwdz= 2i f(w);

ce qui coïncide - cohérence agréable! - avec la formule de Cauchy! En présence de plusieurs singularités isolées, voici l"énoncé général.

Théorème 4.2.Soit un ouvert

C[contenant un cercle et son intérieur. Si une

fonction holomorphe : f2O fw1;:::;wLg a un nombre finiL>1de singularités isoléesw1;:::;wL2, alors : Z C f(z)dz= 2iResf(w1) ++Resf(wL): Démonstration.Esquissons des arguments qui généralisent ce qui précède, sans exposer tousles détails géométriques. L"idée est de créer des trous de serrure multiples qui entourent les singularités w

1;:::;wL, et de faire tendre à nouveau la largeur des tunnels d"accès vers0.

4.Théorème des résidus pour les contours de Jordan 7w

1 w 3w 2w4w Lw1 w 3w L w 2w4 Soit donc0< < "avec" >0assez petit pour que lesLdisques : D "(w1); ::::::;D"(wL) soient mutuellement disjoints. Perçons des tunnels droits de largeur >0issus du cercle-

orientés négativement. Quand plusieurs singularités sont situées sur un même rayon, on

enfile les perles.À nouveau, faisons!0en partant de l"annulation de Cauchy appliquée au contour

;", dont l"intérieur ne contient aucune singularité, et souvenons-nous des résidus : 0 = Z ;"f(z)dz!!0Z C f(z)dzZ C "(w1)f(z)dz Z C "(wL)f(z)dz Z C f(z)dz2iResf(w1) 2iResf(wL): Le cas général d"un contour de JordanC- une courbe (continue)C1pmfermée simple - quelconque, avec intérieurint, est plus délicat : construire des tunnels ne s"in- tersectant pas demande du travail géométrique.

8 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-SudThéorème 4.3.[des ré sidusle plus utile] Soit un ouvert

[intcontenant un contour de Jordan et son intérieur. Si une fonction holomorphe : f2O fw1;:::;wLg a un nombre finiL>1de singularités isoléesw1;:::;wL2int, alors :Z f(z)dz= 2iResf(w1) ++Resf(wL): Démonstration.Dans tous les exemples explicites que nous traiterons plus tard, la forme concrète visible depermet de deviner aisément comment placer les tunnels sans qu"ils s"intersectent. Dans le cas oùest quelconque, si nous admettons que cela soit possible, la démonstration est quasi-identique à celle pour =C: 0 =Z ;"f(z)dz!!0Z f(z)dzZ C "(w1)f(z)dz Z C "(wL)f(z)dz Z f(z)dz2iResf(w1) 2iResf(wL):

5. Exemples de calculs d"intégrales par la méthode des résidus

Le calcul des résidus s"avère être un outil très puissant pour déterminer les valeurs d"un

grand nombre d"intégrales, notamment les intégrales de Riemann impropres de la forme :Z1 1 f(x)dx: L"idée principale, et protéiforme, est d"étendref=f(z)au domaine complexez2C R, puis de sélectionner une famille appropriée de contours de Jordan

Rparamétrés par

R! 1de manière à ce que :

lim R!1Z

Rf(z)dz=Z

1 1 f(x)dx:

Et grâce à un simple calcul ponctuel des résidus defen ses singularités isolées dans l"in-

térieur du contour

R, le Théorème 4.3 donne la valeur deR

Rf(z)dz, souvent égale à une

constante intéressante suivie d"une quantité qui tend vers0lorsqueR! 1. Seule l"intuition géométrique permet de deviner quels contours

Rchoisir afin de récu-

pérer ainsi la valeur désirée deR1

1f(x)dx. Ce sont les propriétés de décroissance defà

l"infini qui doivent servir de guide.

5.Exemples de calculs d"intégrales par la méthode des résidus 9Exemple 5.1.Sans utiliserarctanx0=11+x2, mais en appliquant le théorème des résidus,

démontrons que :Z1

1dx1 +x2=:

À cette fin, introduisons la fonction :

f(z) :=11 +z2=1(zi)(z+i); qui est holomorphe dansCfi;ig, avec deux pôles simples eniet eni.R R0iC R Intégrons-la sur le contour consistant en le segment réel[R;R]suivi du demi-cercle C Rde rayonR>1situé au-dessus de l"axe réel. Seule la singularitéz=ise trouve à l"intérieur de ce contour.

[PDF] Théorème des résidus et applications

Théorème des résidus et applications

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1. Introduction

2. Raison d"être des résidus

R(w));

0eimd= 0sim2Znf0g]=a12 i:

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-SudObservation 2.1.[F ondamentale!]Dans un ouvert!C, si une fonction holomorphe :

G(z) :=X

R(w)- par exemple

G(z)dz:

R(w)!est le coefficient pourn=1, noté :

3. Calculs pratiques de résidus : recettes diverses 3Parce que c"est l"objet principal, il faut savoir le déterminer dans la pratique.

3. Calculs pratiques de résidus : recettes diverses

2(zw)2+ 0 +1X

Démonstration.En effet, multiplions :

1hzwf(z)i

Démonstration.Effectivement, en partant de :

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Suddérivons(1)fois :

Proposition 3.3.Dans un ouvert connexe

C, soit une fonction méromorphe globale

De plus, observons que l"hypothèsef60dans

1< f(w)<1:

0, que l"on dérive :

0(z) =zw1g(z) +zwg0(z)

4.Théorème des résidus pour les contours de Jordan 5Clairement, dès que6= 0, ce quotientf0f

égal à, le coefficient dezw1ci-dessus.

4. Théorème des résidus pour les contours de Jordan

En voici la première version prototypique.

C[un ouvert. Si une fonction holomorphe :

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Suden nous souvenant que le résidu, le coefficienta1dans le développement de Laurent def

Cf(z)zwdz(f2O(

Cf(z)zwdz:

Cf(z)zwdz= 2i f(w);

Théorème 4.2.Soit un ouvert

C[contenant un cercle et son intérieur. Si une

1;:::;wL, et de faire tendre à nouveau la largeur des tunnels d"accès vers0.

4.Théorème des résidus pour les contours de Jordan 7w

8 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-SudThéorème 4.3.[des ré sidusle plus utile] Soit un ouvert

5. Exemples de calculs d"intégrales par la méthode des résidus

Rparamétrés par

R! 1de manière à ce que :

Rf(z)dz=Z

R, le Théorème 4.3 donne la valeur deR

Rf(z)dz, souvent égale à une

Rchoisir afin de récu-

1f(x)dx. Ce sont les propriétés de décroissance defà

5.Exemples de calculs d"intégrales par la méthode des résidus 9Exemple 5.1.Sans utiliserarctanx0=11+x2, mais en appliquant le théorème des résidus,

1dx1 +x2=:

À cette fin, introduisons la fonction :

Comme le résidu defenz=ivaut :

Rdx1 +x2dx+Z

Rdz1 +z2= 2i12i

Mais en utilisant, pourz2C+