[PDF] matrice nilpotente pdf

I Endomorphisme nilpotent, trace d’un endomorphisme

Types de Jordan de deux matrices nilpotentes qui commutent

La classe de similitude d’une matrice n n nilpotente B sur un corps k est donn ee par une partition P B de n donnant les blocs de Jordan : c’est le \type de Jordan" de B Nous etudions les paires de matrices nilpotentes A;B qui commutent : A 2N(B) le commutant nilpotent de B Etant donn e P = P B, nous ecrivons Q = Q(P) pour le type de

TD 10 Matrices

Exercice 30 (**)Etude des matrices nilpotentesUne matrice N2M n(R) est dite nilpotente s’il existe p2N tel que Np = 0 1 Donner des exemples de telles matrices 2 Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut pas ^etre inversible 3 On suppose que Net Msont deux matrices nilpotentes qui commutent Montrer que N+ M et NMsont nilpotentes

Universit e Abdelmalek Essaadi Facult e des Sciences et

Correction R - Le Blog de la SUP1

1 (a) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente ⇐Supposons qu’il existe N∈Mntelle que A∼N Alors Rang A= Rang Ncar deux matrices équivalentes ont même rang, ⇒ Rang A6 n−1 parce que N/∈GLnet que une matrice non inversible est de rang 6 n−1,

TD - Matrices

Exercice 17 Soit A ∈Mn (R)une matrice nilpotente d’ordre p >1 On pose B =In −A 1 Montrer que B est inversible et exprimer son inverse à l’aide de A (penser à la factorisation de I −Ap) 2 Application : B = 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1

TD 4 Diagonalisation et trigonalisation

Une matrice N est dite nilpotente s’il existe un entier k 1 tel que Nk = 0 Montrer qu’une matrice diagonalisable est nilpotente si et seulement si elle est nulle Exercice 10 Soit E un espace vectoriel On dit que deux endomorphismes f et g de E commutent si et seulement si g f = f g 1

Réduction de matrices et endomorphismes

1 5 Matrice de rang 1 : Soit Aune matrice de M n(R) a) Montrer que rg (A) = 1 si et seulement si il existe deux matrices colonnes U et V non nulles telles que A= U tV b) Soit Aune matrice de rang 1 Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si rT (A) 6= 0 c) Si Aest une matrice de rang 1, calculer Ak pour tout entier k∈ N

Concours blanc MPSI Daudet-Jo re 2017 : Alg ebre (2h)

Le th eor eme de Jordan (admis ici) dit que toute matrice nilpotente est semblable a une matrice P diagonale par blocQ ou chacun des blocs diagonaux est un bloc de Jordan, c’est- a-dire de la forme : ™ Œ Œ Œ fl N p 1 O ::: O O N p 2 ⋮ ⋮ O O ::: O N p r fi Š Š Š Ł; chacun des Oapparaissant dans cette matrice etant une matrice

Univesrsit e Abdelmalek Essaadi Tetouan Parcours MIP

de la matrice Bn 2 a) Montrer que N est une matrice nilpotente d’ordre 2 b) V eri er que BN = N = NB c) Montrer que 8n 2N; BnN = N d) Par application de la formule du bin^ome de Newton et en justi ant l’utilisation, calculer An en fonction de B, N et n e) Expliciter les neufs coe cients de la matrice An 1