[PDF] Familles sommables - AlloSchool

Ensembles denombrables´

que Z n[X] est d´enombrable 2 Puisque Z [X] = S nZ [X] est une union d´enombrable d’ensembles d enombrables,´ Z [X] est lui memeˆ denombrable Si l’on note´ Z(P) l’ensemble des racines du polynomeˆ P 2Z [X], cet ensemble est fini et l’ensemble des nombres algebrique peut s’´ ecrire´ S P2Z [X] Z(P) L’ensemble des nombres

denombrabilite - Université Paris-Saclay

Preuve Par l’absurde Comme Q est d´enombrable, si R\Q ´etait d´enombrable, la r´eunion R serait d´enombrable, contradiction D´efinition 12 Un nombre r´eel ou complexe x est alg´ebrique s’il existe un polynoˆme P non nul, a` coefficients entiers, tel que P(x) = 0 Un nombre qui n’est pas alg´ebrique est dit transcendant

Dénombrement

Soit E un ensemble E est dénombrable lorsque E est fini ou lorsque E est en bijection avec N (E est alors infini dénombrable) Exemples : N est dénombrable L’ensemble des nombres pairs P est dénombrable En effet : k k P 2 N est bijective L’ensemble Z est dénombrable N N est dénombrable : 4 (4,0) (4,1) 3 (3,0) (3,1)

Familles sommables - AlloSchool

Commentaire 2 Si ϕest une bijection de Esur N, alors ϕ−1 est une bijection de Nsur Eet si ϕest une bijection de N sur E, alors ϕ−1 est une bijection de Esur N Donc, on a aussi : Eest dénombrable si et seulement si il existe une bijection de Esur N Exemple 1 Soit ϕ : N → Z n 7→ n 2 si nest pair − n+1 2 si nest impair est une

groupes non denombrables - WordPresscom

C’est un exercice classique que de montrer qu’un sous-groupe Gde (R,+)est soit nul, soit de la forme aZ avec a>0 (lorsque inf (G∩R∗ +)>0), soit dense dans R (lorsque inf (G∩R∗+) =0) Ainsi, il est facile de construire des groupes denses : il suffit de les prendre de la forme aZ+bZ avec aet blinéairement indépendants dans Q

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z2n 1 z2n+1 = +X1 n=0 z2n +X1 k z2n+1k= +X1 n=0 +X1 k=0 z2n(2k+1) outT entier naturel non nul ps'écrit de façon unique sous la forme p= 2n(2k+1) avec n;k2N On peut donc a rmer que N est la réunion des ensembles deux à deux disjoints suivants A n= 2n(2k+1) k2N Puisque la famille (zp) p2N uest sommable, on peut sommer par paquets et

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Familles sommables

Plan du chapitre

I -Ensembles dénombrables...............................................................................page 2

1)Définition ................................................................................................ page 2

2)Divers types d"ensembles dénombrables ...................................................................page 3

II -Familles dénombrables sommables...................................................................page 6

A -Familles réelles positives sommables ........................................................................ page 6

1)Définition ................................................................................................ page 6

2)Propriétés des familles sommables de réels positifs ........................................................ page 6

B -Familles complexes sommables ..............................................................................page 8

1)Définition ................................................................................................ page 8

2)Somme d"une famille sommable de réels .................................................................. page8

3)Somme d"une famille sommable de complexes .............................................................page 8

4)Propriétés des familles sommables de complexes .......................................................... page 6

5)Application de la sommabilité aux suites doubles ........................................................ page11

c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr

I - Ensembles dénombrables1) Définition

Définition 1.SoitEun ensemble.Eestdénombrablesi et seulement si il existe une bijection deNsurE.

Commentaire 1.Les éléments d"un ensemble dénombrable peuvent être " égrenés » les uns après les autres : le premier,

le deuxième, le troisième ... Dit autrement, un ensemble dénombrableEpeut être décrit comme l"ensemble des valeurs

d"une suite :E={xn, n?N}.?

Commentaire 2.Si?est une bijection deEsurN, alors?-1est une bijection deNsurEet si?est une bijection deN

surE, alors?-1est une bijection deEsurN. Donc, on a aussi :Eest dénombrable si et seulement si il existe une bijection

deEsurN.?

Exemple 1.Soit?:N→Z

n?→???n

2sinest pair

n+1

2sinest impairest une bijection.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-6-5-4-3-2-10654321

01 23 456789101112N

Z

En effet,?est bien une application.

Soit alorsψ:Z→N

n?→?2nsin?0 -(2n+1)sin < 0.ψest une application deNdansZ.

Soitn?N.ψ(?(n)) =?2?(n)si?(n)?0

-(2?(n) +1)si?(n)< 0. De plus,?(n)?0?nest pair et donc

ψ(?(n)) =?????2×n

2sinest pair

2? -n+1 2? +1? sinest impair=n.

De même, pourn?Z,

?(ψ(n)) =?????2n

2sin?0

-(2n+1) +1

2sin < 0=n.

Donc,ψ◦?=IdNet?◦ψ=IdZ. On sait alors que?est une bijection et queψ=?-1. Puisqu"il existe une bijection

deNsurZ,

Zest dénombrable.

Exemple 2.Soit?:N→2N

n?→2n.?est une bijection de l"ensembleNdes entiers naturels sur l"ensemble2Ndes entiers pairs. Donc,

2Nest dénombrable.

Théorème 1.SiEest un ensemble dénombrable et siFest un ensemble en bijection avecE, alorsFest dénombrable.

Démonstration.Soitfune bijection deEsurNet soitgune bijection deFsurE. Alors,g◦fest une bijection deFsur

Net doncFest dénombrable.

c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.fr

2) Divers types d"ensembles dénombrablesOn a vu précédemment que2Nest dénombrable. Plus généralement :

Théorème 2.Toute partie infinie deNest dénombrable.

Démonstration.SoitAune partie infinie deN. Construisons une bijection strictement croissante deNsurA.

•Aest en particulier une partie non vide deN. Donc,Aadmet un plus petit élément que l"on note?(0). PuisqueAest

infinie,A\?0,?(0)?est encore infinie et en particulier n"est pas vide. Donc,A\?0,?(0)?admet donc un plus petit élément

que l"on note?(1). Par construction,?(1)> ?(0). De plus,A∩??(0),?(1)?={?(1)}. •Soitn?1. Supposons avoir construit?(0), ...,?(n)tels que?(0)< ... < ?(n)et pourk??1,n?,

A∩??(k-1),?(k)?={?(k)}.

PuisqueAest infinie,A\?0,?(n)?est encore infinie et en particulier,A\?0,?(n)?est une partie non vide deN.A\?0,?(n)?

admet un plus petit élément que l"on note?(n+1). Par construction,?(n+1)> ?(n)etA∩??(n),?(n+1)?={?(n+1)}.

On vient de construire par récurrence une application?deNdansA, strictement croissante et donc injective.

Soit alorsy?A. Siy??0,?(0)?, alorsy??0,?(0)?∩A={?(0)}et doncy=?(0)??(N).

Sinon, puisque la suite(?(n))n?Nest une suite strictement croissante d"entiers naturels, il existek?N?tel que?(k-1)<

y??(k). On en déduit quey?A∩??(k-1),?(k)?={?(k)}et donc quey=?(k)??(N).

On a montré que?(N) =Aet donc que?est surjective. Finalement,?est une bijection deNsurAou encoreAest

dénombrable.

Une conséquence du théorème 1 est :

Théorème 3.Un ensemble non vide est fini ou dénombrable si et seulement siil est en bijection avec une partie non

vide deN.

Démonstration.SoitEun ensemble non vide fini ou dénombrable. SiEest fini, on sait qu"il existen?N?tel queEsoit

en bijection avec?1,n?(nest alors le cardinal deE). SiEest infini dénombrable,Eest en bijection avecN. Dans tous les

cas,Eest en bijection avec une partie non vide deN.

Réciproquement, soitEest un ensemble non vide tel qu"il existe une bijectionfdeEsur une certaine partie non videA

deN.

SiAest finie, il existen?N?etgbijection deAsur?1,n?(oùnest le cardinal deA). Mais alors,g◦fest une bijection

deEsur?1,n?et doncEest fini (de cardinaln).

SiAest infinie, d"après le théorème 1,Aest dénombrable et donc il existe une bijectiongdeAsurN. Dans ce cas,g◦f

est une bijection deEsurNet doncEest dénombrable.

Théorème 4.N2est dénombrable.

Démonstration.Soit?:N2→N?

(m,p)?→2m(2p+1).?est une application deN2dansN?. Soit(m,p)?N2.?(m,p) =1?2m(2p+1) =1?2m=2p+1=1?m=p=0?(m,p) = (0,0). Donc, l"élément1 deN?a un et seul antécédent par?à savoir(0,0).

Sinon, pourn?2donné, le théorème fondamental de l"arithmétique montre qu"il existe un et un seul couple(m,p)

d"entiers naturels tel quen=2m(2p+1)(nest de manière unique le produit d"une puissance de2et d"un nombre impair)

et que ce couple(m,p)n"est pas le couple(0,0). En résumé, ?n?N?,?!(m,p)?N2/ ?(m,p) =n.

?est donc une bijection deN2surN?. PuisqueN?est une partie infinie deN,N?est dénombrable d"après le théorème 2

et finalementN2est dénombrable d"après le théorème 1.

Commentaire.On peut citer une autre bijection deN2surN(voir exercices maths sup, planche no3, exercice no14) :

?(x,y)?N2, f(x,y) =(x+y)(x+y+1) 2+y. c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.3 http ://www.maths-france.fr

012345...

0(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)(0,5)...

0(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)...

0(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)...

0(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)...

0(4,0)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)...

0(5,0)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)...

0 1 2 3 4 56
7 8 910
11 12 13 Théorème 5.Un produit cartésien (fini) d"ensembles dénombrables est dénombrable.

Démonstration.•Commençons par vérifier le résultat pour un produit de deux ensembles dénombrables. SoientE1et

E

2deux ensembles dénombrables.

Il existe une bijectionf1deE1surNet une bijectionf2deE2surN.

Soit?:E1×E2→N2

(a,b)?→(f1(a),f2(b)). Pour tout(n,m)?N2, il existe un et un seul(a,b)?E1×E2tel que

(f1(a),f2(b)) = (n,m). Ceci montre que?est une bijection deE1×E2surN2. PuisqueN2est dénombrable d"après

le théorème 4,E1×E2est dénombrable d"après le théorème 1.

•Soitk?2. Supposons qu"un produit cartésien dekensembles dénombrables soit dénombrable. SoientE1, ...,Ek+1,

k+1ensembles dénombrables. Alorsk+1? i=1E i=? k? i=1E i? ×Ek+1est dénombrable par hypothèse de récurrence et d"après le cask=2.

On a montré par récurrence qu"un produit cartésien (fini) d"ensembles dénombrables est dénombrable.

L"exemple 2 du paragraphe 1) permet d"énoncer

Théorème 6.Zest dénombrable.

et en cumulant les résultats des théorèmes 4, 5 et 6, on peut énoncer Théorème 7.?k?N?,Nkest dénombrable et?k?N?,Zkest dénombrable. Théorème 8.Une réunion dénombrable d"ensembles dénombrables est dénombrable.

Démonstration.SoitIun ensemble dénombrable d"indices. Soient(Ei)i?Iune famille d"ensembles dénombrables indexée

parIpuisE=? i?IE i. Pour chaquei?I, il existe une bijectionfideNsurEi. Soit?:I×N→E (i,n)?→fi(n).?est une

application surjective deI×NsurE. D"autre part,Iest dénombrable et doncI×Nest dénombrable d"après le théorème

5. Il existe donc une bijectionψdeNsurI×N. L"applicationg=ψ◦φest une surjection deNsurE.

Montrons alors qu"à partir de l"applicationg, on peut construire une application bijective deEsur une partie infinie deN.

Soity?E.g-1(y) ={n?N/ g(n) =y}est une partie non vide deN. Donc,g-1(y)admet un plus petit élément que

l"on noteny. Considéronsf:E→N y?→ny.fest une application deEdansN. Soient alorsyety?deux éléments deE. Siny=ny?, alorsy=g(ny) =g(ny?) =y?. Donc,fest une application injective deEdansNou encorefinduit une

bijection deEsurA=f(E)qui est une partie deN. On en déduit queEest fini ou dénombrable. CommeEcontient au

moins un ensemble dénombrable,Eest infini et finalementEest dénombrable.

En adaptant un peu la démonstration précédente, on obtient le théorème suivant que nous admettrons :

Théorème 9.Une réunion finie ou dénombrable d"ensembles finis ou dénombrables est un ensemble fini ou dénom-

brable.

On en déduit en particulier que

Théorème 10.Qest dénombrable.

c?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.4 http ://www.maths-france.fr Démonstration.Pourn?N?, posonsEn=?ab,(a,b)?Z×N?,|a|?n, b?n? . On aQ=? n?N?E net chaqueEnest

fini (de cardinal inférieur ou égal àn(2n+1)). Donc,Qest fini ou dénombrable d"après le théorème précédent puisQest

dénombrable carQest infini.

Plus généralement,

Théorème 11.?k?N?,Qkest dénombrable.

Citons enfin un premier exemple très important d"ensemble non dénombrable :

Théorème 12.Rn"est pas dénombrable.

Démonstration.Contentons nous de montrer que l"intervalle[0,1[n"est pas dénombrable. Supposons le contraire par

l"absurde. On peut donc trouver une bijectionn?→xndeNdans[0,1[et en particulier[0,1[est l"ensemble des valeurs

d"une certaine suite(xn)n?N: [0,1[={xn, n?N}.

On sait que chaque réelxnde[0,1[admet un développement décimal propre de la formexn=0,dn,1dn,2dn,3...où les

d

n,k,k?N?, sont les décimales dexnet donc des éléments de?0,9?et lesdn,k,k?N?, ne sont pas toutes égales à9à

partir d"un certain rang. On va maintenant construire un réel de[0,1[qui ne peut être l"un desxnselon le principe de la

diagonale deCantor: x 0=0 , d0,1d0,2d0,3d0,4d0,5... x

1=0 , d1,1

d1,2d1,3d1,4d1,5... x

2=0 , d2,1d2,2

d2,3d2,4d2,5... x

3=0 , d3,1d3,2d3,3

d3,4d3,5... x

4=0 , d4,1d4,2d4,3d4,4

d4,5... On considèrex=0,c1c2c3...oùc1,c2,c3sont des chiffres éléments de?0,8?tels quec1?= d0,1,c2?=d1,2,c3?=d2,3...

Puisque?n?N?,cn?=dn-1,n, on en déduit que?n?N,x?=xnpar unicité d"un développement décimal propre.

L"hypothèse de dénombrabilité faite sur[0,1[est donc absurde et on a montré que[0,1[n"est pas dénombrable et donc

queRn"est pas dénombrable.

Commentaire.N,Z,QetRsont des ensembles infinis. Il existe une bijection deNsurZouQmais il n"existe pas de

bijection deNsurR(il existe néanmoins une injection deNsurRà savoirn?→n). Dit autrement, " l"infini deRest

strictement plus grand que l"infini deN,ZouQ». Les mathématiciens ont décidé de noter?0(aleph 0 où aleph est la

première lettre de l"alphabet hébreu) le cardinal deN,Z,Qet?1le cardinal deR. On a donc 0Cantora mis en évidence le fait que chaque fois que l"on se donne un ensembleE(fini ou pas), on peut en construire

un autre de cardinal strictement plus grand : siEest un ensemble alors card(E)

card(P(E))car on dispose d"une injection deEdansP(E)à savoir l"injectionx?→{x}). La démonstration du fait qu"il

n"existe pas de bijection deEsurP(E)ressemble à un tour de magie où l"on doit découvrir le truc et pourtant il n"y a

aucun truc :

Soitfune application deEversP(E). SoitA={x?E/ x /?f(x)}. Montrons queAest un élément deP(E)qui n"a pas

d"antécédent parf. Dans le cas contraire, il existex0?Etel quef(x0) =A. Mais où estx0? Six0?A={x?E/ x /?f(x)},

alorsx0/?f(x0) =Ace qui est une contradiction et six0/?A={x?E/ x /?f(x)}, alorsx0?f(x0) =Ace qui est une

contradiction. Donc,x0n"existe pas ou encoreAest un élément deP(E)qui n"a pas d"antécédent dansEparf.

On a montré qu"une application deEversP(E)n"est jamais surjective. Notons que dans le cas oùEest fini de cardinal

n, ce qui précède montre (de manière assez sophistiquée) quen < 2n. Ainsi, par exemple,P(R)est un ensemble infini de

cardinal strictement plus grand que?1le cardinal deR, cardinal que les mathématiciens ont appelé?2et ainsi de suite.

0 c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.5 http ://www.maths-france.fr II - Familles dénombrables sommablesA - Familles réelles positives sommables1) Définition

Définition 2.SoitIun ensemble dénombrable d"indices. Soit(ui)i?Iune famille de réels positifs indexée parI.

La famille(ui)i?Iestsommablesi et seulement si Sup?? i?Ju i, J?I, Jfini? La famille(ui)i?Iest ditenon sommabledans le cas contraire.

Si la famille(ui)i?Iest sommable, la somme des éléments de cette famille ou encore, en plus condensé, la somme de

cette famille est

S(u) =?

i?Iu i=Sup?? i?Ju i, J?I, Jfini?

Si la famille(ui)i?In"est pas sommable, on pose?

i?Iu i= +∞.

Dans le cas d"une suite de réels positifs, on peut tout de suite faire le lien avec la convergence d"une série. Les notions de

suite sommable et de série convergente coïncident : Théorème 13.Soit(un)n?Nune suite de réels positifs.

La suite(un)n?Nest sommable si et seulement si la série de terme généralunconverge et dans ce cas,

n?Nu n=+∞? n=0u n.

Démonstration.

•Supposons la suite(un)n?Nsommable. PosonsS(u) =Sup?? k?Ju k, J?N, Jfini? . Pour toutn?N, posonsIn=?0,n?.

Pour toutn?N,Inest une partie finie deNet donc

?n?N,n?quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14