1 Suites de Cauchy
1 Suites de Cauchy Exercice 1 1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (r n) n2N une suite de nombres r eels telle que jr n+1 r nj n, pour tout n2N, ou est un r eel strictement compris entre 0 et 1 Montrer que la suite (r n) n2N est de Cauchy Indication : on pourra ecrire, pour m>n, r m r n = P m 1 k=n (r k+1 r k) (b) Soient
Feuille d’exercices n 7 - MIT Mathematics
n2N est une suite de Cauchy pour jj:jj HS, c’est aussi une suite de Cauchy pour jjj:jjj d’apr es la question 2 Elle converge donc au sens de la norme op erateur, vers une limite A 1 Montrons qu’elle converge vers A 1pour jj:jj HS 4
TS Inégalité de Cauchy-Schwartz
Dans les exercices, on ne refait pas la démonstration On applique directement l’inégalité de Cauchy-Schwartz Il est possible de préciser le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwartz Cas particulier lorsque l’on prend les yi égaux aux xi Dans ce cas, l’inégalité est en fait une égalité
Corrig´es d’exercices pour le TD 4
Retrouver le r´esultat de la question 3 en montrant que (un)n≥1 est de Cauchy Solution 1 Pour tout n ≥ 1, u2n −un = X2n n+1 1 p ≥ n× 1 2n = 1 2 ce qui contredit le crit`ere de Cauchy Or, R ´etant complet, une s´erie de r´eels converge seulement si elle v´erifie le crit`ere de Cauchy Donc la s´erie harmonique diverge 2
Université Paris 7 - Paris Diderot Premier semestre 2012/13
2) Donner un exemple de suite qui ne converge pas et qui possède une unique valeur d’adhérence 3) Prouver que si (u n) est bornée et est divergente, elle admet toujours deux valeurs d’adhérence distinctes Exercice 12 Suites de Cauchy 1) Montrer que toute suite convergente est une suite de Cauchy 2) On souhaite prouver la réciproque
Exercices de math ematiques - Exo7 : Cours et exercices de
Exercices de math ematiques Exercises and corrections: Barbara Tumpach Resolution of linear systems by the Gauss method Exercise 1 Decide, for the following systems of equations with unknown variables x 1, x 2, :::, x n and parameters s, t, if they are linear : a) ˆ x 1 sin(t) +x 2 = 3 x 1 et +3x 2 = t2 b) ˆ 1 x 1 + 2 x 2 +::: + n xn = n x
FOURIER ANALYSIS METHODS FOR EVOLUTIONARY PARTIAL
n2N une suite de Cauchy de Hs Par d e nition de la norme, la suite (bu n) n2N est de Cauchy dans l’espace de Hilbert L2(Rd;h˘i2sd˘) Donc il existe une fonction euappartenant a l’espace L2(Rd;h˘i2sd˘) telle que (11) lim n1 kub n euk L2(Rd;h˘i2sd˘) = 0: En particulier, la suite (bu n) n2N tend vers eudans l’espace S0des
UNIVERSITÉ DE LORRAINE - Institut Élie Cartan de Lorraine
le développement g-adique de ω La suite (Ag i) ≥0 est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur {0, ,g−1} En parti-culier, pour g= 2, (Ag i) ≥0 est une suite de variables aléatoires indépendantes de Bernoulli de paramètre 1/2 1
Corrig´es d’exercices pour le TD 7
Corrig´es d’exercices pour le TD 7 Dans cette feuille, sauf indication contraire, H d´esigne un espace de Hilbert r´eel de produit scalaire h·,·i, et de norme associ´ee k·k = p h·,·i De plus, par un l´eger abus de notation, on identifiera un polynome P(X) = Pn i=0 aiX i avec la fonction polynomiale associ´ee x → P(x) d´efinie
Chapitre 9 : Exercices
4 Soit B une base obtenue en concaténant une base de Ker(f)et une base de Im(f) Justifier que B est une base orthonormée de E et déterminer la forme de la matrice de f dans la base B Exercice 21 Dans tout l’exercice, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 E est un espace vectoriel de dimension n 1
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