Réduction d’ordre partiel - École Polytechnique

D´eﬁnition 4 1 Soit A un ensemble et R une relation sur cet ensemble 1 R est appel´ee une relation d’ordre ou un ordre partiel si les conditions suivantes sont veriﬁ´ ´ees (a) Pour tout a ∈ A on a (a,a) ∈ R (reﬂexivit´ e) ´ (b) Pour tout a,b ∈ A si (a,b) ∈ R et (b,a) ∈ R alors a = b (antisym´etrie)

Exercices de Math´ematiques Relations d’ordre

C’est une relation d’ordre, mais partiel car {a} et {b} ne sont pas comparables Soit f l’application de E dans IN qui a toute partie de X associe son cardinal Elle est strictement croissante car si A ⊂ B ⊂ X, avec A 6= B alors Card(A) < Card(B)

Relations d’ordre

Relations d’ordre Cechapitretraitedesrelationsd’ordre Apr`esdesrappelsdenotionsabord´ees l’an dernier, on s’int´eresse plus particuli`erement aux “ordres bien fond´es” qui permettent de g´en´eraliser le principe de r´ecurrence 1 1 Ordre et ordre strict D´eﬁnition (relation binaire) Soit E un ensemble Une relation binaire

Correction TP 6 : Relation d’ordre

Exercice 3 : Relation d’ordre partielle Une relation d’ordre est une relation binaire r´eﬂexive, antisym´etrique et tran-sitive De plus, elle est partielle si au moins un couple d’´el´ements ne peut pas ˆetre compar´e La relation de divisibilit´e sur l’ensemble des entiers est bien une relation d’ordre :

1 Relations d’´equivalence et d’ordre

La relation R est-elle r´eﬂexive, sym´etrique, transitive ? Exercice 6 Dans N∗, on d´eﬁnit une relation

Relation binaire, relation dordre, treillis

* L’inclusion est une relation d’ordre partiel sur les parties d’un ensemble: X = {a,b,c} * Les entiers naturels peuvent etre munis d’un ordre plus subtilˆ que l’ordre usuel q est plus grand que p si q est multiple de p , D48 est un treillis J -L Baril Relation binaire, relation d’ordre, treillis

VIII Relations d’ordre et d’équivalence

VIII-RELATIONSD’ORDREETD’ÉQUIVALENCE Danstoutcechapitre,E estunensemble 1 Relations binaires Déﬁnition1 0 1 On appelle relation binaire tout triplet R = (E,F,Γ) oùE etF sontdesensemblesetoùΓ est