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c Christophe Bertault - MPSI Relations d’ordre

c Christophe Bertault - MPSI Relations d’ordre 1 Relations d’ordre Dans toute cette partie, E est un ensemble 1 1 Relations binaires Définition (Relation binaire) On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E,E,Γ) où Γ est une partie de E ×E

VIII Relations d’ordre et d’équivalence

VIII-RELATIONSD’ORDREETD’ÉQUIVALENCE Définition2 0 8 Si R est une relation d’équivalence sur E, on appelleensemblequotientdeE parR l’ensemble desclassesd’équivalences,notéE/R

CHAPITRE 7 : RELATIONS D ORDRE correction MPSI 08/10/20

CHAPITRE 7 : RELATIONS D’ORDRE correction MPSI 08/10/20 EXERCICE 30 Montrons que „est une relation d’ordre sur E • Réflexive : soit (x,y) 2E On a (x,y) ˘(x,y), donc (x,y) „(x,y) • Antisymétrique : Soient (x,y), (x0,y0) 2E On suppose que (x,y) „(x0,y0) et (x0,y0) „(x,y) On veut montrer qu’alors (x,y) ˘(x0,y0) On a

Feuille d’exercice n 08 : Relations d’ordre et d’équivalence

MPSI - Mathématiques Premier Semestre Feuille d’exercice n° 08 : Relations d’ordre et d’équivalence, et ensembles de nombres usuels Exercice 1 SoitEunensembleetAunepartiedeE OndéfinitlarelationRsurP(E) par :XRY siX∪A= Y∪A 1) MontrerqueRestunerelationd’équivalence 2) Décrirelaclassed’équivalencedeX∈P(E)

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RELATIONS BINAIRES

Définition (Relation d’ordre) On appelle (relationd’) ordre sur E touterelation binaire sur E qui est à la fois réflexive, transitive et antisymétrique Les relations d’ordre sont généralement notées ¶ou ´ou ®ou ­ Exemple Les relations ¶sur Ret RRsont des relations d’ordre, ainsi que la relation d’inclusion ⊂ sur P (E)

Bienvenue sur Melusine

Title: Microsoft Word - 03 Relations d'ordre doc Author: Ismael Created Date: 4/8/2006 7:32:45

Cours de mathématiques MPSI

Le relation R est donc une relation d’ordre sur R On la notera désormais 6, c’est à dire que xRy sera noté x 6y (i e x ¡y 2B) On remarquera que x 60 signifie que x 2B, et que 0 6x signifie que ¡x 2B et donc x 2A car x ˘(¡1)(¡x) : produit de deux éléments de B D’autre part, si x 2A et y 2B, alors x 6y car y ¡x ˘ y ¯(¡x

Fiches de Révision MPSI

sur le même sujet sous une même partie Les parties sont rangées dans l’ordre "d’apparition" en MPSI J’ai mis en Annexe des petites fiches de méthodologie, qui peuvent s’avérer utiles Je vous souhaite une bonne lecture, et surtout une bonne réussite Jean-Baptiste Théou iii

Cours de mathématiques MPSI

Si à partir d’un certain rang on a : jun ¡‘j6vn, et si vn0, alors limun ˘‘ Théorème 9 1 Preuve: Soit "¨, à partir d’un rang N1 on a jvnj˙", et à partir d’un rang N2 on a jun ¡‘j6vn, donc à partir du rang Max(N1,N2) on a jun ¡‘j˙" Lorsque la suite u admet une limite finie, on dit que u est convergente, sinon on dit

Informatique - CN3 - David Malka MPSI

Résolution numérique d’équation d’ordre supérieur à 1 Sommaire 1 Équations différentielles ordinaires (EOD) 2 Résolution numérique approchée d’équations d’ordre 1 3 Résolution numérique d’équation d’ordre supérieur à 1 4 Fonction prédéfinies en Python D Malka Informatique - CN3 MPSI 2018-2019 18/27

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Fiches de Révision

MPSI

TOME II - Mathématiques

Jean-Baptiste Théou

Creactive Commons - Version 0.1

Licence

J"ai décidé d"éditer cet ouvrage sous la licence Créative Commons suivante : CC-by-nc-sa.

Pour plus d"information :

http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/. une utilisation commercial à mon insu par exemple. Pour plus d"information sur vos droits, consultez le site de Créative Commons i

Avant-propos

Il y a un plus d"un an, au milieu de ma SUP MP, j"ai décidé de faire mes fiches de révision à

l"aide de Latex, un "traitement de texte" très puissant. Il en résulte les fiches qui suivent. Je pense

que travailler sur des fiches de révision, totalement séparé de notre cours, est un énorme plus, et

réduit grandement la quantité de travail pour apprendre son cours, ce qui laisse plus de temps

pour les exercices. Mon experience en tout cas va dans ce sens, j"ai notablement progressé à l"aide

de ces fiches.

J"ai décidé de les rassembler sous forme d"un "livre", ou plutôt sous forme d"un recueil. Ce livre

à pour principal interet pour moi d"être transportable en cours. C"est cet interet qui m"a poussé à

faire ce livre. Dans la philosophie de mes fiches de révision, ce livre est disponible gratuitement et librement sur mon blog. Il est édité sous License Créative Commons. Vous pouvez librement adapter ce

libre à vos besoins, les sources Latex sont disponibles sur mon blog. Je pense que pour être en

accord avec la philosophie de ces fiches, il serai bien que si vous effectuez des modifications de mon ouvrage, vous rendiez ces modifications disponible à tous. Je laisserai volontiers une place pour vos modifications sur mon blog. Je pense sincèrement que ce serai vraiment profitable au plus grand nombre, et dans la logique de mon travail.

J"ai hiérarchisé mon ouvrage de façon chronologique, tout en rassemblant les chapitres portant

sur le même sujet sous une même partie. Les parties sont rangées dans l"ordre "d"apparition" en

MPSI. J"ai mis en Annexe des petites fiches de méthodologie, qui peuvent s"avérer utiles. Je vous souhaite une bonne lecture, et surtout une bonne réussite.

Jean-Baptiste Théou

iii

Remerciements

Je tient à remercier tout particulièrement Yann Guillou, ex Professeur de Physique-Chimie en MPSI au Lycée Lesage, actuellement en poste en Guadeloupe, qui m"a permis de consolider mes

connaisances en physique et qui m"a ouvert les yeux sur la réalité de la physique et sur son his-

toire. Ces "digressions historiques" resterons de bons moments dans mon esprit, pour longtemps. Je remercie aussi Paul Maheu, Professeur de Mathématiques en MPSI au Lycée Lesage, qui m"a permis d"aquérir de solides connaisances en Mathématiques.

Sans eux, ce livre ne pourrai exister.

Pour finir, je me dois à mon avis d"insérer cette citation dans mon ouvrage, citation que nous a

donné Mr Guillou pour nos premiers coups de crayon en Prépa. Elle est à méditer ....

Je suis convaincu qu"il est plus bénéfique

pour un étudiant de retrouver des démonstrations à partir de quelques indications que de les lire et de les relire ....

Qu"il les lisent une fois, qu"il les

retrouvent souvent

SRINIVÂSAAIYANGÂR

RÂMÂNUJAN(1886-1920)

v

Première partie

Fonctions deRdansR

1

Chapitre1R

1.1 Définitions

1.2 Structure

Définition 1(R,+,) est un corps totalement ordonnée. On dit qu"il est archimédien. Définition 2La relation "" est une relation d"ordre. Elle est : !Reflexive :

8x2Rxx

!Anti-symétrique :

8(x;y)2R2si: (xy;yx);alorsx=y

!Transitive :

8(x;y;z)2R3si: (xy;yz);alorsxz

1.2.1 Majorant - Minorant

Soit A un ensemble

Majorant

Définition 3Si M est un majorant de A, avecM2A, alors :

M=Max(A)

Définition 4Si M est le plus petit des majorants de A, alors M est la borne supérieure de A :

M=Sup(A)

Propriété 1SiA cR, si Max(A) existe, alors Sup(A) existe et :

Sup(A) =Max(A)

Minorant

Définition 5Si M est un minorant de A, avecM2A, alors :

M=Min(A)

3 Définition 6Si M est le plus grand des minorant de A, alors M est la borne inférieure de A :

M=Inf(A)

Propriété 2SiA cR, si Min(A) existe, alors Inf(A) existe et :

Min(A) =Inf(A)

1.2.2 Borne supérieure - Borne inférieure

Propriété 3Toute partie deRnon vide et minorée possède une borne inférieure. Propriété 4Toute partie deRnon vide et majorée possède une borne supérieure.

Propriété 5Toute partie de Z non vide et majorée possède un plus grand éléments. (Max)

1.2.3 Partie bornée deR

SoitAune partie de E. On note ceci :A2P(E).

A est bornée si et seulement si :

9M2Rtq8a2A;jaj M

Propriété 6Propriété d"Archimède : Soient (x,y)2Ret x>0, alors :

9p2Z tq y < px

1.2.4 Partie entière

Définition 7Soitx2R.

Il existe un unique entier p telque px Cette entier p en la partie entière dex. On le noteE(x). Définition 8En complément, on défini la partie décimale dex, notéeD(x):

D(x) =xE(x)

1.2.5 Densité

Définition 9Soit A une partie deR

A est dense dansRsi, avecx6=y:

8(x;y)2R29a2A tq a2]x;y[

Propriété 7Puisque l"espace des fractions rationnels, notée Q, est dense dansR, six2R, alors il existe

une suite de rationnelle qui converge vers x.

1.3 Partie deR

Définition 10Soient (a,b)2R2. On appelle segment d"extrémité a,b : [a;b] =fx2R=axbg Définition 11Soit I une partie deR. I est un intervalle si :

8x2I;8y2I;[x;y]c I

1.3.1 Sous-groupes de (R;+)

Critère de reconnaissance des sous-groupes

Définition 12Soit H une partie deR.

On dit de H est un sous-groupe de (R;+) si (H;+) est un groupe. Propriété 8H est un sous-groupe si et seulement si :

1-H cRet H non vide

2-8(x;y)2H2;xy2H

Chapitre2Dérivation des fonctions deRdansR

2.1 Définitions

2.1.1 Définitions

Définition 13Soit f définie sur un voisinage d"un réel a. f est dérivable en a si : lim x7!af(x)f(a)xa existe dansR Si f est dérivable, cette limite est le nombre dérivée de f en a.

Propriété 9Le nombre dérivé est la pente d"une droite passant par a. Cette droite est appelé tangente à la

courbe représentative de f au point d"abscisse a.

L"équation de cette tangente est :

y=f(a) +f0(a)(xa)

2.1.2 Lien entre tangente et dérivabilité

Soitx2Df.

Propriété 10Si on peut écrire f(x) sous la forme : f(x) =f(a) +A(xa) +"(x)(xa) avec : lim x!a"(x) = 0 alors f est dérivable en a et f"(a) = A.

2.1.3 Continuité et dérivabilité

Propriété 11Si f est dérivable en a, alors f est continue en a Propriété 12f est dérivable en a si et seulement si : 8< :f est dérivable à droite en a f est dérivable à gauche en a f

0d(a) =f0g(a)

7

2.1.4 Théorème de Rolle

Théorème 1Si :8<

:f est continue sur [a,b] f est dérivable sur ]a,b[ f(a) =f(b) alors :

9c2]a;b[tq f0(c) = 0

2.1.5 Théorème des accroissement finies

Théorème 2Si :f est continue sur [a,b]

f est dérivable sur ]a,b[ alors :

9c2]a;b[tqf(b)f(a)ba=f0(c)

2.1.6 Inégalité des accroissement finies

Théorème 3Si :8<

:f est continue sur [a,b] f est dérivable sur ]a,b[ f" est borné sur ]a,b[

Soit M un majorant de |f"|, alors :

jf(b)f(a)j Mjbaj

Conséquence

!Si f est croissante sur I, alors f"(a)0 !Si f et g sont dérivable sur [a,b], avec :8x2[a;b]f0(x)g0(x), alors : f(b)f(a)g(b)g(a)

2.1.7 Classe d"une fonction

Soit f fonction, I un intervalle

Définition 14f est de classeCnsur I sif(n)est définie et continue sur I

Opération

Propriété 13Soit I un intervalle, soitn2N.

La somme, le produit, la composé de fonctionCnsur I, sont des fonctionsCnsur I

2.1.8 Formulaire

8n2N,8x2R:

cos (n)(x) =cos(x+n2 sin (n)(x) =sin(x+n2

2.1.9 Formule de Leinbniz

Soient f et g deux fonctions n fois dérivable sur I : (fg)n)=nX k=0 nk f(k):g(nk)

Chapitre3Étude locale d"une fonction

3.1 Étude locale

3.1.1 Dominance - Équivalence - Négligeabilité

Soita2R[ f+1;1g. Soient f et g deux fonctions définie au voisinage de a sauf peut être en a. Définition 15On dit que f est dominée par g au voisinage de a si9Va, voisinage de a telquejfg jsoit majorée deVa (f(x) = 0(g(x))),(9Va;voisinage de a;9M2Rtelque8x2Vajf(x)jMjg(x)j) Définition 16On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a, si, pour a2R:

8" >09 >0telque8x2]a+;a[jf(x)j "jg(x)j

On le notef(x)g(x)etf(x) =o(g(x)). On a :

(f(x)g(x)),(limx!af(x)g(x)= 0)

La définition est identique si a est infini

Définition 17On dit que f est équivalent à g, si : f(x)g(x)g(x)

On notef(x)g(x). Et on a :

(f(x)g(x)),(limx!af(x)g(x)= 1)

3.1.2 Comparaison successives

Soit f,g,h trois fonctions défini au voisinage de a, sauf peut être en a. Si : !Sif(x)g(x),g(x)h(x)alors : f(x)h(x) !Sif(x)g(x),g(x)h(x)alors : f(x)h(x) 11 !Sif(x)g(x),g(x)h(x)alors : f(x)h(x) !Sif(x)g(x),g(x)h(x)alors f(x)g(x)

3.1.3 Échelle de comparaison

Au voisinage de 0 :

0::x2x1ln(x)1x

Au voisinage de1

01x 21x

11ln(x)pxx2ex

3.1.4 Règles de Manipulation

Somme de deux fonctions

Si, au voisinage de a :

f(x)u(x) g(x)u(x) +6= 09

Alorsf(x) +g(x)(+)u(x)

Produit, rapport, valeur absolu

f(x)u(x) g(x)v(x)

Alorsf(x)g(x)u(x)v(x)

De plus :

f(x)g(x)u(x)v(x)

Soitun réel :

(f(x))(u(x)) jf(x)jju(x)j

Changement de variable

Le changement de variable dans un équivalent est autorisé, mais pas la composé ne l"est pas.

Propriété 14Sif(x)g(x), alorslimafetlimbfont même nature et si elles existent sont égales

3.1.5 Formule de Taylor avec reste de Young

Préliminaire

Théorème 4Si'est une fonction dérivable surV0, un voisinage de 0, et si '(0) = 0

9n2Ntelque six!0;'0(x) =O(xn)

Alors'(x) =O(xn+1)

Si'est dérivable surV0et si :

'(0) = 0 six!0;'0(x) =o(xn)

Alors six!0'(x) =o(xn+1)

Formule de Taylor

Définition 18Si f est de classeCnsurV0, alors8x2V0: f(x) =f(0) +f0(0)x+:::+xnn!f(n)(0) +o(xn) Si f est de classeCnsur un voisinage de a,Va,a2R, alors8x2Va: f(x) =f(0) +:::+(xa)nn!f(n)(a) +o((xa)n)

Chapitre4Développements limités

4.1 Notation de Landau

Définition 19Si, lorsque x7!0,f(x)g(x), on note : f(x) =o(g(x))

Soit n,p entiers :

!xno(xp) =o(xn+p) !o(xn)o(xp) =o(xn+p) !o(xn) +o(xp) =o(xinf(n;p)) !Si A est un réel fixé :

Ao(xn) =o(xn)

4.2 Définitions

Définition 20Soit f une fonction définie au voisinage de O. On dit que f possède un développement limité d"ordre n si il9(a0;:::an)2Rntelque : f(x)(a0+a1x+:::+anxn)xn donc, au voisinage de 0,f(x) =a0+a1x+:::+anxn+o(xn).

Il y a unicité du développement limité.

On peut faire une combinaisons linéaire de développement limité.

Définition 21On appelle partie principale du développement limité la fonction polynomiale suivant :

x7!a0+a1x+:::+anxn

4.3 Équivalence et développement limité

Définition 22Si f possède un développement limité d"ordre n au voisinage de 0, si9ktelqueak6= 0,

notons p l"indice du1erterme non nuls, alors, au voisinage de 0 : f(x)apxp

4.4 Régularité au voisinage de 0 et développement limité

Définition 23Au voisinage de 0 :

!f est de classeC0, 9un développement limité d"ordre O 15 !f est dérivable, 9un développement limité d"ordre 1 f est de classeC1) 9un développement limité d"ordre 1 f est de classeC2) 9un développement limité d"ordre 2

Formule de Taylor-Young

4.5 Développement limités usuels

!(1 +x)= 1 +x+(1)2! x2+o(x2) !cos(x) = 1x22! +x44! x66! +o(x6) !sin(x) = 1x33! +x55! x77! +o(x7) !ex= 1 +x+x22! +x33! +x44! +o(x4)

11x= 1 +x+x2+:::+xn+o(xn)

!ch(x) = 1 +x22! +x44! +:::+x2n2n!+o(x2n+1) !sh(x) = 1 +x33! +x55! +:::+x2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+1) !ln(1 +x) =xx22 +x33 +o(x3)

4.6 Dérivation et Intégration

Définition 24Pour obtenir le développement limité de f"(x), on dérive terme à terme le développement

limité de f(x).

Pour obtenir le développement limité de F(x), une primitive de f(x), on intègre terme à terme :

Sif(x) =a0+:::+anxn+o(xn), alors :

F(x) =F(0) +a0x+:::+ann+ 1xn+1+o(xn+1)

4.7 Développement limité au voisinage d"un réel a

Définition 25Soit f fonction défini au voisinage de a. On dit que f possède, au voisinage de a, un dévelop-

pement limité d"ordre n si9P2Rn[X]telque : f(x) =0+1(xa) +::::+n(xa)n+o((xa)n)

De plus :

(f est dérivable en a),(f est défini en a, et f possède au voisinage de a un développement limité d"ordre 1)

4.7.1 Tangente

Propriété 15Si, au voisinage de a, f(x) =0+1(xa) +o((xa)), alors : y=0+1(xa)

est tangent à la courbe en a. Le terme suivant non nul détermine la position relative de la tangente par

rapport à la courbe.

4.8 Développement limité généralisé

Soit2R

Définition 26Si au voisinage de 0, on peut écrire : f(x) =0x+:::+nx+n+o(x+n) Alors ceci constitue un développement limité généralisé de f en 0. Définition 27Six7!+1, avec f défini au voisinage de+1. Si on peut écrire : f(x) =0x+::::+nxn+o(xn)

Deuxième partie

Les suites

19

Chapitre5Suite numérique - Géneralité

5.1 Propriétés

5.1.1 Opérations

Soit (a),(b),(c) trois suites. On peut effectuer trois types d"opérations sur les suites : !Une somme : ((a) + (b) = (c)),(8n2N a+b=c) !Un produit : ((a):(b) = (c)),(8n2N a:b=c) !Un produit par un scalaire : ((a) =(c)),(8n2N a=c)

5.2 Suites particulière

5.2.1 Suite arithmétiques

Soit (un) une suite arithmétiques :

n X k=0u k= (n+ 1):u0+un2

5.2.2 Suite géométrique

Soit (un) une suite géométrique, de raison q : n X k=0u k=u0:1qn+11q

5.3 Suites vérifiant une relation de récurrence linéaire à coeffi-

ciants constants Soit (un) une suite vérifiant la récurrence : u n+2=a:un+1+b:un Alors, on obtient l"équation caractéristique, en simplifiant parrn: r

2=ar+b

21

Donc :

9(A;B)2 <2tq(un) =A(r1)n+B(r2)n

Chapitre6Convergence des suite numériques

réelles

6.1 Suites convergentes

Définition 28Soit(un)n0une suite de nombre réels.

On dit que(un)n0converge vers 0 si :

8" >0;9n02Ntq8nn0junj< "

Définition 29Soitl2R. La suiteunconverge vers l si :

8" >0;9n02Ntq8nn0junlj< "

Les suites convergentes possède les propriétés suivantes : !Une suite constante est convergente !Une suite géométrique de raison a avec |a|<1 converge vers 0 !La suite(1n )n1converge vers 0 !Si (un)converge vers une limite l, elle est unique. !Un suite (un) converge vers 0 si et seulement si(junj)converge vers 0 !Une suite convergente est bornée !Si (an) converge vers 0 et9n02Ntq8nn0junj janj, alors(un)converge vers 0

6.1.1 Caractérisation de la borne supérieur

On peut caractériser la borne supérieur d"un ensemble non vide et majorée à l"aide d"une suite.

Soit A une partie deR

(M est la borne supérieur de A),M est un majorant de A

9(an)tq8n2Nan2A et anconverge vers M

23

6.1.2 Caractérisation d"une partie dense

Soit A une partie deR

(A est dense dansR),(8x2R;9(un)2Rn;8n un2A et anconverge vers x)

6.1.3 Opération sur les suites convergentes

Nous avons les propriétés suivantes :

!La somme de deux suites convergente est convergente, et la limite de la somme est la somme des limites. !Le produit par une constante d"une suite convergente est convergente !Le produit d"une suite bornée par une suite convergente de limite nul est une suite conver- gente de limite nul. !Le produit d"une suite convergente par une suite convergente de limite nul est une suite convergente de limite nul. !Le produit de deux suite convergentes est une suite convergente !Si(un)est une suite convergente de terme tous non nuls, sil6= 0, alors1u nconverge vers 1l !Si(un)est une suite convergente de limite l, alors(junj)converge vers |l|

6.1.4 Lien entre le signe de la limite et le signe des termes de la suite

!Si l>0, alors9n02N, tq8nn0,un>0 !Si l<0, alors9n02N, tq8nn0,un<0 !Si9n02Ntq8nn0,un<0, alorsl0 !Si9n02Ntq8nn0,un>0, alorsl0 De ces correspondances, on détermine les comparaisons entre deux suites convergentes.

6.1.5 Théorème d"encadrement

Si : 8< :(un)converge vers l (vn)converge vers l

9n02N;8nn0; unxnvn

Alorsxnconverge vers l.

6.1.6 Suite extraites

Propriété 16Si(un)converge, alors toutes ses suites extraites converge vers la même limite. Propriété 17Si :(u'(n))et(u (n))converge vers la même limite f'(n)= n2Ng [ f (n)= n2Ng=N

Alors la suite(un)converge

6.2 Suites divergentes

6.2.1 Caractéristation des suites divergentes

Si : (u'(n))et(u (n))converge vers des limites différentes f'(n)= n2Ng [ f (n)= n2Ng=N

Alors la suite(un)diverge

6.2.2 Suites qui diverge vers1

Définition 30Soit(un)n0une suite de nombre réels.

On dit que(un)n0diverge vers+1si :

8A2R+;9n02Ntq8nn0un> A

Définition 31Soit(un)n0une suite de nombre réels.

On dit que(un)n0diverge vers1si :

8B2R;9n02Ntq8nn0un< B

Propriétés

!((un)diverge vers1),((un)diverge vers+1) !La somme d"une suite bornée et d"une suite qui diverge vers+1diverge vers+1quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14