Exo7 - Cours de mathématiques
10 Logique et raisonnements – « 2£3˘7 » – « Pour tout x2R, on a x2 ˚0 – « Pour tout z2C, on a jzj˘1 Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions
Exo7 - cours et exercices corrigés de mathématiques
Application : écrire la matrice dans la base canonique (orthonormée directe de R3) de la rotation autour de k = p1 2 (e 1 +e 2) et d’angle q = p 3 Correction H [005498] Exercice 18 ** Soit f continue strictement positive sur [0;1] Pour n2N, on pose I n = R 1 0 f n(t)dt Montrer que la suite u n = I n+1 I n est définie et croissante
Cours - Applications lineaires
Définition (Application linéaire) Soient E et F deux K-espaces vectoriels On appelle application linéaire de E dans F toute application f: E −→F qui préserve les combinaisons linéaires : ∀x, y ∈E, ∀λ,µ∈K, f (λx +µy)=λf (x)+µf (y) L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F)
Convolution
L’application: ( x;y) 7(x y;y) est un C1 di eomorphisme de R d R de Jacobien 1, donc par th eor eme de changement de variable jjg fjj L1(Rd Rd) = jj(g f) jj L1(Rd Rd) = Z Rd Rd jf(y)g(x y)jdx dy: Donc (x;y) 7f(y)g(x y) est Lebesgue int egrable sur Rd Rdet la conclusion est une cons equence directe du th eor eme de Fubini
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
ISPB, Faculté de Pharmacie de Lyon Année 2014 - 2015 Filière ingénieur 3ème année de pharmacie ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
Institut de Mathématiques de Toulouse
Created Date: 12/19/2013 10:18:27 AM
Intégrales curvilignes et de surfaces
Afin de simplifier la compréhension du cours, nous ne considèrerons que des espaces vectoriels normés E réels de dimension 2 ou 3, supposés munis de leur structure affine naturelle
Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel
b/ Si le point d’application se déplace sur la droite, le vecteur est dit vecteur glissant 2 1 3 Repère de l’espace affine: E désigne l’espace affine réel de dimension 3 Les éléments de E sont des points que l’on note : A, B, M, N, etc D’autre part E désigne l’espace vectoriel attaché à E, ses éléments
Chapitre II Interpolation et Approximation
Interpolation et Approximation 25 2 4 6 8 10 −5 0 5 10 p(x) FIG II 1: Polynoˆme d’interpolation de degre´ 5 Solution En inse´rant les conditions (1 2) dans (1 1), le proble`me se transforme en un syste`me
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Intégrales curvilignes et de surfacesFabrice DoduFORMATIONCONTINUE: DUT+3DÉPARTEMENT DEMATHÉMATIQUES: INSA TOULOUSE2000-2001
Version 1.0
SommaireI Le cours61 Intégrales curvilignes81.1 Notions sur les arcs paramétrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.1.2 Premières définitions et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.1.3 Arcs orientés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.1.4 Points particuliers et tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.1.5 Longueur d"un arc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.2 Circulation d"un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.2.2 Calcul pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2.3 Champ dérivant d"un potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.2.4 Formule de Green-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22SommaireEntrées canoniques2DocumentsExemplesExercices
2 Intégrales de surfaces242.1 Notions sur les surfaces paramétrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262.1.2 Définition : plan tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.1.3 Aire d"une surface non plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302.2 Flux d"un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.2.1 Flux et intégrale de surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332.3 Théorèmes intégraux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352.3.1 Théorème de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362.3.2 Théorème d"Ostrogradski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37II Les annexes39A Les exemples40A.1 Exemples du chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42A.1.1 Arc paramétré dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42A.1.2 Arc paramétré dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43A.1.3 Arc paramétré dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44A.1.4 Orientation et tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45A.1.5 Circulation d"un champ de IR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46A.2 Exemples du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47A.2.1 La sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47A.2.2 Le parapluie de Whitney. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48SommaireEntrées canoniques3DocumentsExemplesExercices
A.2.3 Equation cartésienne d"une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49A.2.4 Equation cartésienne du plan tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50B Les exercices51B.1 Exercices du chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53B.1.1 Points simples et multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53B.1.2 Périmètre du cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54B.1.3 Longueur d"un arc défini par une équation cartésienney=f(x). . . . . . . . . . . .55B.1.4 Travail sur une demi-ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56B.1.5 Travail sur une helice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57B.1.6 Travail d"un champ dérivant d"un potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58B.1.7 Exercice : premier bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59B.1.8 Calcul d"aire d"une surface plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60B.1.9 Exercice : second bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61B.2 Exercices du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62B.2.1 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne. . . . . . . . . . . .62B.2.2 Aire d"un cylindre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63B.2.3 Flux à travers une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64B.2.4 Exercice : premier bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65B.2.5 Application à la formule de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66B.2.6 Application à la formule d"Ostrogradski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67B.2.7 Exercice difficile : pour le plaisir.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68SommaireEntrées canoniques4DocumentsExemplesExercices
C Les documents70C.1 Documents du chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71C.1.1 Masse d"un fil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71C.1.2 Rappels de calcul vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72C.2 Documents du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75C.2.1 Règle du tire-bouchon de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75SommaireEntrées canoniques5DocumentsExemplesExercices
Première partie
Le coursSommaireEntrées canoniques6DocumentsExemplesExercicesAfin de simplifier la compréhension du cours, nous ne considèrerons que des espaces vectoriels normésE
réels de dimension 2 ou 3, supposés munis de leur structure affine naturelle. Ainsi les éléments deEseront ap-
pelésvecteurss"ils sont considérés comme des éléments de l"espace vectorielE, etpointss"ils sont considéres
comme des éléments de l"espace affineE. Notation. On notera indifféremmentx= (x1;;xn)oux=0 B @x 1... x n1 CAun vecteurx2E(n=2 ou 3).
Six;y2Ealorsa)xy=nX
i=1xiyi=x1y1+xnyn.b)kxk=qx21++x2n.c)sin=3,x^y= (x2y3x3y2;x3y1x1y3;x1y2x2y1).SommaireEntrées canoniques7DocumentsExemplesExercices
chapitre suivantI1 Intégrales curvilignes1.1 Notions sur les arcs paramétrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.2 Circulation d"un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16SommaireEntrées canoniques8DocumentsExemplesExercices
Nchapitresection suivanteI1.1 Notions sur les arcs paramétrés1.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.1.2 Premières définitions et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.1.3 Arcs orientés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.1.4 Points particuliers et tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.1.5 Longueur d"un arc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15SommaireEntrées canoniques9DocumentsExemplesExercices
Nsectiongrain suivantIDéfinitionnotion clé :Arc paramétréExemples:exemple A.1.1exemple A.1.2exemple A.1.3Définition 1.Soit E un espace vectoriel normé (e.v.n.) de dimension 2 ou 3. Soit I un intervalle deIR
non vide et non réduit à un point. Un arc paramétré de classe Ckest une application de classe C kde I dans E notée I!E t7! (t). (t) = ( 1(t);2(t))(resp.
(t) = ( 1(t); 2(t);3(t))) est un arc paramétré deIR2
(resp.IR3).(I)est appelésupport de l"arc paramétré.SommaireEntrées canoniques10DocumentsExemplesExercices
NsectionJgrain précédentgrain suivantIPremières définitions et propriétésnotion clé : Points et arcsExercices:exercice B.1.1Définition 2.m est appelépoint simplede (I)si il existe un unique tm2I tel que m= (tm).Un pointmultipleest un point qui n"est pas simple.Définition 3.Un arc est ditsimplesi tous les points sont simples (i.e. si
est injective).Définition 4.Un arc est ditfermési (a) =(b).Définition 5.Un arc fermé est ditfermé simplesi I est de la forme[a;b]( fermé borné),
(a) = (b) et la restriction de à l"intervalle[a;b[est injective.SommaireEntrées canoniques11DocumentsExemplesExercices NsectionJgrain précédentgrain suivantIArcs orientésnotion clé :Arcs équivalentsDans les exemplesA.1.1etA.1.2, les supports des deux arcs paramétrés sont les "
mêmes ". Mathématique, on traduit ce constat par la définition suivanteDéfinition 6.Soient(I;
)et(J;)deux arcs paramétrés.On dit que les deux arcs sontCkéquivalentssii)
etsont de classe Ck.ii)Il existe une bijection:I!J de classe Ckainsi que sa réciproque telle queest appeléchangement de paramètre.Remarque 1.1.est donc nécessairement strictement monotone car est bijectif.Définition 7.OnappellearcgéométriquedeclasseCkl"ensembledesarcsparamétrésCkéquivalents.
On le note:
Les représentants desont appelésarcs paramétrés admissibles(ou représentationsadmissibles).Définition 8.Soitun arc géométrique de classe Ckk1.IIISommaireEntrées canoniques12DocumentsExemplesExercices
Soit( 1;2)22donc il existetel que
1= 2donc01(t) =
02((t))0(t).
On dit que
1et2sont demême sens(oupositivementCkéquivalents)si0(t)>0
, et desens contraire(ounon-positivementCkéquivalents)si0(t)<0.On note+=f(I;
)2tel que estpositivementCkéquivalent}.On note=f(I;
)2tel queestnon-positivementCkéquivalent}.Remarque 1.2.étant strictement monotone, il suffit de vérifier le signe de0pour un
point quelconque de I:Lemme 1.1.Pour qu"un arc géométrique admette deux orientations, il suffit qu"il possède au moins
deux points simples.JJJSommaireEntrées canoniques13DocumentsExemplesExercices NsectionJgrain précédentgrain suivantIPoints particuliers et tangentenotion clé :Régulier, stationnaire,
tangenteExemples:exemple A.1.4Définition 9.Soit une paramétrisation dearc géométrique de classeCk;(k0):i)Un point simple m= (tm)de (I)est ditréguliersi0(t)6=0.
L"arc est régulier si tous ces points simples sont réguliers.ii)Un point simple m= (tm)de (I)est ditstationnairesi0(t) =0.Remarque 1.3.Ces définitions sont indépendantes du choix de la paramétrisation.Définition 10.On appelletangenteau point m la droite passant par m et de vecteur directeur
0(tm).Définition 11.Soit(I;
)un arc régulier. On appellevecteur tangent unitairela quantité T(t) = (t)k0(t)k.
T(t)est dirigé dans le sens de l"orientation de l"arc(I; ).SommaireEntrées canoniques14DocumentsExemplesExercices NsectionJgrain précédentLongueur d"un arcnotion clé :Longueur d"un arcExercices:exercice B.1.2exercice B.1.3Documents:document C.1.1Définition 12.Soit(I;
)un arc paramétré de classeCk;(k1).On appelle longueur de l"arc
, le réel positifnoté L défini par L (I) =Z I k0(t)kdt(1.1)En particulier, si(I;
)est un arc paramétré deIR2alors L (I) =Z Iq01(t)2+
02(t)2dt
De même, si(I;
)est un arc paramétré deIR3alors L (I) =Z Iq01(t)2+
02(t)2+
03(t)2dtSommaireEntrées canoniques15DocumentsExemplesExercices
NchapitreJsection précédente1.2 Circulation d"un champ de vecteurs1.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.2.2 Calcul pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2.3 Champ dérivant d"un potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.2.4 Formule de Green-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22SommaireEntrées canoniques16DocumentsExemplesExercices
Nsectiongrain suivantIDéfinitionnotion clé :Champ de vecteurs et
circulationExemples:exemple A.1.5Documents:document C.1.2Définition 13.SoitA E; espace affine réel de dimension fini attaché à un espace vectoriel E.
Un champ de vecteurs surAest une application deAdansE.Remarque 1.4.l"application(x;y)2IR27!sin(x)cos(y);x2est un champ de vec-
teurs deIR2.Définition 14.Soient V un champ de vecteur continu surAet(I= [a;b]; )un arc paramétré de classeCktel que ([a;b]) A. On appellecirculationou (travail) de V relative à , le réel défini par Z b a V( (t))0(t)dt(1.2)SommaireEntrées canoniques17DocumentsExemplesExercices
NsectionJgrain précédentgrain suivantICalcul pratiquenotion clé :Calcul du travail d"un
champ de forceExercices:exercice B.1.4exercice B.1.5Point de vue physiqueSoientA=
(a),B= (b)deuxpointsdeIR3etV(x;y;z) = (P(x;y;z);Q(x;y;z);R(x;y;z)) un champ de vecteur. (t) = (x(t);y(t);z(t)).AlorsRb
aV( (t))0(t)dtest letravail totalproduit par le champ de forceVlorsque
une particule se déplace du pointAau pointBle long de la trajectoire paramétrée par et ce travail est noté W yAB(V) =Rb aV( (t))0(t)dt
=R yABPdx+Qdy+Rdz
Rappel :WyAB(V) =WyBA(V)
Méthodologie: calculer le travail deVle long du segment curviligneyAB(donc orienté).1.a)Déterminer une paramétrisation([a;b]; )de l"arc orienté.IIISommaireEntrées canoniques18DocumentsExemplesExercices b)Vérifier si cette paramétrisation est compatible avec l"orientation imposée par l"énoncé.c)Si la paramétrisation est compatible avec l"orientation alors W yAB(V) =Z b a V( (t))0(t)dt(1.3)d)Si la paramétrisation n"est pas compatible alors
W yAB(V) =Z b a V( (t))0(t)dt(1.4)e)Calculer une intégrale simple.2.En utilisant la seconde formule, il suffit simplement d"" intégrer " la forme diffé-
rentielle !=Pdx+Qdy+RdzJJJSommaireEntrées canoniques19DocumentsExemplesExercices NsectionJgrain précédentgrain suivantIChamp dérivant d"un potentielnotion clé :Potentiel et travailExercices:exercice B.1.6exercice B.1.7Définition 15.Soit U un champ de vecteur continûment dérivable.
On dit que Udérived"unpotentielf si U=rf.Remarque 1.5.Si U dérive d"un potentiel alorsrotU=rot(rf) =0d"après le do-
cumentC.1.2.Théorème 1.1.Soit U un champ de vecteur dérivant d"un potentiel f.Alors, on a :
W yAB(U) =f(B)f(A)Démonstration.On suppose que la paramétrisation [a;b]; (t) = (x(t);y(t);z(t)) est compatible avec l"orientation du segment curviligne yAB. CommeU=rf, on a d"après la formule (1.3),IIISommaireEntrées canoniques20DocumentsExemplesExercices U( (t))0(t) =@f@xx(t);y(t);z(t)x0(t) +@f@y(x(t);y(t);z(t))y0(t)
@f@z(x(t);y(t);z(t))z0(t) dfdtx(t);y(t);z(t)Donc on obtient
W yAB(U) =Z b adfdtx(t);y(t);z(t)dt =f(x(b);y(b);z(b))f(x(a);y(a);z(a))=f(B)f(A)(1.5)Remarque 1.6.i)Si U dérive d"un potentiel alors son travail ne dépend pas du chemin suivi pour
aller de A vers B.ii)Si la courbe est fermée alors son travail est nul (car A=B).JJJSommaireEntrées canoniques21DocumentsExemplesExercices
NsectionJgrain précédentFormule de
Green-Riemannnotion clé :
Green-Riemann, Calcul
d"aireExercices:exercice B.1.8exercice B.1.9La formule de Green-Riemann permet de ramener, dans certains cas, une intégrale
double en une intégrale curviligne sur la courbe qui délimite le domaine d"intégration.DFigure 1.1 - DomaineDet sa frontière orientée+Théorème 1.2.Soit D une partie deIR2limitée par+un arc géométrique simple fermé orienté dans
le sens direct (figure1.1). Soient P et Q deux fonctions de classeC1sur D.IIISommaireEntrées canoniques22DocumentsExemplesExercices
Alors, on a
ZZ D @Q@x(x;y)@P@y(x;y) dxdy=Z +Pdx+Qdy(1.6)Lemme 1.2.Soit D un domaine deIR2.Aire de D=ZZ
D dxdy(1.7)=Z +xdy(1.8)=Z +ydx(1.9)=12Z+xdyydx(1.10)Démonstration.On obtient ces résultats en posantP(x;y) =y;Q(x;y) =0 ouP(x;y) =0;Q(x;y) =
xdans la formule (1.6).JJJSommaireEntrées canoniques23DocumentsExemplesExercicesJchapitre précédent2 Intégrales de surfaces2.1 Notions sur les surfaces paramétrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.2 Flux d"un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.3 Théorèmes intégraux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35SommaireEntrées canoniques24DocumentsExemplesExercices
Nchapitresection suivanteI2.1 Notions sur les surfaces paramétrés2.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262.1.2 Définition : plan tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.1.3 Aire d"une surface non plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30SommaireEntrées canoniques25DocumentsExemplesExercices
Nsectiongrain suivantIDéfinitionnotion clé :Nappe et surfaceExemples:exemple A.2.1exemple A.2.2exemple A.2.3Eest un espace affine de dimension 3 attaché à l"espace vectorielE. On identifieE
àEpar le choix d"une origine.
De la même manière que pour les arcs paramétrés, on définit la notion de nappe para-métrée comme suitDéfinition 16.Soit D un domaine (i.e. on peut mesure son aire qui est supposée finie) deIR2.
Unenappe paramétréede classeCk(k0) deEest une application de classeCk: :D! E.On appellesurfacel"image parde D et notée = (D).SommaireEntrées canoniques26DocumentsExemplesExercices
NsectionJgrain précédentgrain suivantIDéfinition : plan tangentnotion clé :Plan tangent et vecteur
normalExemples:exemple A.2.4Exercices:exercice B.2.1Documents:document C.2.1Définition 17.Soitunesurfacedéfinieparuneparamétrisation :D! Edifférentiableen(u0;v0).
(u;v) =0 @x= 1(u;v) y= 2(u;v) z= 3(u;v)1 ASilesvecteurs
0 BBBBBBBB@@1@u(u0;v0)
@2@u(u0;v0) @3@u(u0;v0)1 CCCCCCCCAet0
BBBBBBBB@@1@v(u0;v0)
@2@v(u0;v0) @3@v(u0;v0)1 C alors il existe un plan P M0tangent à la surfaceen M0= (u0;v0)qui est caractérisé par P M0=M2 E;P= (u0;v0) +@@u(u0;v0)(uu0) +@@v(u0;v0)(vu0)IIISommaireEntrées canoniques27DocumentsExemplesExercices
Remarque 2.1.P est paramétré par le développement d"ordre 1 deen(u0;v0).Définition 18.(Avec les notations de la définition17).
Lanormale à la surfaceau point M est la droite affine passant par ce point et perpen- diculaire au plan tangent.Unvecteur directeurest
N=0 BBBBBBBB@@1@u
@2@u @3@u1 CCCCCCCCA^0
BBBBBBBB@@1@v
@2@v @3@v1 CCCCCCCCA(2.1)
Un vecteur directeurunitaireest
n=NkNk(2.2)Remarque 2.2.a)De la même manière que pour la tangente d"un arc géométrique, il existe deux
vecteurs normaux à une surface N(u;v)etN(u;v).b)L"orientation de la surface est déterminée par un champ continu de normales
qui induisent ainsi une face pour la surface. Un paramétrage de la surface seraJJJIIISommaireEntrées canoniques28DocumentsExemplesExercices
compatible avec l"orientation si la normale qu"il génère coïncide avec le choix de la normale fixant l"orientation. Pour une surface fermée, on considére le champde normales "sortant". (Voir DocumentC.2.1).JJJSommaireEntrées canoniques29DocumentsExemplesExercices
NsectionJgrain précédentAire d"une surface non planenotion clé :Aire d"une surface non
planeExercices:exercice B.2.2On a vu (formule (1.7)) que si la surfaceDest plane (par exemple dans le planxOy)
alors son aire est définie parAire deD=ZZ
D dxdy(2.3) Soit maintenant une surface(non plane) alors son aire est donnée par le théorèmesuivantThéorème 2.1.Soitune surface non plane définie par une paramétrisationdifférentiable :
4 !IR3.
Notons T
uet Tvles vecteurs définis par T u(u;v) =0 BBBBBBBB@@1@u(u;v)
@2@u(u;v) @3@u(u;v)1 CCCCCCCCAet T
v(u;v) =0 BBBBBBBB@@1@v(u;v)
@2@v(u;v) @3@v(u;v)1 C CCCCCCCAIIISommaireEntrées canoniques30DocumentsExemplesExercicesAlors l"aire devaut
Aire de =Z
4 kTu(u;v)^ jTv(u;v)kdudv(2.4)JJJSommaireEntrées canoniques31DocumentsExemplesExercicesNchapitreJsection précédentesection suivanteI2.2 Flux d"un champ de vecteurs2.2.1 Flux et intégrale de surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33SommaireEntrées canoniques32DocumentsExemplesExercices
NsectionFlux et intégrale de
surfacenotion clé :Flux, intégrale de surfaceExercices:exercice B.2.3exercice B.2.4Le flux d"un champ de vecteurs à travers une surface est fondamental dans diverses
domaines. Pour différencier un flux "rentrant" d"un flux "sortant", l"orientation de lasurfaceest fondamentale.Définition 19.Soient+une surface orienté régulière etune paramétrisation de = (4).
Soit V un champ de vecteurs deIR3continu.
On appelleflux du champV à travers+, le nombre notéZZ +Vdet défini par ZZ +Vd=ZZ 4V((x;y))n(x;y)dxdy(2.5)où n est le champ de normale unitaire défini en (2.2).Lemme 2.1.Soitune surface définie par l"équationfz=f(x;y);(x;y)2Dgoù f est différen-
tiable.IIISommaireEntrées canoniques33DocumentsExemplesExercicesAlors le flux de V à travers+est
ZZ +Vd="ZZ DV(x;y;f(x;y))
@f@x(x;y);@f@y(x;y);1dxdy(2.6)où"=1si le vecteur normal est orienté vers les z croissants,"=1sinon.JJJSommaireEntrées canoniques34DocumentsExemplesExercices
NchapitreJsection précédente2.3 Théorèmes intégraux2.3.1 Théorème de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362.3.2 Théorème d"Ostrogradski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37SommaireEntrées canoniques35DocumentsExemplesExercices
Nsectiongrain suivantIThéorème de Stokesnotion clé :StokesExercices:exercice B.2.5Théorème 2.2.Soient+une surface orientée par le choix d"un champ de normales et+le bord
fermé de+, orienté de manière cohérente avec+(règle du tire-bouchon de Maxwell (figure2.1). Soit V un champ de vecteurs deIR3continument différentiable, de composantes respec- tives V1;V2et V3.
Alors le flux du rotationnel de V à travers la surface+est égal à la circulation de V le long de l"arc+i.e ZZ +rotVd=Z +V1dx+V2dy+V3dz(2.7)SommaireEntrées canoniques36DocumentsExemplesExercices
NsectionJgrain précédentThéorème
d"Ostrogradskinotion clé :Ostrogradski, volumeExercices:exercice B.2.6exercice B.2.7Théorème 2.3.SoitVun domaine deIR3limité par une surface fermée+orientée vers l" " extérieur
" deV.Soit V un champ de vecteurs de classeC1.
Alors l"intégrale de la divergence de V dansVest égale au flux de V à travers la surface +i.e. ZZZ V divV dxdydz=ZZ +Vd(2.8)Lemme 2.2.(Avec les notations précédentes)Volume(V) =ZZZ
V dxdydz=ZZ +zdxdySommaireEntrées canoniques37DocumentsExemplesExercicesG+G-Figure 2.1 - Régle du tire-bouchon de MaxwellSommaireEntrées canoniques38DocumentsExemplesExercices
Deuxième partie
Les annexesSommaireEntrées canoniques39DocumentsExemplesExercicesAnnexe A
Les exemples
Table des exemplesA.1 : Exemples du chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42Exemple A.1.1 : Arc paramétré dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42Exemple A.1.2 : Arc paramétré dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Exemple A.1.3 : Arc paramétré dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Exemple A.1.4 : Orientation et tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45Exemple A.1.5 : Circulation d"un champ de IR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46A.2 : Exemples du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47Exemple A.2.1 : La sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47SommaireEntrées canoniques40DocumentsExemplesExercices
Exemple A.2.2 : Le parapluie de Whitney. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Exemple A.2.3 : Equation cartésienne d"une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49Exemple A.2.4 : Equation cartésienne du plan tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50SommaireEntrées canoniques41DocumentsExemplesExercices
JprécédentsuivantIA.1 Exemples du chapitre 1ExempleA.1.1 Arc paramétré dans le plan
I=2;2;
(t) = (sin(t);cos(t))00.20.40.60.81 -1 -0.50.51Retour au grainNSommaireEntrées canoniques42DocumentsExemplesExercices JprécédentsuivantIExempleA.1.2 Arc paramétré dans le planI= [1;1];
(t) = t;p1t200.20.40.60.81 -1 -0.50.51Retour au grainNSommaireEntrées canoniques43DocumentsExemplesExercices JprécédentsuivantIExempleA.1.3 Arc paramétré dans l"espaceI= [0;4];
(t) = (cos(t);sin(t);2t)-1 -0.5 0 0.5 1-1 -0.5 0 0.5 10510152025Retour au grainNSommaireEntrées canoniques44DocumentsExemplesExercices
JprécédentsuivantIExempleA.1.4 Orientation et tangenteSuivant le choix de l"orientation de l"arc, on obtient deux vecteurs tangents de sens opposé.Retour au grainNSommaireEntrées canoniques45DocumentsExemplesExercices
JprécédentsuivantIExempleA.1.5 Circulation d"un champ de IR3 SoitV(x;y;z) = (P(x;y;z);Q(x;y;z);R(x;y;z))un champ de vecteur de IR3.Soit(I= [a;b];
)un arc paramétré par (t) = (x(t);y(t);z(t)).Alors la circulation deVrelative à
est Z b a V( (t))0(t)dt=Z
b aV(x(t);y(t);z(t))x0(t);y0(t);z0(t)dt
Z b a P(x(t);y(t);z(t))x0(t) +Q(x(t);y(t);z(t))y0(t) +R(x(t);y(t);z(t))z0(t) dtRetour au grainNSommaireEntrées canoniques46DocumentsExemplesExercices JprécédentsuivantIA.2 Exemples du chapitre 2ExempleA.2.1 La sphère
D=f(u;v);0 @x=asin(u)cos(v) y=asin(u)sin(v) z=acos(u)1
±0.8±0.6±0.4±0.200.20.40.60.81Retour au grainNSommaireEntrées canoniques47DocumentsExemplesExercices
JprécédentsuivantIExempleA.2.2 Le parapluie de WhitneyD= [1;1]2avec(u;v) =0
@x=uv y=u z=v21±0.8
±0.6
±0.4
±0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.51Retour au grainNSommaireEntrées canoniques48DocumentsExemplesExercices
JprécédentsuivantIExempleA.2.3 Equation cartésienne d"une surfaceD= [5;5]2avec(u;v) =0
@x=x y=y z=f(x;y)1 A oùf(x;y) =x+y2sin(x).±4 ±2 0 24±4
±2 0 24±20
±1001020Retour au grainNSommaireEntrées canoniques49DocumentsExemplesExercices JprécédentsuivantIExempleA.2.4 Equation cartésienne du plan tangent Notonsf,gethles coordonnées dedans un repère affine fixé deE. Alors l"équation cartésienne dePdans ce repère est xf(u0;v0)yg(u0;v0)zh(u0;v0) @f@u(u0;v0)@g@u(u0;v0)@h@u(u0;v0) @f@v(u0;v0)@g@v(u0;v0)@h@v(u0;v0) =0Retour au grainNSommaireEntrées canoniques50DocumentsExemplesExercicesAnnexe B
Les exercices
Table des exercicesB.1 : Exercices du chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53Exercice B.1.1 : Points simples et multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53Exercice B.1.2 : Périmètre du cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54Exercice B.1.3 : Longueur d"un arc défini par une équation cartésienney=f(x). . . . . .55Exercice B.1.4 : Travail sur une demi-ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56Exercice B.1.5 : Travail sur une helice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Exercice B.1.6 : Travail d"un champ dérivant d"un potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . .58Exercice B.1.7 : Exercice : premier bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59SommaireEntrées canoniques51DocumentsExemplesExercices
Exercice B.1.8 : Calcul d"aire d"une surface plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60Exercice B.1.9 : Exercice : second bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61B.2 : Exercices du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62Exercice B.2.1 : Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne. . . . . . .62Exercice B.2.2 : Aire d"un cylindre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63Exercice B.2.3 : Flux à travers une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64Exercice B.2.4 : Exercice : premier bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65Exercice B.2.5 : Application à la formule de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66Exercice B.2.6 : Application à la formule d"Ostrogradski. . . . . . . . . . . . . . . . . . .67Exercice B.2.7 : Exercice difficile : pour le plaisir.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68SommaireEntrées canoniques52DocumentsExemplesExercices
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