Types de Jordan de deux matrices nilpotentes qui commutent
La classe de similitude d’une matrice n n nilpotente B sur un corps k est donn ee par une partition P B de n donnant les blocs de Jordan : c’est le \type de Jordan" de B Nous etudions les paires de matrices nilpotentes A;B qui commutent : A 2N(B) le commutant nilpotent de B Etant donn e P = P B, nous ecrivons Q = Q(P) pour le type de
TD 10 Matrices
Exercice 30 (**)Etude des matrices nilpotentesUne matrice N2M n(R) est dite nilpotente s’il existe p2N tel que Np = 0 1 Donner des exemples de telles matrices 2 Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut pas ^etre inversible 3 On suppose que Net Msont deux matrices nilpotentes qui commutent Montrer que N+ M et NMsont nilpotentes
Correction R - Le Blog de la SUP1
1 (a) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente ⇐Supposons qu’il existe N∈Mntelle que A∼N Alors Rang A= Rang Ncar deux matrices équivalentes ont même rang, ⇒ Rang A6 n−1 parce que N/∈GLnet que une matrice non inversible est de rang 6 n−1,
TD - Matrices
Exercice 17 Soit A ∈Mn (R)une matrice nilpotente d’ordre p >1 On pose B =In −A 1 Montrer que B est inversible et exprimer son inverse à l’aide de A (penser à la factorisation de I −Ap) 2 Application : B = 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1
TD 4 Diagonalisation et trigonalisation
Une matrice N est dite nilpotente s’il existe un entier k 1 tel que Nk = 0 Montrer qu’une matrice diagonalisable est nilpotente si et seulement si elle est nulle Exercice 10 Soit E un espace vectoriel On dit que deux endomorphismes f et g de E commutent si et seulement si g f = f g 1
Réduction de matrices et endomorphismes
1 5 Matrice de rang 1 : Soit Aune matrice de M n(R) a) Montrer que rg (A) = 1 si et seulement si il existe deux matrices colonnes U et V non nulles telles que A= U tV b) Soit Aune matrice de rang 1 Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si rT (A) 6= 0 c) Si Aest une matrice de rang 1, calculer Ak pour tout entier k∈ N
Concours blanc MPSI Daudet-Jo re 2017 : Alg ebre (2h)
Le th eor eme de Jordan (admis ici) dit que toute matrice nilpotente est semblable a une matrice P diagonale par blocQ ou chacun des blocs diagonaux est un bloc de Jordan, c’est- a-dire de la forme : ™ Œ Œ Œ fl N p 1 O ::: O O N p 2 ⋮ ⋮ O O ::: O N p r fi Š Š Š Ł; chacun des Oapparaissant dans cette matrice etant une matrice
Univesrsit e Abdelmalek Essaadi Tetouan Parcours MIP
de la matrice Bn 2 a) Montrer que N est une matrice nilpotente d’ordre 2 b) V eri er que BN = N = NB c) Montrer que 8n 2N; BnN = N d) Par application de la formule du bin^ome de Newton et en justi ant l’utilisation, calculer An en fonction de B, N et n e) Expliciter les neufs coe cients de la matrice An 1
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Universite Abdelmalek Essaadi
Faculte des Sciences et Techniques d'Al-Hoceima
Departement de Mathematiques et Informatique
Premiere Annee Universitaire
Semestre : S 1
Filieres : MIP
CHAPITRE 4
CALCUL MATRICIEL ET R
ESOLUTIONS DESEQUATIONS LINEAIRES
PAR LA M
ETHODE DE GAUSS
Annee universitaire : 2018-2019
1Table des mati
eres1.Notions sur les matrices3
1.1. Matrices : Denition 3
1.2. Matrices diagonales et matrices triangulaires 3
1.3. Addition matricielle, multiplication par un scalaire et produit matriciel 4
1.4. Puissance d'une matrice 6
1.5. Transposee et trace d'une matrice 7
1.6. Inversion des matrices 8
2.Resolutions des sytemes lineaires11
2.1. Systemes lineaires 11
2.2. Systemes homogenes 11
2.3. Ecriture matricielle des systemes lineaires 12
2.4. Resolution par la methode du pivot de Gauss 13
2.5. Matrices inversibles et systemes lineaires 17
21.Notions sur les matrices
Ce chapitre est base sur un outil fondamental de l'algebre lineaire : les matrices. Il s'agit simplement a apprendre manipuler les matrices et voir le lien entre ces objets et les systemes d'equations lineaires pour lesquelles nous verrons une methode de resolution systematique.La methode de pivot de Gauss.
Dans tout ce chapitreKest l'un des ensembleRouC, les lettresn;p;q;:::designent des entiers naturels non nuls et [[1;n]] =f1;2;:::;ng.1.1.Matrices : Denition.
Denition 1.1.Une matriceAanligne et apcolonne (de taillenp) est un tableau rectangulaire anligne et apcolonne contenantnpelements deK. A=0 BBBBBB@a
11a12::: a1j::: a1p
a21a22::: a2j::: a2p
a i1ai2::: aij::: aip a n1an2::: anj::: anp1 CCCCCCAnote aussi
a ij1in1jpou simplement (aij):
8(i;j)2[[1;n]][[1;p]], le scalaireaij2 Kest appele coecient deAde position (i;j).
La matrice0
B BBB@a 1j a nj1 C CCCAest appele lajiemecolonne deAet la matriceai1: : : aipest appele saiiemeligne deA. L'ensemble des matrices de taillenpa coecients dansKnoteMn;p(K). Sin=pon parle de matrice carrees de taillenet l'ensemble de ces matrices est note M n(K) au lieu deMn;n(K). Les elementsa11;a22;:::;annconstituent la diagonale de A. Pourn= 1 on parle de matrices lignes (vecteurs lignes) de taillepet sip= 1 de matrice colonnes (vecteurs colonnes) de taillen. Les matrices de taillenpdont tous les coecients sont nuls est appelee la matrice nulle deMn;p(K) notee 0 ou 0n;p.Exemples 1.
0 @1 2 03 4 11 A est une matrice de taille 32 (3 lignes et 2 colonnes). 1 2 0 03 7 est une matrice de taille 23 (2 lignes et 3 colonnes). 0 @3 21 03 54 1 01
A est une matrice carree de taille 3 (3 lignes et 3 colonnes).1.2.Matrices diagonales et matrices triangulaires.
3Denition 1.2.
Une matriceA= (aij) carree est dite diagonale siAest non nulle et veriantaij= 0 sii6=j. c-a-d les coecients qui ne sont pas sur la diagonales sont tous nuls.Exemple 1.3.0
@3 0 0 0 1 00 0 21
A est une matrice carree diagonale de taille 3.Denition 1.4.
Une matrice carree est dite triangulaire superieure (resp. inferieure) si ses coecients situes strictement au-dessous (resp. strictement au-dessus) de la diagonale sont nuls0 BBBBBB@a
11a12: : : a1n
0a22: : : :
0: : :0ann1
CCCCCCA;0
BBBBBB@a
110: : :0
a21a22: : :
: : : :0 a n1: : : : ann1 CCCCCCA
Matrice triangulaire superieure ; Matrice triangulaire inferieure Remarque 1.5.Les matrices diagonales sont des matrices a la fois triangulaires superieures et triangulaires inferieures.1.3.Addition matricielle, multiplication par un scalaire et produit matriciel.
Denition 1.6.
(Addition matricielle) SoientA= (aij) etB= (bij) deux matrice deMn;p(K). Alors la somme deAet deBest la matriceC= (cij) deMn;p(K) denie parcij=aij+bijet on ecritA+B=C.Exemple 1.7.SoitA=0
@3 21 03 54 1 01
A etB=0 @2 5 0 0 114 6 31
A A+B=0 @5 71 02 40 7 31
A Remarque 1.8.Il faut que les deux matrices aient la m^eme taille (m^eme ligne m^eme colonne) pour pouvoir eectuer leur somme. Proposition 1.1.L'addition matricielle verie les proprietes suivantes : (1) Commutative : A+B=B+Apour toutes matricesAetBde m^eme taille. (2) Asso ciative: A+ (B+C) = (A+B) +Cpour toutes matricesA;BetCde m^eme taille. (3) L amatric enul le0npest un element neutre pour l'addition dansMn;p(K):A+ 0np= 0np+A=A.
(4) T outematric eA2 Mn;p(K)admet un oppose, c-a-d une matriceB2 Mn;p(K)telle queA+B=B+A= 0np. On notera plus simplementB=A. C'est une matrice dont les coecients sont les opposes des coecients deA. Preuve.Toutes ces proprieties sont evidentes. Elles decoulent immediatement des proprietes de la somme dansRou dansCpuisque la somme se fait terme a terme. 4Exemple 1.9.SoitA=0
@3 2 1 03 4 41 61A , alors l'oppose deAestA=0 @321 0 34 4 161 A
Denition 1.10.
(m ultiplicationpar un scal aire) Soient2 Kun scalaire etA= (aij) une matrice deMn;p(K). Alors le produit de la matrice Apar le scalaireest la matrice noteeAobtenue a partir deAen multipliant chacun de ses coecients par. C'est-a-direA= (aij).Exemple 1.11.SoitA=0
@3 2 1 03 4 41 61A , alors2A=0 @642 0 68
8 2121
AProposition 1.2. 82 K,8A;B2 Mn;p(K).
(A+B) =A+B,(+)A=A+A: (A) = ()A,1A=ADenition 1.12.
(Pro duitma triciel) SoientA= (aij)2 Mn;p(K) etB= (bij)2 Mp;q(K). Le produit des matricesAetBest la matriceC= (cij)2 Mn;q(K) avec c ij=pX k=1a ikbkj et on ecritC=ABouC=AB.Exemples 2.0
@2 1 1 3 2 01 A 1 0 1 21 3=0 @41 5 73 10
2 0 01
A 0 @1 02 3 2 50 1 41
A 0 @1 3 21A =0 @3 19 111
A 1 0 2 3 11 0 2 =11 2 4 , mais11 0 2 1 0 2 3 =13 4 6 a0 0b c0 0d =ac0 0bd Remarque 1.13.Le produit de deux matrice n'est pas en general deni que si le nombre des colonnes de la premiere matrice est egal au nombre des lignes de la deuxieme matrice. En d'autre terme : Matrice de taillenpMatrice de taillepq= Matrice de taillenq. Le produit de deux matrices carrees de taillenest une matrice carree de taillen. Le produit de deux matrices s'il est deni n'est pas commutatif, c-a-dAB6=BAen general. Le produit de deux matrices peut ^etre nul sans qu'aucune d'entre elle ne soit nulle. Par exemple : 1 0 2 0 0 0 1 2 =0 0 0 0 5 En particulier une puissance de matrice non nulle peut ^etre nulle : par exemple : 0 0 1 0 2 =0 0 0 0 Le produit de deux matrices carrees diagonales est une matrice diagonale :0 B